Уравнение Коши – Эйлера

В математике уравнение Эйлера–Коши , или уравнение Коши–Эйлера , или просто уравнение Эйлера — это линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами . Иногда его называют равномерным уравнением. Благодаря своей особенно простой равноразмерной структуре дифференциальное уравнение может быть решено явно.

Уравнение

Пусть у ^{( н )} ( x ) будет n -й производной неизвестной функции y ( x ) . Тогда уравнение Коши–Эйлера порядка n имеет вид $$a_{n}x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\dots +a_{0}y(x)=0.$$

Замена $x=e^{u}$ (то есть, $u=\ln(x)$; для $x<0$, в котором можно заменить все экземпляры $x$ к $|x|$, расширяя область решения до $\mathbb {R} \setminus \{0\}$) можно использовать для сведения этого уравнения к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Альтернативно, пробное решение $y=x^{m}$ можно использовать для решения уравнения напрямую, получая основные решения.

Второй порядок – решение пробным решением

Типичные кривые решения уравнения Эйлера–Коши второго порядка для случая двух вещественных корней

Типичные кривые решения уравнения Эйлера–Коши второго порядка для случая двойного корня

Типичные кривые решения уравнения Эйлера–Коши второго порядка для случая комплексных корней

Наиболее распространенным уравнением Коши-Эйлера является уравнение второго порядка, которое появляется во многих физических и технических приложениях, например, при решении уравнения Лапласа в полярных координатах. Уравнение Коши – Эйлера второго порядка имеет вид

$$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0.$$

Мы предполагаем пробное решение $$y=x^{m}.$$

Дифференциация дает $${\frac {dy}{dx}}=mx^{m-1}$$ и $${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m\left(m-1\right)x^{m-2}.$$

Подстановка в исходное уравнение приводит к требованию, что $$x^{2}\left(m\left(m-1\right)x^{m-2}\right)+ax\left(mx^{m-1}\right)+b\left(x^{m}\right)=0$$

Перестановка и факторизация дают основное уравнение $$m^{2}+\left(a-1\right)m+b=0.$$

Затем мы решаем для m . Интересны три случая:

• Случай 1: два различных корня m ₁ и m ₂ ;
• Случай 2 — один действительный повторяющийся корень, m ;
• Случай 3 комплексных корней, α ± βi .

В случае 1 решение $$y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}$$

В случае 2 решение $$y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}$$

Чтобы прийти к этому решению, необходимо применить метод понижения порядка , предварительно найдя одно решение y = x. ^м .

В случае 3 решение $$y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))$$$$\alpha =\operatorname {Re} (m)$$$$\beta =\operatorname {Im} (m)$$

Для $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$.

Эта форма решения получается, если положить x = e ^т и используя формулу Эйлера

Второй порядок – решение путем замены переменных.

$$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0$$

Мы используем замену переменных, определенную формулой

$$t=\ln(x).$$$$y(x)=\varphi (\ln(x))=\varphi (t).$$

Дифференциация дает $${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x}}{\frac {d\varphi }{dt}}$$$${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{x^{2}}}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}-{\frac {d\varphi }{dt}}\right).$$

Замена $\varphi (t)$ дифференциальное уравнение становится $${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+(a-1){\frac {d\varphi }{dt}}+b\varphi =0.$$

Это уравнение в $\varphi (t)$ решается через характеристический полином $$\lambda ^{2}+(a-1)\lambda +b=0.$$

Теперь позвольте $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ обозначим два корня этого многочлена. Разберем случай, когда имеются различные корни, и случай, когда имеется повторяющийся корень:

Если корни различны, общее решение: $$\varphi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}e^{\lambda _{2}t},$$ где экспоненты могут быть комплексными.

Если корни равны, общее решение: $$\varphi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}te^{\lambda _{1}t}.$$

В обоих случаях решение $y(x)$ можно найти, установив $t=\ln(x)$.

Следовательно, в первом случае $$y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}},$$ и во втором случае $$y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}\ln(x)x^{\lambda _{1}}.$$

Второй порядок - решение с помощью дифференциальных операторов

Заметим, что мы можем записать уравнение Коши-Эйлера второго порядка в терминах линейного дифференциального оператора $L$ как $$Ly=(x^{2}D^{2}+axD+bI)y=0,$$ где $D={\frac {d}{dx}}$ и $I$ является идентификационным оператором.

Выразим указанный выше оператор в виде многочлена от $xD$, скорее, чем $D$. По правилу произведения, $$(xD)^{2}=xD(xD)=x(D+xD^{2})=x^{2}D^{2}+xD.$$ Так, $$L=(xD)^{2}+(a-1)(xD)+bI.$$

Затем мы можем использовать квадратичную формулу, чтобы разложить этот оператор на линейные члены. Точнее, пусть $\lambda _{1},\lambda _{2}$ обозначают (возможно, равные) значения $$-{\frac {a-1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {(a-1)^{2}-4b}}.$$ Затем, $$L=(xD-\lambda _{1}I)(xD-\lambda _{2}I).$$

Видно, что эти факторы коммутируют, т.е. $(xD-\lambda _{1}I)(xD-\lambda _{2}I)=(xD-\lambda _{2}I)(xD-\lambda _{1}I)$. Следовательно, если $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$, решение $Ly=0$ представляет собой линейную комбинацию решений каждого из $(xD-\lambda _{1}I)y=0$ и $(xD-\lambda _{2}I)y=0$, которую можно решить разделением переменных .

