Закон Бетца

Схема течения жидкости через дискообразный привод . Для жидкости постоянной плотности площадь поперечного сечения изменяется обратно пропорционально скорости.

В аэродинамике указывает закон Бетца максимальную мощность , которую можно получить от ветра, независимо от конструкции ветряной турбины с открытым потоком. Оно было опубликовано в 1919 году немецким физиком Альбертом Бетцем . Закон основан на принципах сохранения массы и импульса воздушного потока, проходящего через идеализированный « приводной диск», который извлекает энергию из ветрового потока. Согласно закону Бетца, ни одна ветряная турбина любого механизма не может уловить более 16/27 (59,3%) кинетической энергии ветра. Коэффициент 16/27 (0,593) известен как коэффициент Бетца . Практические ветряные турбины коммунального масштаба достигают пиковой мощности 75–80% от предела Бетца.

Предел Бетца основан на приводе с открытым диском . Если для сбора дополнительного потока ветра и направления его через турбину используется диффузор , можно извлечь больше энергии, но ограничение по-прежнему распространяется на поперечное сечение всей конструкции.

Концепции

Закон Бетца применим ко всем ньютоновским жидкостям , включая ветер. Если бы вся энергия, поступающая от движения ветра через турбину, была извлечена как полезная энергия, скорость ветра впоследствии упала бы до нуля. Если бы ветер прекратил движение на выходе из турбины, то свежий ветер больше не смог бы проникнуть внутрь; оно будет заблокировано. Чтобы ветер продолжал двигаться через турбину, на другой стороне должно быть некоторое движение ветра, пусть даже небольшое, со скоростью ветра, большей нуля. Закон Бетца показывает, что по мере того, как воздух проходит через определенную область и скорость ветра замедляется от потери энергии до ее отбора из турбины, воздушный поток должен распространяться на более широкую область. В результате геометрия ограничивает максимальную эффективность любой турбины.

Независимые открытия

Британский ученый Фредерик Ланчестер получил тот же максимум в 1915 году. Лидер русской аэродинамической школы Николай Жуковский также опубликовал тот же результат для идеальной ветряной турбины в 1920 году, в том же году, что и Бец. Таким образом, это пример закона Стиглера , который утверждает, что ни одно научное открытие не носит имя его фактического первооткрывателя.

Доказательство

Предел Бетца — это максимально возможная энергия, которую бесконечно тонкий ротор может извлечь из жидкости, текущей с определенной скоростью.

Чтобы рассчитать максимальный теоретический КПД тонкого ротора (например, ветряной турбины ), можно представить, что его заменяют диском, отбирающим энергию у проходящей через него жидкости. На некотором расстоянии за этим диском жидкость, прошедшая через диск, имеет пониженную, но ненулевую скорость.

Предположения

1. Диск идеален, без ступицы (так что, если бы его можно было представить как ротор, он мог бы иметь бесконечное количество лопастей, не имеющих сопротивления). Предполагается, что любые неидеальности снижают эффективность.
2. В качестве фактически одномерной модели поток в диск и из него является осевым, и все скорости однородны в поперечном направлении. Это анализ контрольного объема; контрольный объем должен содержать весь входящий и исходящий поток, чтобы можно было использовать уравнения сохранения.
3. Поток несжимаем. Плотность постоянна, теплопередача отсутствует.
4. К диску прикладывается равномерное давление. (В этой одномерной модели нет радиальной зависимости от давления.)

Применение закона сохранения массы (уравнение неразрывности)

Применяя закон сохранения массы к контрольному объему, массовый расход (масса жидкости, протекающая в единицу времени), равна

$${\dot {m}}=\rho A_{1}v_{1}=\rho Sv=\rho A_{2}v_{2},$$

где v ₁ – скорость в передней части ротора, v ₂ – скорость за ротором, v – скорость на гидросиловом устройстве, ρ – плотность жидкости, $S$ - площадь турбины, а $A_{1}$ и $A_{2}$ – площади жидкости до и после турбины (вход и выход управляющего объема).

Плотность, умноженная на площадь, и скорость должны быть равны в каждой из трех областей: перед турбиной, при прохождении через турбину и за турбиной.

