Недостающий квадратный пазл
Головоломка с недостающим квадратом — это оптическая иллюзия, используемая на уроках математики , чтобы помочь ученикам рассуждать о геометрических фигурах; или, скорее, научить их не рассуждать с помощью фигур, а пользоваться только текстовыми описаниями и аксиомами геометрии. На нем изображены две композиции одинаковой формы, но немного отличающиеся по конфигурации. Каждый из них, очевидно, образует прямоугольный треугольник 13×5 , но в одном из них имеется отверстие размером 1×1.
Решение [ править ]
Ключом к загадке является тот факт, что ни один из «треугольников» 13×5 на самом деле не является треугольником, и ни один из них не был бы действительно треугольником 13×5, если бы он им был, потому что то, что кажется гипотенузой, изогнуто . Другими словами, «гипотенуза» не имеет постоянного наклона , даже если человеческому глазу так кажется.
Настоящий треугольник 13×5 не может быть создан из заданных составных частей. Четыре фигуры (желтая, красная, синяя и зеленая) занимают в общей сложности 32 единицы площади. Видимые треугольники, образованные из фигур, имеют ширину 13 единиц и высоту 5 единиц, поэтому кажется, что площадь должна быть S = 13×5 / 2 = 32,5 единицы. Однако соотношение синего треугольника составляет 5:2 (=2,5), а соотношение красного треугольника — 8:3 (≈2,667), поэтому кажущаяся объединенная гипотенуза на каждом рисунке фактически изогнута. При изогнутой гипотенузе первая фигура фактически занимает в совокупности 32 единицы, а вторая фигура — 33, включая «недостающий» квадрат.
Величина изгиба составляет примерно 1/28 . единицы ( 1,245364267 °), которую трудно увидеть на схеме головоломки, и которая была проиллюстрирована в виде графики Обратите внимание на точку сетки, где встречаются красный и синий треугольники на нижнем изображении (5 квадратов вправо и на две единицы вверх от нижнего левого угла объединенной фигуры), и сравните ее с той же точкой на другом рисунке; край находится немного под отметкой на верхнем изображении, но проходит через нее на нижнем. Наложение «гипотенуз» на обоих рисунках дает очень тонкий параллелограмм (представленный четырьмя красными точками) с площадью ровно один квадрат сетки ( теорема Пика дает 0 [1] + 4 [2] / 2 − 1 = 1), то есть «недостающая» область.
Принцип [ править ]
По словам Мартина Гарднера , [3] Эта конкретная головоломка была изобретена из Нью-Йорка фокусником-любителем Полом Карри в 1953 году. Однако принцип парадокса рассечения известен с начала 16 века.
Целочисленные размеры частей головоломки (2, 3, 5, 8, 13) представляют собой последовательные числа Фибоначчи , что приводит к точной единице площади в тонком параллелограмме . Многие другие геометрические головоломки основаны на нескольких простых свойствах последовательности Фибоначчи. [4]
Подобные головоломки [ править ]
Сэма Лойда демонстрирует Парадокс шахматной доски две перестановки клетки 8×8. В «более крупной» перестановке (прямоугольник 5×13 на изображении справа) промежутки между фигурами имеют в совокупности на единицу квадрата большую площадь, чем их аналоги с квадратными промежутками, создавая иллюзию, что фигуры там занимают больше места, чем те, что на исходной квадратной фигуре. [5] В «меньшей» перестановке (форма ниже прямоугольника 5×13) каждый четырехугольник должен перекрывать треугольник на площадь в половину единицы, чтобы его верхний/нижний край совпадал с линией сетки, что приводит к общей потере в одной единице. площадь квадрата.
В «парадоксе» Мицунобу Мацуямы используются четыре конгруэнтных четырехугольника и маленький квадрат, которые образуют больший квадрат. Когда четырехугольники вращаются вокруг своих центров, они заполняют пространство маленького квадрата, хотя общая площадь фигуры кажется неизменной. Кажущаяся парадоксальность объясняется тем, что сторона нового большого квадрата немного меньше исходной. Если θ - угол между двумя противоположными сторонами в каждом четырехугольнике, то отношение двух площадей определяется как сек. 2 θ . Для θ = 5° это примерно 1,00765, что соответствует разнице около 0,8%.
— Исчезающая головоломка это механическая оптическая иллюзия, показывающая разное количество определенных объектов при перемещении частей головоломки. [6]
См. также [ править ]
- Парадокс шахматной доски - Математический парадокс и логическая головоломка.
- Эффект Einstellung – развитие механизированного состояния ума.
- Парадокс Хупера
- Загадка пропавшего доллара - Загадка, связанная с неформальной ошибкой в деньгах.
Ссылки [ править ]
- ^ количество внутренних точек решетки
- ^ количество точек граничной решетки
- ^ Гарднер, Мартин (1956). Математика Магия и волшебство . Дувр. стр. 139–150. ISBN 9780486203355 .
- ^ Вайсштейн, Эрик. «Личность Кассини» . Математический мир.
- ^ «Парадоксальное рассечение» . математикблаг . 28 августа 2011 г. Проверено 19 апреля 2018 г.
- ^ The Guardian, Исчезающий Лепрекон, Исчезающий гном и Качающиеся очаровательные девушки шестидесятых - головоломки в картинках
Внешние ссылки [ править ]
- для печати Вариант Missing Square с видеодемонстрацией.
- Парадокс Карри: как это возможно? при разрубании узла
- Пазл-парадокс
- Головоломка одиннадцати дырок
- «Трюк с бесконечной шоколадной плиткой» , демонстрация головоломки с недостающим квадратом с использованием плитки шоколада 4 × 6.