Дифракция от щелей

Дифракционные процессы, действующие на волны , поддаются количественному описанию и анализу. Такая обработка применяется к волне, проходящей через одну или несколько щелей, ширина которых определяется как пропорция длины волны . численные аппроксимации Могут использоваться , включая аппроксимации Френеля и Фраунгофера .

Общая дифракция

Поскольку дифракция является результатом сложения всех волн (данной длины волны) вдоль всех свободных путей, обычная процедура состоит в том, чтобы рассмотреть вклад бесконечно малой окрестности вокруг определенного пути (этот вклад обычно называют вейвлетом ) , а затем интегрировать по все пути (= добавить все вейвлеты) от источника до детектора (или заданной точки на экране).

Таким образом, чтобы определить картину, возникающую в результате дифракции, вычисляются фаза и амплитуда каждого из вейвлетов. То есть в каждой точке пространства мы должны определить расстояние до каждого из простых источников на фронте приходящей волны. Если расстояние до каждого из простых источников отличается на целое число длин волн, все вейвлеты будут находиться в фазе, что приведет к конструктивной интерференции. Если расстояние до каждого источника равно целому числу плюс половина длины волны, возникнет полная деструктивная интерференция. Обычно определения этих минимумов и максимумов достаточно для объяснения наблюдаемых дифракционных эффектов.

Простейшими описаниями дифракции являются те, в которых ситуацию можно свести к двумерной задаче. Для волн на воде это уже так, поскольку волны на воде распространяются только по поверхности воды. Что касается света, мы часто можем пренебречь одним измерением, если дифрагирующий объект простирается в этом направлении на расстояние, намного превышающее длину волны. В случае света, проходящего через маленькие круглые отверстия, нам придется принять во внимание полную трехмерность задачи.

О дифракции в целом можно сделать несколько качественных наблюдений:

Угловое расстояние между деталями дифракционной картины обратно пропорционально размерам объекта, вызывающего дифракцию. Другими словами: чем меньше преломляющий объект, тем шире получаемая дифракционная картина, и наоборот. (Точнее, это относится к синусам углов.)
Углы дифракции инвариантны при масштабировании; т. е. зависят только от отношения длины волны к размеру дифрагирующего объекта.
Когда дифрагирующий объект имеет периодическую структуру, например, в дифракционной решетке, детали обычно становятся более резкими. На четвертом рисунке, например, показано сравнение рисунка с двумя прорезями с рисунком, образованным пятью прорезями, причем оба набора прорезей имеют одинаковое расстояние между центром одной прорези и следующей.

Приближения

Проблема расчета того, как выглядит дифрагированная волна, — это проблема определения фазы каждого из простых источников на фронте приходящей волны. Математически легче рассмотреть случай дифракции в дальнем поле или дифракции Фраунгофера , когда точка наблюдения находится далеко от точки дифрагирующего препятствия и, как следствие, требует менее сложной математики, чем более общий случай дифракции в ближнем поле или дифракции Френеля. дифракция . Чтобы сделать это утверждение более количественным, рассмотрим дифрагирующий объект в начале координат, имеющий размер $a$ . Для определенности скажем, что мы преломляем свет и нас интересует, как выглядит интенсивность на экране на расстоянии $L$ вдали от объекта. В какой-то момент экрана длина пути до одной стороны объекта определяется теоремой Пифагора.

S={\sqrt {L^{2}+(x+a/2)^{2}}}

^{[ нужны дальнейшие объяснения ]}

Если теперь рассмотреть ситуацию, когда $L\gg (x+a/2)$ , длина пути становится $S\approx \left(L+{\frac {(x+a/2)^{2}}{2L}}\right)=L+{\frac {x^{2}}{2L}}+{\frac {xa}{2L}}+{\frac {a^{2}}{8L}}$ Это приближение Френеля. Чтобы еще больше упростить ситуацию: если дифрагирующий объект намного меньше расстояния $L$ , последний член будет вносить гораздо меньший вклад в длину пути, чем длина волны, и тогда не будет существенно изменять фазу. То есть ${\frac {a^{2}}{L}}\ll \lambda$ . Результатом является приближение Фраунгофера, которое справедливо только на очень большом расстоянии от объекта. $S\approx L+{\frac {x^{2}}{2L}}+{\frac {xa}{2L}}$ В зависимости от размера объекта дифракции, расстояния до объекта и длины волны может быть применимо приближение Френеля, приближение Фраунгофера или ни одно из приближений. По мере увеличения расстояния между измеренной точкой дифракции и точкой препятствия, картины дифракции или предсказанные результаты сходятся к картинам дифракции Фраунгофера, которая чаще наблюдается в природе из-за чрезвычайно малой длины волны видимого света.