Сила, действующая на ветер со стороны ротора, равна массе воздуха, умноженной на его ускорение: $${\begin{aligned}F&=ma\\&=m{\frac {dv}{dt}}\\&={\dot {m}}\,\Delta v\\&=\rho Sv(v_{1}-v_{2}).\end{aligned}}$$

Мощность и работа

Дополнительную работу, совершаемую силой, можно записать

$$dE=F\,dx,$$

а мощность (скорость совершения работы) ветра равна

$$P={\frac {dE}{dt}}=F{\frac {dx}{dt}}=Fv.$$

Подстановка силы F, вычисленной выше, в уравнение мощности дает мощность, извлекаемую из ветра:

$$P=\rho Sv^{2}(v_{1}-v_{2}).$$

Однако мощность можно вычислить другим способом, используя кинетическую энергию. Применение уравнения сохранения энергии к контрольному объему дает

$$P={\frac {\Delta E}{\Delta t}}={\tfrac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).$$

Подстановка массового расхода из уравнения неразрывности дает

$$P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).$$

Оба эти выражения власти действительны; один был получен путем изучения дополнительной работы, а другой - путем сохранения энергии. Приравнивая эти два выражения, получаем

$$P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=\rho Sv^{2}(v_{1}-v_{2}).$$

Плотность не может быть равна нулю ни для каких v и S, поэтому

$${\tfrac {1}{2}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})={\tfrac {1}{2}}(v_{1}-v_{2})(v_{1}+v_{2})=v(v_{1}-v_{2}),$$

или

$$v={\tfrac {1}{2}}(v_{1}+v_{2}).$$

Постоянную скорость ветра на роторе можно принять как среднее значение скоростей вверх и вниз по потоку. Это, возможно, самый нелогичный этап вывода закона Бетца. Это является прямым следствием предположения об «осевом потоке», которое исключает любой радиальный поток массы в области диска привода. При отсутствии утечки массы и постоянном диаметре в зоне привода скорость воздуха не может измениться в зоне взаимодействия. Таким образом, никакая энергия не может быть извлечена, кроме как в передней и задней части области взаимодействия, фиксируя среднюю скорость воздуха приводного диска. (Устранение этого ограничения может обеспечить более высокую производительность, чем позволяет закон Бетца, но необходимо учитывать и другие радиальные эффекты. Этот эффект постоянной скорости отличается от радиальных потерь кинетической энергии, которые также игнорируются. )

Закон Бетца и коэффициент полезного действия

См. также: коэффициент полезного действия.

Возвращаясь к предыдущему выражению мощности , основанной на кинетической энергии:

${\begin{aligned}P&={\tfrac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\tfrac {1}{4}}\rho S(v_{1}+v_{2})(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\tfrac {1}{4}}\rho Sv_{1}^{3}\left(1+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{3}\right).\end{aligned}}$

Горизонтальная ось отражает соотношение v ₂ / v ₁ , вертикальная ось — коэффициент мощности КП _. ​

Дифференцируя ​ $P$ относительно ${\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}$ для данной скорости жидкости v ₁ и данной площади S можно найти максимальное или минимальное значение для $P$. В результате $P$ достигает максимального значения, когда ${\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}={\tfrac {1}{3}}$.

Замена этого значения приводит к

$$P_{\text{max}}={\tfrac {16}{27}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.$$

Мощность, получаемая от цилиндра с жидкостью площадью поперечного сечения S и скоростью v _1, равна

$$P=C_{\text{P}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.$$

Эталонной мощностью для расчета эффективности Беца является мощность в движущейся жидкости в цилиндре с площадью поперечного сечения S и скоростью v ₁ :

$$P_{\text{wind}}={\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.$$

Коэффициент мощности C _P (= P / P _ветра ) — безразмерное отношение извлекаемой мощности P к кинетической мощности P _ветра, имеющейся в нераспределенном потоке. Он имеет максимальное значение C _{P max} = 16/27 = 0,593 (или 59,3%; однако коэффициенты эффективности обычно выражаются в десятичных дробях, а не в процентах). Полученное выражение:

