Загадка о пропавшем долларе

Загадка о пропавшем долларе – известная загадка , содержащая неформальную ошибку . Она датируется как минимум 1930-ми годами, хотя подобные головоломки намного старше. ^[1]

Заявление

Хотя формулировки и детали могут различаться, загадка складывается примерно так:

Трое гостей заселяются в номер отеля. Менеджер говорит, что счет составляет 30 долларов, поэтому каждый гость платит 10 долларов. Позже менеджер понимает, что счет должен был составлять всего 25 долларов. Чтобы исправить это, он дает коридорному пять долларов в виде пяти однодолларовых купюр, чтобы тот вернул их гостям.
По пути в номер для гостей, чтобы вернуть деньги, посыльный понимает, что он не может поровну разделить пять однодолларовых купюр между тремя гостями. Поскольку гости не знают общей суммы пересмотренного счета, посыльный решает просто вернуть каждому гостю 1 доллар, а 2 доллара оставить себе в качестве чаевых, и продолжает это делать.
Поскольку каждый гость получил обратно 1 доллар, каждый гость заплатил только 9 долларов, в результате чего общая сумма выплат составила 27 долларов. Посыльный оставил себе 2 доллара, которые, если прибавить к 27 долларам, составят 29 долларов. Итак, если гости изначально отдали 30 долларов, что случилось с оставшимся 1 долларом?

Кажется, существует несоответствие, поскольку не может быть двух ответов (29 и 30 долларов) на математическую задачу. С одной стороны, это правда, что 25 долларов в кассе, 3 доллара, возвращенные гостям, и 2 доллара, оставленные посыльным, в сумме составляют 30 долларов, но с другой стороны, 27 долларов, уплаченные гостями, и 2 доллара, оставленные посыльный в сумме составляет всего 29 долларов.

Решение

Неверное направление в этой загадке находится во второй половине описания, где несвязанные суммы складываются вместе, и человек, которому задается загадка, предполагает, что эти суммы должны в сумме составлять 30, а затем удивляется, когда это не так ⁠— ⁠ там на самом деле это не причина, по которой сумма (10 ⁠− ⁠1) ⁠× ⁠3 ⁠ + ⁠2 ⁠ = ⁠29 должна составлять 30.

Точная сумма, упомянутая в загадке, рассчитывается как:

СУММА = $9 (оплата Гостем 1) +
           $9 (оплата Гостем 2) +
           $9 (оплата Гостем 3) +
           2 доллара (деньги в кармане посыльного)

Хитрость здесь заключается в том, чтобы понять, что это не сумма денег, которую три человека заплатили первоначально, поскольку сюда нужно будет включить деньги, которые есть у клерка (25 долларов). Вместо этого это сумма меньшей суммы, которую люди могли бы заплатить (9 долларов США × 3 человека = 27 долларов США), к которой добавлены дополнительные деньги, которые клерку не понадобились бы, если бы они заплатили эту меньшую сумму (27 долларов США уплачено - 25 долларов фактической стоимости = 2 доллара США). ). Другими словами, в 27 долларов уже включены чаевые посыльному. Прибавить 2 доллара к 27 долларам — значит пересчитать их дважды. Итак, стоимость номера на троих гостей, включая чаевые коридорному, составит 27 долларов. У каждого из 3 гостей в кармане по 1 доллару, итого 3 доллара. Если прибавить к пересмотренной стоимости номера 27 долларов США (включая чаевые посыльному), общая сумма составит 30 долларов США.

Чтобы получить сумму, равную первоначальным 30 долларам, необходимо учитывать каждый доллар, независимо от его местонахождения.

Таким образом, разумную сумму можно выразить следующим образом:

30 долларов США = 1 доллар США (внутри гостевого кармана) +
         1 доллар США (внутри гостевого кармана) +
         1 доллар США (внутри гостевого кармана) +
         2 доллара (в кармане посыльного) +
         25 долларов США (кассовый аппарат отеля)

Эта сумма действительно составляет 30 долларов.

Чтобы еще раз проиллюстрировать, почему сумма загадки не соответствует фактической сумме, загадку можно изменить так, чтобы скидка на номер была чрезвычайно большой. Рассмотрим загадку в таком виде:

Три человека заселяются в гостиничный номер. Продавец говорит, что счет составляет 30 долларов, поэтому каждый гость платит 10 долларов. Позже продавец понимает, что счет должен составлять всего 10 долларов. Чтобы исправить это, он дает посыльному 20 долларов, чтобы тот вернулся к гостям. По пути в номер коридорный понимает, что не может поделить деньги поровну. Поскольку гости не знали общую сумму пересмотренного счета, посыльный решает просто дать каждому гостю 6 долларов и оставить 2 доллара себе в качестве чаевых. Каждому гостю вернули 6 долларов: теперь каждый гость платил только 4 доллара; доведя общую сумму выплат до 12 долларов. У посыльного есть 2 доллара. И 12 долларов + 2 = 14 долларов. Итак, если гости изначально отдали 30 долларов, что случилось с оставшимися 16 долларами?