Несколько узких прорезей

Простое количественное описание

Схема задачи дифракции на двух щелях, показывающая угол к первому минимуму, при котором разница в длине пути в половину длины волны вызывает деструктивную интерференцию.

Многощелевые устройства можно математически рассматривать как несколько простых источников волн, если щели достаточно узкие. Для света щель — это отверстие, бесконечно расширяющееся в одном измерении, и это приводит к сведению волновой проблемы в трехмерном пространстве к более простой задаче в двумерном пространстве. Простейший случай — две узкие щели, расположенные на расстоянии $\ a$ отдельно. Для определения максимумов и минимумов амплитуды необходимо определить разность хода до первой щели и второй. В приближении Фраунгофера, когда наблюдатель находится далеко от щелей, на изображении можно увидеть разницу в длине пути до двух щелей: $\Delta S={a}\sin \theta$ Максимумы интенсивности возникают, если эта разность длин путей равна целому числу длин волн.

$a\sin \theta =n\lambda$ где

$n$ целое число , обозначающее порядок каждого максимума,
$\lambda$ длина волны,
$a$ расстояние между щелями, а
$\theta$ — угол, под которым возникает конструктивная интерференция.

Соответствующие минимумы находятся при разности хода, равной целому числу плюс половина длины волны: $a\sin \theta =\lambda (n+1/2)\,.$

Для массива щелей положения минимумов и максимумов не изменяются, однако полосы , видимые на экране, становятся более резкими, как видно на изображении.

2-щелевая и 5-щелевая дифракция красного лазерного луча.

Математическое описание

Чтобы вычислить эту картину интенсивности, необходимо ввести несколько более сложных методов. Математическое представление радиальной волны имеет вид $E(r)=A\cos(kr-\omega t+\phi )/r$ где $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ , $\lambda$ длина волны, $\omega$ частота волны и $\phi$ — фаза волны на щелях в момент времени t = 0. Волна на экране на некотором расстоянии от плоскости щелей определяется суммой волн, исходящих из каждой из щелей. Чтобы немного упростить эту задачу, введем сложную волну $\Psi$ , действительная часть которого равна $E$ $\Psi (r)=Ae^{i(kr-\omega t+\phi )}/r$ $E(r)=\operatorname {Re} (\Psi (r))$ Абсолютное значение этой функции дает амплитуду волны, а комплексная фаза функции соответствует фазе волны. $\Psi$ называется комплексной амплитудой.С $N$ щели, общая волна в точке $\ x$ на экране есть $\Psi _{\text{total}}=Ae^{i(-\omega t+\phi )}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {e^{ik{\sqrt {(x-na)^{2}+L^{2}}}}}{\sqrt {\left(x-na\right)^{2}+L^{2}}}}.$

Поскольку на данный момент нас интересуют только амплитуда и относительная фаза, мы можем игнорировать любые общие фазовые факторы, которые не зависят от $x$ или $n$ . Мы приближаем ${\sqrt {(x-na)^{2}+L^{2}}}\approx L+(x-na)^{2}/2L$ . В пределе Фраунгофера мы можем пренебречь членами порядка ${\frac {a^{2}}{2L}}$ в экспоненте, и любые члены, включающие $a/L$ или $x/L$ в знаменателе. Сумма становится $\Psi =A{\frac {e^{i\left(k({\frac {x^{2}}{2L}}+L)-\omega t+\phi \right)}}{L}}\sum _{n=0}^{N-1}e^{-ik{\frac {xna}{L}}}$