$$C_{P}\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{3}\right)$$

Современные большие ветряные турбины достигают пиковых значений C _P в диапазоне от 0,45 до 0,50. около 75–85% от теоретически возможного максимума. При высокой скорости ветра, когда турбина работает на номинальной мощности, турбина вращает (наклоняет) свои лопасти, чтобы снизить C _P , чтобы защитить себя от повреждений. Мощность ветра увеличивается в 8 раз с 12,5 до 25 м/с, поэтому C _P должна соответственно падать, достигая 0,06 при скорости ветра 25 м/с.

Понимание результатов Бетца

Коэффициент скорости ${\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}={\tfrac {1}{3}}$ между уходящим и приходящим ветром означает, что выходящий воздух имеет только $({\tfrac {1}{3}})^{2}={\tfrac {1}{9}}$ кинетическая энергия поступающего воздуха, и что ${\tfrac {8}{9}}$ энергии поступающего воздуха было извлечено. Это правильный расчет, но он учитывает только входящий воздух, который в конечном итоге проходит через ротор.

Последним шагом в расчете эффективности Беца C _p является деление расчетной мощности, извлекаемой из потока, на эталонную мощность. В качестве эталонной мощности в анализе Бетца используется мощность воздуха, движущегося вверх по потоку с V ₁ через площадь поперечного сечения S ротора. С $A_{1}={\tfrac {2}{3}}S$ на пределе Бетца ротор извлекает ${\tfrac {8}{9}}$ из ${\tfrac {2}{3}}$, или ${\tfrac {16}{27}},$ поступающей кинетической энергии.

Поскольку площадь поперечного сечения ветра, проходящего через ротор, изменяется, должен быть некоторый поток воздуха в направлениях, перпендикулярных оси ротора. Любая кинетическая энергия, связанная с этим радиальным потоком, не влияет на расчет, поскольку расчет учитывает только начальное и конечное состояния воздуха в системе.

Верхние границы для ветряных турбин

Хотя это часто рекламируется (например, ) в качестве окончательной верхней границы извлечения энергии любой возможной ветряной турбиной это не так. Несмотря на вводящее в заблуждение название статьи, Бетц (и Ланчестер) никогда не делал таких безоговорочных заявлений. Примечательно, что ветряная турбина, работающая с максимальным КПД Бетца, имеет ненулевой след скорости ветра. Любой приводной диск, расположенный после первого, будет извлекать дополнительную мощность, и поэтому комбинированный двойной комплекс приводов превышает предел Бетца. Второй приводной диск может (но не обязательно) находиться в дальней зоне ветра (параллельная линия тока), чтобы это соображение учитывалось.

Причина этого удивительного исключения из закона, основанного исключительно на законах сохранения энергии и потока, таится в, казалось бы, скромном предположении о поперечной однородности осевого профиля ветра внутри линий тока. Например, вышеупомянутая ветряная турбина с двойным приводом имеет после себя поперечный профиль ветра, который имеет две различные скорости и, таким образом, не ограничен пределами одного приводного диска.

Математически вывод для одного приводного диска неявно включает в себя предположение, что ветер не меняет скорость при прохождении через «бесконечно тонкий» привод ; Напротив, в гибриде с двойным приводом ветер меняет скорость по мере прохождения, что делает недействительным ключевой этап вывода, требующий постоянной скорости. Один бесконечно тонкий привод не может изменить скорость, потому что в противном случае он не сохранял бы поток, но в гибридной паре поток может рассеиваться (за пределами сечения) между приводами, что позволяет получить конечную скорость на выходе, отличную от скорости на входе.

Проанализированы физические многосоосные ветровые турбины. Хотя на практике они не превышают предела Беца, это можно объяснить тем фактом, что роторы не только имеют потери, но также должны подчиняться угловому моменту. и теория импульса элемента Блейда , которая ограничивает их эффективность ниже предела Бетца.

Современные исследования показали, что более мягкая верхняя граница ${\tfrac {2}{3}}$ может быть достигнуто, если исключить «ненужные предположения» при выводе закона Бетца.

