Глоссарий Principia Mathematica

Это список обозначений, используемых в Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела ( « Principia Mathematica» 1910–1913).

Во втором (но не первом) издании тома I в конце есть список обозначений.

Глоссарий

Это глоссарий некоторых технических терминов Principia Mathematica , которые больше не используются широко или значение которых изменилось.

кажущаяся переменная

связанная переменная

атомарное предложение

Предложение формы R ( x , y ,...), где R — отношение.

Барбара

Мнемоника определенного силлогизма .

сорт

Подмножество членов некоторого типа

кодомен

Кодоменом отношения R является класс y такой, что xRy для некоторого x .

компактный

Отношение R называется компактным, если всякий раз, когда xRz существует y с xRy и yRz

согласный

Набор действительных чисел называется согласованным, если все ненулевые члены имеют одинаковый знак.

подключен

связь

Отношение R называется связным, если для любых двух различных членов x , y либо xRy , либо yRx .

непрерывный

Непрерывный ряд — это полное, вполне упорядоченное множество, изоморфное действительным числам. *275

коррелятор

биекция

пара

1. Кардинальная пара – это класс, состоящий ровно из двух элементов.

2. Порядковая пара — это упорядоченная пара (в PM рассматривается как особый вид отношения).

Дедекинд

полное (отношение) *214

быть определен

Определяемый символ

определенно

Значение чего-либо определяемого

производная

Производная подкласса ряда — это класс пределов непустых подклассов.

описание

Определение чего-либо как уникального объекта с заданным свойством.

описательная функция

Функция, принимающая значения, которые не обязательно должны быть значениями истинности, другими словами, то, что не называется просто функцией.

разнообразие

Отношение неравенства

домен

Областью определения отношения R является класс x такой, что xRy для некоторого y .

элементарное предложение

Предложение, построенное из атомарных предложений с использованием «или» и «нет», но без связанных переменных.

Эпименид

Эпименид был легендарным критским философом.

существующий

непустой

экстенсиональная функция

Функция, значение которой не меняется, если один из ее аргументов меняется на эквивалентный.

поле

Поле отношения R представляет собой объединение его области определения и кодомена.

первый порядок

Предложению первого порядка разрешено иметь количественную оценку по индивидуумам, но не по вещам более высокого типа.

функция

Это часто означает пропозициональную функцию, другими словами, функцию, принимающую значения «истина» или «ложь». Если она принимает другие значения, она называется «дескриптивной функцией». PM позволяет двум функциям различаться, даже если они принимают одинаковые значения для всех аргументов.

общее предложение

Предложение, содержащее кванторы

обобщение

Количественная оценка некоторых переменных

однородный

Отношение называется однородным, если все аргументы имеют один и тот же тип.

индивидуальный

Рассматриваемый элемент низшего типа

индуктивный

Конечен в том смысле, что кардинал является индуктивным, если его можно получить путем многократного прибавления 1 к 0. *120

интенсиональная функция

Функция, которая не является экстенсиональной.

логичный

1. Логическая сумма двух предложений есть их логическое дизъюнкция.

2. Логическим произведением двух предложений является их логическое соединение.

матрица

Функция без связанных переменных. *12

медиана

Класс называется медианным для отношения, если какой-либо элемент класса лежит строго между любыми двумя терминами. *271

член

элемент (класса)

молекулярное предложение

Предложение, построенное из двух или более атомарных предложений с использованием «или» и «нет»; другими словами, элементарное предложение, которое не является атомарным.

нулевой класс

Класс, не содержащий членов

предикативный

Столетие научных дискуссий не привело к определенному консенсусу относительно того, что именно это означает, и Principia Mathematica дает несколько различных объяснений этого явления, которые нелегко согласовать. См. введение и *12. *12 говорит, что предикативная функция — это функция без явных (связанных) переменных, другими словами, это матрица.

примитивное предложение

Предложение, принятое без доказательства

прогресс

Последовательность (индексированная натуральными числами)

рациональный

Рациональный ряд – это упорядоченное множество, изоморфное рациональным числам.

действительная переменная

свободная переменная

референт

Термин x в xRy

рефлексивный

бесконечен в том смысле, что класс находится во взаимно однозначном соответствии с собственным подмножеством (*124)

связь

Пропозициональная функция некоторых переменных (обычно двух). Это похоже на нынешнее значение слова «отношения».

относительный продукт

Относительным произведением двух отношений является их композиция.

сообщил

Термин y в xRy

объем

Объем выражения — это часть предложения, в которой выражение имеет некоторое заданное значение (глава III).

Скотт

Сэр Вальтер Скотт , автор «Уэверли» .

второго порядка

Функция второго порядка — это функция, которая может иметь аргументы первого порядка.

раздел

Раздел общего порядка — это подкласс, содержащий всех предшественников своих членов.

