Теорема о мартингальном представлении

В теории вероятностей теорема о мартингальном представлении утверждает, что случайная величина, измеримая относительно фильтрации, порождаемой броуновским движением, может быть записана в терминах интеграла Ито относительно этого броуновского движения.

Теорема лишь утверждает существование представления и не помогает найти его явно; во многих случаях можно определить форму представления с помощью исчисления Маллявена .

Подобные теоремы существуют и для мартингалов на фильтрациях, индуцированных скачкообразными процессами , например, цепями Маркова .

Заявление

Позволять $B_{t}$ быть броуновским движением в стандартном вероятностном пространстве с фильтрацией $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},P)$ и пусть ${\mathcal {G}}_{t}$ — расширенная фильтрация, создаваемая $B$. Если X — интегрируемая с квадратом случайная величина, измеримая по ${\mathcal {G}}_{\infty }$, то существует предсказуемый процесс C , адаптированный относительно ${\mathcal {G}}_{t},$ такой, что

$X=E(X)+\int _{0}^{\infty }C_{s}\,dB_{s}.$

Следовательно,

$E(X|{\mathcal {G}}_{t})=E(X)+\int _{0}^{t}C_{s}\,dB_{s}.$

Применение в финансах

Теорему о мартингальном представлении можно использовать для установления существованиястратегии хеджирования .Предположим, что $\left(M_{t}\right)_{0\leq t<\infty }$ представляет собой процесс Q-мартингала, волатильность которого $\sigma _{t}$ всегда ненулевое значение.Тогда, если $\left(N_{t}\right)_{0\leq t<\infty }$ является любым другим Q-мартингалом, существует ${\mathcal {F}}$-предсказуемый процесс $\varphi$, единственный с точностью до множеств меры 0, такой, что $\int _{0}^{T}\varphi _{t}^{2}\sigma _{t}^{2}\,dt<\infty$ с вероятностью единица, а N можно записать как:

$N_{t}=N_{0}+\int _{0}^{t}\varphi _{s}\,dM_{s}.$

Стратегия репликации определяется как:

• держать $\varphi _{t}$ единиц запаса в момент времени t и
• держать $\psi _{t}B_{t}=C_{t}-\varphi _{t}Z_{t}$ единицы облигации.

где $Z_{t}$ цена акции дисконтирована на цену облигации во времени $t$ и $C_{t}$ ожидаемая выплата по опциону в момент времени $t$.

В день истечения срока T стоимость портфеля равна:

$V_{T}=\varphi _{T}S_{T}+\psi _{T}B_{T}=C_{T}=X$

и легко проверить, что стратегия является самофинансируемой: изменение стоимости портфеля зависит только от изменения цен активов. $\left(dV_{t}=\varphi _{t}\,dS_{t}+\psi _{t}\,dB_{t}\right)$.

См. также

• Обратное стохастическое дифференциальное уравнение

Ссылки

• Монтен, Бенуа. (2002) «Стохастические процессы, применяемые в финансах»
• Эллиотт, Роберт (1976) «Стохастические интегралы для мартингалов переходного процесса с частично доступным временем перехода», Журнал теории вероятностей и смежных областей , 36, 213–226