Экономическая значимость

Большинство реальных ветряных турбин аэродинамически «тонкие», что делает их приближенными к положениям закона Бетца. В той степени, в которой типичная ветряная турбина соответствует предположениям закона Бетца, предел Бетца устанавливает приблизительную верхнюю границу годовой энергии, которая может быть извлечена на объекте. Даже если гипотетический ветер дул постоянно в течение всего года, любая скважина ветряной турбины, аппроксимированная моделью приводного диска, может извлечь не больше, чем предел Бетца энергии, содержащейся в ветре этого года.

Существенное повышение экономической эффективности системы происходит за счет увеличения производительности на единицу продукции, измеряемую на квадратный метр поверхности лопасти. Для снижения себестоимости производства электроэнергии необходимо повышение эффективности системы. Повышение эффективности может быть результатом разработки устройств улавливания ветра, таких как конфигурация и динамика ветряных турбин, которые могут увеличить выработку электроэнергии этими системами в пределах предела Бетца. Повышение эффективности системы при применении, передаче или хранении энергии также может способствовать снижению стоимости энергии на единицу.

Достопримечательности

Предположения вывода Бетца налагают некоторые физические ограничения на характер ветряных турбин, к которым это применяется (например, идентичная скорость на входе и выходе). Но помимо этих допущений предел Беца не зависит от внутренней механики ветровытяжной системы, поэтому S может принимать любую форму при условии, что поток движется от входа в контрольный объем к выходу, а контрольный объем имеет равномерный вход. и скорости выхода. Любые посторонние эффекты могут только снизить производительность системы (обычно турбины), поскольку этот анализ был идеализирован, чтобы не учитывать трение. Любые неидеальные эффекты будут уменьшать энергию, имеющуюся в поступающей жидкости, снижая общую эффективность.

Некоторые производители и изобретатели заявляли о превышении предела за счет использования форсунок и других устройств отвода ветра, обычно путем искажения предела Беца и расчета только площади ротора, а не общего поступления воздуха, способствующего энергии ветра, извлекаемой из системы.

Предел Бетца не имеет значения при расчете эффективности турбины в мобильных приложениях, таких как ветряные транспортные средства , поскольку здесь эффективность теоретически может приближаться к 100% за вычетом потерь на лопастях, если поток жидкости через диск турбины (или его эквивалент) замедляется лишь незаметно. . Поскольку для этого потребуется бесконечно большая структура, практические устройства редко достигают 90% и более. Количество энергии, извлекаемой из потока жидкости при высоких КПД турбины, меньше предела Беца, что не относится к тому же типу КПД.

Современное развитие

В 1934 г. Х. Глауэрт вывел выражение для КПД турбины с учетом угловой составляющей скорости путем применения баланса энергии поперек плоскости ротора. Согласно модели Глауэрта, эффективность ниже предела Бетца и асимптотически приближается к этому пределу, когда передаточное число наконечников стремится к бесконечности.

В 2001 году Горбань , Горлов и Силантьев представили точно решаемую модель (ТГС), которая учитывает неравномерное распределение давления и криволинейный поток в плоскости турбины (вопросы, не включенные в подход Бетца). Они использовали и модифицировали модель Кирхгофа . который описывает турбулентный след за приводом как «вырожденный» поток и использует уравнение Эйлера вне вырожденной области. Модель GGS предсказывает, что пиковая эффективность достигается, когда поток через турбину составляет примерно 61% от общего потока, что очень похоже на результат Бетца 2 ⁄ 3 для потока, приводящего к пиковой эффективности, но GGS предсказал, что сама пиковая эффективность намного меньше: 30,1%.

В 2008 году вязкостные расчеты, основанные на вычислительной гидродинамике (CFD), были применены к моделированию ветряных турбин и продемонстрировали удовлетворительное согласие с экспериментом. Вычисленная оптимальная эффективность обычно находится между пределом Бетца и решением GGS.

Внешние ссылки

• Пьер Леканю, Джоэл Бриард, Доминик Муазе. Предел Бетца применительно к теории ветряных турбин с вертикальной осью