Обратимая диффузия

В математике является обратимая диффузия частным примером обратимого случайного процесса . Обратимая диффузия получила изящную характеристику, предложенную русским математиком Андреем Николаевичем Колмогоровым .

Колмогоровская характеристика обратимой диффузии.

Пусть B обозначает d - мерное стандартное броуновское движение ; пусть б : Р ^д → Р ^д — липшицево непрерывное векторное поле . Пусть X : [0, +∞) × Ω → R ^д быть диффузией Ито, определенной в вероятностном пространстве ( , Σ, P Ито ) и решающей стохастическое дифференциальное уравнение $$\mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\mathrm {d} B_{t}$$с интегрируемым с квадратом начальным условием, т.е. X ₀ ∈ L ² (О, С, П ; Р ^д ). Тогда следующие условия эквивалентны:

• Процесс X обратим со стационарным распределением µ на ​​R ^д .
• Существует скалярный потенциал Φ : R ^д → R такой, что b = −∇Φ, µ имеет производную Радона–Никодима $${\frac {\mathrm {d} \mu (x)}{\mathrm {d} x}}=\exp \left(-2\Phi (x)\right)$$ и $$\int _{\mathbf {R} ^{d}}\exp \left(-2\Phi (x)\right)\,\mathrm {d} x=1.$$

(Конечно, условие, что b является отрицательным градиентом Φ , определяет Φ только с точностью до аддитивной константы; эту константу можно выбрать так, чтобы exp(−2Φ(·)) была функцией плотности вероятности с интегралом 1.)

Ссылки

• Восс, Йохен (2004). Некоторые результаты о больших отклонениях для диффузионных процессов (Диссертация). Университет Кайзерслаутерна: Кандидатская диссертация. (См. теорему 1.4)