Действительно, с $i\in \{1,2\}$, у нас есть $(xD-\lambda _{i}I)y=x{\frac {dy}{dx}}-\lambda _{i}y=0$. Так, $${\begin{aligned}x{\frac {dy}{dx}}&=\lambda _{i}y\\\int {\frac {1}{y}}\,dy&=\lambda _{i}\int {\frac {1}{x}}\,dx\\\ln y&=\lambda _{i}\ln x+C\\y&=c_{i}e^{\lambda _{i}\ln x}=c_{i}x^{\lambda _{i}}.\end{aligned}}$$ Таким образом, общее решение $y=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}}$.

Если $\lambda =\lambda _{1}=\lambda _{2}$, то вместо этого нам нужно рассмотреть решение задачи $(xD-\lambda I)^{2}y=0$. Позволять $z=(xD-\lambda I)y$, чтобы мы могли написать $$(xD-\lambda I)^{2}y=(xD-\lambda I)z=0.$$ Как и ранее, решение $(xD-\lambda I)z=0$ имеет форму $z=c_{1}x^{\lambda }$. Итак, нам осталось решить $$(xD-\lambda I)y=x{\frac {dy}{dx}}-\lambda y=c_{1}x^{\lambda }.$$ Затем перепишем уравнение в виде $${\frac {dy}{dx}}-{\frac {\lambda }{x}}y=c_{1}x^{\lambda -1},$$ которую можно признать поддающейся решению посредством интегрирующего фактора .

Выбирать $M(x)=x^{-\lambda }$ как наш интегрирующий фактор. Умножив наше уравнение через на $M(x)$ и признав левую часть производной от произведения, получим $${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(x^{-\lambda }y)&=c_{1}x^{-1}\\x^{-\lambda }y&=\int c_{1}x^{-1}\,dx\\y&=x^{\lambda }(c_{1}\ln(x)+c_{2})\\&=c_{1}\ln(x)x^{\lambda }+c_{2}x^{\lambda }.\end{aligned}}$$

Пример

Данный $$x^{2}u''-3xu'+3u=0\,,$$подставим простое решение x ^м : $$x^{2}\left(m\left(m-1\right)x^{m-2}\right)-3x\left(mx^{m-1}\right)+3x^{m}=m\left(m-1\right)x^{m}-3mx^{m}+3x^{m}=\left(m^{2}-4m+3\right)x^{m}=0\,.$$

Для х ^м решением может быть либо x = 0 , что дает тривиальное решение, либо коэффициент при x ^м равен нулю. Решая квадратное уравнение, получаем m = 1, 3 . Таким образом, общее решение таково:

$u=c_{1}x+c_{2}x^{3}\,.$

Аналог разностного уравнения

Существует разностное уравнение, аналог уравнения Коши–Эйлера. Для фиксированного m > 0 определите последовательность f _m ( n ) как $$f_{m}(n):=n(n+1)\cdots (n+m-1).$$

Применяя оператор разности к $f_{m}$, мы находим это $${\begin{aligned}Df_{m}(n)&=f_{m}(n+1)-f_{m}(n)\\&=m(n+1)(n+2)\cdots (n+m-1)={\frac {m}{n}}f_{m}(n).\end{aligned}}$$

Если мы проделаем это k раз, мы обнаружим, что $${\begin{aligned}f_{m}^{(k)}(n)&={\frac {m(m-1)\cdots (m-k+1)}{n(n+1)\cdots (n+k-1)}}f_{m}(n)\\&=m(m-1)\cdots (m-k+1){\frac {f_{m}(n)}{f_{k}(n)}},\end{aligned}}$$

где верхний индекс ^{( к )} означает применение разностного оператора k раз. Сравнивая это с тем, что k -я производная от x ^м равно $$m(m-1)\cdots (m-k+1){\frac {x^{m}}{x^{k}}}$$предполагает, что мы можем решить N разностное уравнение -го порядка $$f_{N}(n)y^{(N)}(n)+a_{N-1}f_{N-1}(n)y^{(N-1)}(n)+\cdots +a_{0}y(n)=0,$$аналогично случаю дифференциального уравнения. Действительно, подставляя пробное решение $$y(n)=f_{m}(n)$$приводит нас к той же ситуации, что и случай дифференциального уравнения, $$m(m-1)\cdots (m-N+1)+a_{N-1}m(m-1)\cdots (m-N+2)+\dots +a_{1}m+a_{0}=0.$$

Теперь можно действовать так же, как и в случае дифференциального уравнения, поскольку общее решение линейного разностного уравнения N -го порядка также является линейной комбинацией N линейно независимых решений. Применение понижения порядка в случае кратного корня m ₁ даст выражения, включающие дискретную версию ln , $$\varphi (n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k-m_{1}}}.$$

(Сравните с: ${\textstyle \ln(x-m_{1})=\int _{1+m_{1}}^{x}{\frac {dt}{t-m_{1}}}.}$)

В тех случаях, когда задействованы дроби, можно использовать $$f_{m}(n):={\frac {\Gamma (n+m)}{\Gamma (n)}}$$ вместо этого (или просто используйте его во всех случаях), что совпадает с предыдущим определением целого числа m .

См. также

• Гипергеометрическое дифференциальное уравнение
• Оператор Коши – Эйлера

Библиография

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Коши – Эйлера» . Математический мир .