Теперь становится более очевидным, что вопрос совершенно необоснованный. Нельзя просто сложить пару платежей и ожидать, что они составят первоначальную сумму наличных денег в обращении.

Более экономично, деньги учитываются путем суммирования всех выплаченных сумм ( обязательств ) со всеми деньгами, находящимися в распоряжении ( активами ). Эта абстрактная формула справедлива независимо от относительных точек зрения участников этого обмена.

Постояльцы отеля заплатили 27 долларов, но в конце истории в их карманах также есть 3 доллара. Их активы составляют 3 доллара, а обязательства — 27 долларов (30 долларов = 27 + 3). Таким образом, учитывается первоначальная сумма.
С точки зрения служащего отеля, отель имеет 25 долларов в активах и потерял 5 долларов в пассивах (30 долларов = 25 + 5).
С точки зрения коридорного, его активы составляют 2 доллара, а его обязательства перед гостями составляют 3 доллара и 25 долларов перед кассой на стойке регистрации (30 долларов = 2 + 3 + 25).

Чтобы проиллюстрировать проблему с помощью уравнений:

1) 10 + 10 + 10 = 30
2) 10 + 10 + 10 = 25 + 2 + 3
3) 10 + 10 + 10 – 3 = 25 + 2 + 3 – 3 (добавляя -3 к обеим частям уравнения, чтобы уравновесить +3 в правой части)
4) 10 - 1 + 10 - 1 + 10 - 1 = 25 + 2
5) 9 + 9 + 9 = 25 + 2 (наблюдение: чаевые коридорному уже оплачены)
6) 27 = 27

Насколько обманчива загадка, говорится в строке 7:

7) 9 + 9 + 9 = 25 + 2
8) 9 + 9 + 9 + 2 ≠ 25 (передвигая +2 в другую сторону, не меняя знака)
9) 27 + 2 ≠ 25
10) 29 ≠ 25

Как это должно быть:

7) 9 + 9 + 9 = 25 + 2
8) 9 + 9 + 9 -2 = 25 + 2 -2 (добавляя -2 к обеим частям уравнения, чтобы отменить +2 в правой части, что означает, что посыльный вернул чаевые или дал скидку в размере 2 долларов США)
9) 9 + 9 + 9 - 2 = 25
10) 27 - 2 = 25
11) 25 = 25

Загадка должна вычитать чаевые посыльного из 27 долларов, а не прибавлять их.

История

Существует множество вариантов головоломки. профессора Дэвида Сингмастера Хронология занимательной математики ^[2] предполагает, что подобные математические головоломки, вводящие в заблуждение, произошли от задачи из книги по арифметике 18-го века « Помощник преподавателя Фрэнсиса Уокингема». ^[3] который был опубликован и переиздан с 1751 по 1860 год, где он появился на стр. 185, проб. 116 в такой форме: «Если из 48, взятых из 120, получается 72, а из 72, взятых из 91, получается 19, а из 7, взятых оттуда, получается 12, то какое это число, из которого, когда ты взял 48, 72, 19 и 7, выходит 12?" Сингмастер добавляет: «Хотя это не то же самое, что проблемы вывода средств, описанные ниже, смешение вычтенных сумм и остатков заставляет меня думать, что проблемы такого рода могли быть основой более позднего типа».

Неправильное указание 1880 года приводится следующим образом: «Бартель видит в ювелирном магазине две шкатулки по цене 100 и 200. Он покупает более дешевую и забирает ее домой, где решает, что действительно предпочитает другую. Он возвращается к ювелиру и дает ему шкатулку. возвращается и говорит, что у ювелира уже есть от него 100, что вместе с возвращенной шкатулкой составляет 200, что составляет стоимость другой шкатулки. Ювелир принимает это и отдает Бартелю другую шкатулку, и Бартель уходит. правильный?"

Модель, более похожая по стилю на современную версию, была предложена Сесилом Б. Ридом в его «Математических заблуждениях» 1933 года . Его головоломка приносит дополнительный доллар: мужчина кладет в банк 50 долларов. Затем в последующие дни он снимает 20 долларов, оставляя 30 долларов; затем 15 долларов, остается 15 долларов; затем 9 долларов оставляют 6 долларов и, наконец, 6 долларов оставляют 0 долларов. Но 30 долларов + 15 долларов + 6 долларов = 51 доллар. Откуда взялся лишний доллар?

Фактическое решение этой загадки состоит в том, чтобы правильно добавить (правильное время, правильный человек и правильное местоположение) с точки зрения банка, что в данном случае кажется проблемой:

Первый день: 30 долларов в банке + 20 долларов, которые владелец уже снял = 50 долларов.
Второй день: 15 долларов в банке + (15 долларов + 20 долларов владелец уже снял) = 50 долларов.
Третий день: 6 долларов в банке + (9 долларов + 15 долларов + 20 долларов владелец уже снял) = 50 долларов.

С точки зрения владельца правильное решение такое:

Первый день: владелец 20 долларов уже снял + 30 долларов в банке = 50 долларов.
Второй день: владелец 20 долларов уже снял + владелец 15 долларов уже снял + 15 долларов в банке = 50 долларов.
Третий день: (владелец 20 долларов уже снял + владелец 15 долларов уже снял + владелец 9 долларов уже снял) + 6 долларов в банке = 50 долларов.

