Приведенная производная

В математике приведенная производная — это обобщение понятия производной , которое хорошо подходит для изучения функций ограниченной вариации . Хотя функции ограниченной вариации имеют производные в смысле меры Радона , желательно иметь производную, принимающую значения в том же пространстве, что и сами функции. Хотя точное определение приведенной производной довольно сложное, ее ключевые свойства довольно легко запомнить:

• она кратна обычной производной, где бы она ни существовала;
• в точках перехода он кратен вектору перехода.

Понятие приведенной производной, по-видимому, было введено Александром Мильке и Флорианом Тейлом в 2004 году.

Определение

Пусть X — сепарабельное рефлексивное нормой банахово с || пространство || и зафиксируем T > 0. Пусть BV ₋ ([0, T ]; X ) обозначает пространство всех непрерывных слева функций z : [0, T ] → X с ограниченной вариацией на [0, T ].

Для любой функции времени f используйте индексы +/- для обозначения непрерывных правых/левых версий f , т.е.

$f_{+}(t)=\lim _{s\downarrow t}f(s);$

$f_{-}(t)=\lim _{s\uparrow t}f(s).$

Для любого подинтервала [ a , b ] из [0, T ] пусть Var( z , [ a , b ]) обозначает изменение z на [ a , b ], т.е. верхнюю грань

$\mathrm {Var} (z,[a,b])=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{k}\|z(t_{i})-z(t_{i-1})\|\right|a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=b,k\in \mathbb {N} \right\}.$

Первым шагом в построении приведенной производной является время «растяжения», чтобы z можно было линейно интерполировать в точках скачка. Для этого определите

${\hat {\tau }}\colon [0,T]\to [0,+\infty );$

${\hat {\tau }}(t)=t+\int _{[0,t]}\|\mathrm {d} z\|=t+\mathrm {Var} (z,[0,t]).$

Функция «растянутого времени» τ̂ непрерывна слева (т.е. τ̂ = τ̂ ₋ ); более того, τ̂ ₋ и τ̂ ₊ и строго возрастают согласуются, за исключением (не более чем счетных) точек скачка z . Установив T̂ = τ̂ ( T ), это «растяжение» можно инвертировать с помощью

${\hat {t}}\colon [0,{\hat {T}}]\to [0,T];$

${\hat {t}}(\tau )=\max\{t\in [0,T]|{\hat {\tau }}(t)\leq \tau \}.$

Используя это, расширенная версия z определяется формулой

${\hat {z}}\in C^{0}([0,{\hat {T}}];X);$

${\hat {z}}(\tau )=(1-\theta )z_{-}(t)+\theta z_{+}(t)$

где θ ∈ [0, 1] и

$\tau =(1-\theta ){\hat {\tau }}_{-}(t)+\theta {\hat {\tau }}_{+}(t).$

Результатом этого определения является создание новой функции ẑ , которая «растягивает» скачки z посредством линейной интерполяции. Быстрый расчет показывает, что ẑ не просто непрерывен, но еще и лежит в пространстве Соболева :

${\hat {z}}\in W^{1,\infty }([0,{\hat {T}}];X);$

$\left\|{\frac {\mathrm {d} {\hat {z}}}{\mathrm {d} \tau }}\right\|_{L^{\infty }([0,{\hat {T}}];X)}\leq 1.$

Производная ẑ ( τ ) по τ определена почти всюду относительно меры Лебега . Приведенная производная z τ̂ представляет собой возврат помощью функции растяжения T : [0, этой производной с ] → [0, T̂ ]. Другими словами,

$\mathrm {rd} (z)\colon [0,T]\to \{x\in X|\|x\|\leq 1\};$

$\mathrm {rd} (z)(t)={\frac {\mathrm {d} {\hat {z}}}{\mathrm {d} \tau }}\left({\frac {{\hat {\tau }}_{-}(t)+{\hat {\tau }}_{+}(t)}{2}}\right).$

С этим возвратом производной связан возврат меры Лебега на [0, T̂ ], которая определяет дифференциальную меру μ _z :

$\mu _{z}([t_{1},t_{2}))=\lambda ([{\hat {\tau }}(t_{1}),{\hat {\tau }}(t_{2}))={\hat {\tau }}(t_{2})-{\hat {\tau }}(t_{1})=t_{2}-t_{1}+\int _{[t_{1},t_{2}]}\|\mathrm {d} z\|.$

Характеристики

• Приведенная производная rd( z ) определена только µ _z -почти всюду на [0, T ].
• Если t является точкой перехода z , то

$\mu _{z}(\{t\})=\|z_{+}(t)-z_{-}(t)\|{\mbox{ and }}\mathrm {rd} (z)(t)={\frac {z_{+}(t)-z_{-}(t)}{\|z_{+}(t)-z_{-}(t)\|}}.$

• Если z дифференцируема на ( t ₁ , t ₂ ), то

$\mu _{z}((t_{1},t_{2}))=\int _{t_{1}}^{t_{2}}1+\|{\dot {z}}(t)\|\,\mathrm {d} t$

и t ∈ t1 _для , t2 ₎ (

$\mathrm {rd} (z)(t)={\frac {{\dot {z}}(t)}{1+\|{\dot {z}}(t)\|}}$,

• Для 0 ≤ s < t ≤ T ,

$\int _{[s,t)}\mathrm {rd} (z)(r)\,\mathrm {d} \mu _{z}(r)=\int _{[s,t)}\mathrm {d} z=z(t)-z(s).$

Ссылки

• Мильке, Александр; Тейл, Флориан (2004). «О моделях гистерезиса, не зависящих от скорости». Приложение NoDEA для нелинейных дифференциальных уравнений . 11 (2): 151–189. дои : 10.1007/s00030-003-1052-7 . ISSN   1021-9722 . S2CID   54705046 . МИСТЕР 2210284