Сумма имеет форму геометрической суммы и может быть вычислена следующим образом: $\Psi =A{\frac {e^{i\left(k({\frac {x^{2}-(N-1)ax}{2L}}+L)-\omega t+\phi \right)}}{L}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkax}{2L}}\right)}{\sin \left({\frac {kax}{2L}}\right)}}$

Интенсивность определяется абсолютным значением квадрата комплексной амплитуды. $I(x)=\Psi \Psi ^{*}=|\Psi |^{2}=I_{0}\left({\frac {\sin \left({\frac {Nkax}{2L}}\right)}{\sin \left({\frac {kax}{2L}}\right)}}\right)^{2}$ где $\Psi ^{*}$ обозначает комплексно-сопряженное число $\Psi$ .

Одиночная щель

Численная аппроксимация картины дифракции от щели шириной, равной длине волны падающей плоской волны, в трехмерной синей визуализации

Например, теперь можно вывести точное уравнение для зависимости интенсивности дифракционной картины от угла в случае дифракции на одной щели.

Математическое представление принципа Гюйгенса можно использовать для начала уравнения.

Рассмотрим монохроматическую комплексную плоскую волну $\Psi ^{\prime }$ длины волны λ, падающую на щель шириной a .

Если щель лежит в плоскости x'-y' с центром в начале координат, то можно предположить, что дифракция генерирует сложную волну ψ, распространяющуюся радиально в направлении r от щели, и это определяется выражением: $\Psi =\int _{\mathrm {slit} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {slit}$

Пусть $(x', y', 0)$ — точка внутри щели, по которой она интегрируется. Если $(x, 0, z)$ — это место, в котором вычисляется интенсивность дифракционной картины, щель простирается от $x'=-a/2$ к $+a/2\,$ и из $y'=-\infty$ к $\infty$ .

Расстояние r от прорези равно: $r={\sqrt {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}+z^{2}}}$ $r=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}$

Если предположить, что дифракция Фраунгофера приведет к выводу $z\gg {\big |}\left(x-x^{\prime }\right){\big |}$ . Другими словами, расстояние до мишени намного больше, чем ширина дифракции на мишени.По правилу биномиального разложения , игнорируя члены, квадратичные и выше, величину справа можно оценить как:

$r\approx z\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-x'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)$ $r\approx z+{\frac {\left(x-x'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{2z}}$

Видно, что 1/ r перед уравнением не является колебательным, т.е. его вклад в величину интенсивности невелик по сравнению с нашими экспоненциальными множителями. Следовательно, мы немного потеряем точность, аппроксимируя ее как 1/ z .

${\begin{aligned}\Psi &={\frac {i\Psi '}{z\lambda }}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[z+{\frac {\left(x-x'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy'\,dx'\\&={\frac {i\Psi ^{\prime }}{z\lambda }}e^{-ikz}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{-ik\left[{\frac {\left(x-x'\right)^{2}}{2z}}\right]}\,dx^{\prime }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[{\frac {y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy'\\&=\Psi ^{\prime }{\sqrt {\frac {i}{z\lambda }}}e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikxx'}{z}}e^{\frac {-ikx^{\prime 2}}{2z}}\,dx'\end{aligned}}$

Чтобы упростить задачу, заполнитель C. для обозначения констант в уравнении используется Важно помнить, что C может содержать мнимые числа, поэтому волновая функция будет комплексной. Однако в конце ψ будет заключена в скобки, что исключит любые мнимые компоненты.

Теперь, в дифракции Фраунгофера, $kx^{\prime 2}/z$ маленький, поэтому $e^{\frac {-ikx^{\prime 2}}{2z}}\approx 1$ (Обратите внимание, что $x^{\prime }$ участвует в этой экспоненте и интегрируется).

В отличие от термина $e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}$ можно исключить из уравнения, поскольку в скобках оно дает 1. $\left\langle e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}|e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\right\rangle =e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\left(e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\right)^{*}=e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}e^{\frac {+ikx^{2}}{2z}}=e^{0}=1$

(По той же причине мы также исключили термин $e^{-ikz}$ )

принимая $C=\Psi ^{\prime }{\sqrt {\frac {i}{z\lambda }}}$ приводит к: $\Psi =C\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikxx^{\prime }}{z}}\,dx^{\prime }=C{\frac {e^{\frac {ikax}{2z}}-e^{\frac {-ikax}{2z}}}{\frac {ikx}{z}}}$

можно заметить , что С помощью формулы Эйлера и ее производных $\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$ и $\sin \theta ={\frac {x}{z}}$ .