Решение кажется очень очевидным, если владелец будет снимать каждый день только 10 долларов из 50 долларов. Складывать 40 + 30 + 20 + 10 по той же схеме, что и выше, было бы слишком очевидно неправильно (результат будет 100 долларов).

Ответ на вопрос «Откуда взялся лишний доллар?» можно найти путем последовательного сложения остатков в банке за три разных дня. Этот способ верен только в том случае, если владелец денег снимает каждый день ровно половину денег. Тогда сумма составит (25 долларов США + 12,50 долларов США + 6,25 долларов США) + 6,25 долларов США = 50 долларов США.

Р. М. Абрахама» Другая запись 1933 года, «Развлечения и развлечения (до сих пор доступная в дуврской версии), предлагает несколько иной подход к решению этой задачи, чем на странице 16 (задача 61). «Путешественник, возвращавшийся в Нью-Йорк, обнаружил, что у него был только почтовый денежный перевод на десять долларов, а стоимость проезда на поезде составляла семь долларов. Билетный кассир отказался принять денежный перевод, поэтому путешественник пошел через дорогу в ломбард. и заложил его за семь долларов. На обратном пути на вокзал он встретил друга, который, чтобы избавить путешественника от необходимости возвращаться за денежным переводом, купил у него закладной билет за семь долларов. Затем путешественник купил свой. билет, и у него все еще было семь долларов, когда он добрался до Нью-Йорка. Кто совершил потерю?» Дэвид Дарлинг в своей «Универсальной книге по математике » ^[4] считает, что это более ранняя версия трех мужчин в версии отеля выше.

Еще более похожа на английскую «Затменную книгу» Эвелин Огаст в 1939 году; Что случилось с шиллингом?, стр. 82 и 213. Три девушки платят по пять шиллингов каждая за проживание в одной комнате. Хозяин возвращает 5 шиллингов через посыльного, который дает каждому по одному, а два оставляет себе.

И еще один на ту же тему появляется в программе Эбботта и Костелло , в которой Эбботт просит у Костелло ссуду в пятьдесят долларов. Костелло протягивает сорок долларов и говорит: «Это все, что у меня есть». Эбботт отвечает: «Хорошо, ты можешь быть должен мне остальные десять».

Загадка используется психотерапевтом ( Крис Лэнгэм ) со своим клиентом-математиком ( Пол Уайтхаус ) в пятом эпизоде комедийного сериала BBC 2005 года «Помощь» . ^[5]

Вариант, также включающий шиллинги и трех мужчин в ресторане, которым заплатили завышенную цену, появляется в третьем томе Дженнифер Уорт « Вызовите акушерку» книги «Прощай, Ист-Энд» (2009). Там ремонтник Фред передает его акушеркам Дома Ноннатус .

Другой вариант, заменяющий гостей пастухами, клерка троллем, доллары овцами и посыльного сыном тролля, появляется в «Докторе Но» Персиваля Эверетта .

См. также

Недостающий квадратный пазл

Ссылки

^ Беннетт, Джей (19 мая 2017 г.). «Загадка недели №19: Пропавший доллар» . Популярная механика . Проверено 11 апреля 2004 г.
^ Сингмастер, Дэвид (19 марта 2004 г.). «7.З. НЕДОСТАЮЩИЙ ДОЛЛАР И ДРУГОЙ ОШИБОЧНЫЙ УЧЕТ» . ИСТОЧНИКИ ПО ОЗДОРОВИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ АННОТИРОВАННАЯ БИБЛИОГРАФИЯ .
^ Ходьба, Фрэнсис (1859). Николсон, В. (ред.). Арифметика Walkingame . п. 170 .
^ Дарлинг, Дэвид Дж. (2004). Универсальная книга математики: от абракадабры до парадоксов Зенона . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 0-471-27047-4 . OCLC 53434727 .
^ «Смотрите полные серии 1-го сезона «Помощи»» . Архивировано из оригинала 17 ноября 2015 г. Проверено 14 ноября 2015 г.

Внешние ссылки

[1] Беннетт, Джей (19 мая 2017 г.). «Загадка недели №19: Пропавший доллар» . Популярная механика . Проверено 11 апреля 2004 г.

[2] Сингмастер, Дэвид (19 марта 2004 г.). «7.З. НЕДОСТАЮЩИЙ ДОЛЛАР И ДРУГОЙ ОШИБОЧНЫЙ УЧЕТ» . ИСТОЧНИКИ ПО ОЗДОРОВИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ АННОТИРОВАННАЯ БИБЛИОГРАФИЯ .

[3] Ходьба, Фрэнсис (1859). Николсон, В. (ред.). Арифметика Walkingame . п. 170 .

[4] Дарлинг, Дэвид Дж. (2004). Универсальная книга математики: от абракадабры до парадоксов Зенона . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 0-471-27047-4 . OCLC 53434727 .

[5] «Смотрите полные серии 1-го сезона «Помощи»» . Архивировано из оригинала 17 ноября 2015 г. Проверено 14 ноября 2015 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]