$\Psi =aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}=aC\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)\right]$ где (ненормализованная) функция sinc определяется выражением $\operatorname {sinc} (x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\sin(x)}{x}}$ .

Теперь, подставив в ${\frac {2\pi }{\lambda }}=k$ , интенсивность (квадрат амплитуды) $I$ дифрагированных волн под углом θ определяется выражением: $I(\theta )=I_{0}{\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]}^{2}$

Несколько прорезей

Двухщелевая дифракция красного лазерного луча

Давайте снова начнем с математического представления принципа Гюйгенса . $\Psi =\int _{\mathrm {slit} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {slit}$

Учитывать $N$ щели в основной плоскости одинакового размера $a$ и интервал $d$ распространяться вдоль $x^{\prime }$ ось. Как и выше, расстояние $r$ из щели 1: $r=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}$

Обобщив это на $N$ щели, мы замечаем, что, хотя $z$ и $y$ оставаться постоянным, $x^{\prime }$ сдвигается на $x_{j=0\cdots n-1}^{\prime }=x_{0}^{\prime }-jd$

Таким образом $r_{j}=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }-jd\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}$ и сумма всех $N$ вклад в волновую функцию составляет: $\Psi =\sum _{j=0}^{N-1}C\int _{-{a}/{2}}^{{a}/{2}}e^{\frac {ikx\left(x'-jd\right)}{z}}e^{\frac {-ik\left(x'-jd\right)^{2}}{2z}}\,dx^{\prime }$

Еще раз отметив, что ${\frac {k\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{z}}$ маленький, поэтому $e^{\frac {-ik\left(x'-jd\right)^{2}}{2z}}\approx 1$ , у нас есть: ${\begin{aligned}\Psi &=C\sum _{j=0}^{N-1}\int _{-{a}/{2}}^{{a}/{2}}e^{\frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}\,dx^{\prime }\\&=aC\sum _{j=0}^{N-1}{\frac {\left(e^{{\frac {ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}-e^{{\frac {-ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}\\&=aC\sum _{j=0}^{N-1}e^{\frac {ijkxd}{z}}{\frac {\left(e^{\frac {ikax}{2z}}-e^{\frac {-ikax}{2z}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}\\&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\sum _{j=0}^{N-1}e^{ijkd\sin \theta }\end{aligned}}$

Теперь мы можем использовать следующее тождество $\sum _{j=0}^{N-1}e^{xj}={\frac {1-e^{Nx}}{1-e^{x}}}.$

Подставив в наше уравнение, находим: ${\begin{aligned}\Psi &=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {1-e^{iNkd\sin \theta }}{1-e^{ikd\sin \theta }}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)\left({\frac {e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}{\frac {e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}}\left(e^{i(N-1)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkd\sin \theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {kd\sin \theta }{2}}\right)}}e^{i\left(N-1\right)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}\end{aligned}}$

Теперь мы делаем нашу $k$ замену, как и раньше, и представить все неосциллирующие константы через $I_{0}$ переменную, как при дифракции на 1 щели, и заключите результат в скобки. Помните, что $\left\langle e^{ix}{\Big |}e^{ix}\right\rangle =e^{0}=1$

Это позволяет нам отбросить хвостовую экспоненту и получить ответ: $I\left(\theta \right)=I_{0}\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]^{2}\cdot \left[{\frac {\sin \left({\frac {N\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}{\sin \left({\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}}\right]^{2}$

Общий случай для дальнего поля

В дальней зоне, где $r$ практически постоянно, уравнение: $\Psi =\int _{\mathrm {slit} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {slit}$ эквивалентно преобразованию Фурье разрывов в барьере. ^[1]

См. также

Ссылки

^ Дж. М. Роденбург, Преобразование Фурье

[1] Дж. М. Роденбург, Преобразование Фурье

[1]