сегмент

Подкласс полностью упорядоченного множества, состоящего из всех предшественников членов некоторого класса.

выбор

Функция выбора: что-то, что выбирает один элемент из каждого набора классов.

последующий

Секвенцией класса α в полностью упорядоченном классе называется минимальный элемент класса термов, следующих после всех членов α. (*206)

серийное отношение

Общий порядок в классе

значительный

четко определенный или значимый

похожий

той же мощности

потягиваться

Выпуклый подкласс упорядоченного класса

гладить

( Удар Шеффера используется только во втором издании PM )

тип

Как в теории типов . Все объекты принадлежат к одному из нескольких непересекающихся типов.

обычно

Относительно типов; например, «типично неоднозначный» означает «неоднозначного типа».

единица

Юнитный класс — это класс, который содержит ровно один элемент.

универсальный

Универсальный класс — это класс, содержащий все члены некоторого типа.

вектор

1. По сути, инъективная функция из класса в себя (например, вектор в векторном пространстве, действующий в аффинном пространстве).

2. Вектор-семейство — это непустое коммутационное семейство инъективных функций из некоторого класса в себя (VIB).

представленные в Principia Mathematica ,

Символ	Примерное значение	Ссылка
✸	Указывает, что следующее число является ссылкой на какое-то предложение.
а, б, в, г, л, к, м	Классы	Глава I стр. 5
ж , г , θ, ж, х, ψ	Функции переменных (хотя θ позже переопределяется как тип порядка действительных чисел)	Глава I стр. 5
а , б , в , ш , Икс , у , z	Переменные	Глава I стр. 5
п , д , р	Переменные предложения (хотя значение p меняется после раздела 40).	Глава I стр. 5
П , К , Р , С , Т , У	Отношения	Глава I стр. 5
. : :. ::	Точки используются для обозначения того, как выражения следует заключать в скобки, а также для логического «и».	Глава I, стр. 10
${\hat {x}}$	Указывает (примерно), что x — связанная переменная, используемая для определения функции. Также может означать (примерно) «набор x такой, что...».	Глава I, стр. 15.
!	Указывает, что предшествующая ей функция имеет первый порядок.	Chapter II.V
⊦	Утверждение: это правда, что	*1(3)
~	Нет	*1(5)
∨	Или	*1(6)
⊃	(Модификация символа Пеано Ɔ.) Подразумевается	*1.01
=	Равенство	*1.01
Дф	Определение	*1.01
ПП	Примитивное предложение	*1.1
Дем.	Сокращение от «Демонстрация».	*2.01
.	Логично и	*3.01
p ⊃ q ⊃ r	p ⊃ q и q ⊃ r	*3.02
≡	Эквивалентно	*4.01
p ≡ q ≡ r	p ≡ q и q ≡ r	*4.02
л.с.	Сокращенно от «Гипотеза».	*5.71
( х )	Для всех x. Это также можно использовать с несколькими переменными, как в версии 11.01.	*9
(∃ x )	Существует х такой, что. Это также можно использовать с несколькими переменными, как в 11.03.	*9, *10.01
≡ x , ⊃ x	Индекс x — это аббревиатура, означающая, что эквивалентность или импликация справедливы для всех x . Это также можно использовать с несколькими переменными.	*10.02, *10.03, *11.05.
=	x = y означает, что x идентичен y в том смысле, что они имеют одинаковые свойства.	*13.01
≠	Не идентичны	*13.02
х = у = z	х = у и у = z	*13.3
℩	Это перевернутая йота (Юникод U+2129). ℩ x примерно означает «уникальный x такой, что...».	*14
[]	Индикатор объема для определенных описаний .	*14.01
И!	Существует уникальный...	*14.02
е	Греческий эпсилон, сокращение греческого слова ἐστί, означающего «есть». Оно используется в значении «является членом» или «является».	*20.02 и Глава I, стр. 26.
Клс	Сокращение от «Класс». 2-класс из всех классов	*20.03
,	Аббревиатура, используемая, когда несколько переменных имеют одно и то же свойство.	*20.04, *20.05
~е	Не является членом	*20.06
Опора	Сокращение от «Предложение» (обычно утверждение, которое пытаются доказать).	Примечание перед *2.17
Рел	Класс отношений	*21.03
⊂ ⪽	Является подмножеством (с точкой для отношений)	*22.01, *23.01
∩ ⩀	Пересечение (с точкой для отношений). α∩β∩γ определяется как (α∩β)∩γ и так далее.	*22.02, *22.53, *23.02, *23.53
∪ ⨄	Объединение (с точкой для отношений) α∪β∪γ определяется как (α∪β)∪γ и так далее.	22.03, *22.71, *23.03, *23.71
− ∸	Дополнение класса или разница двух классов (с точкой для отношений)	*22.04, *22.05, *23.04, *23.05
V ⩒	Универсальный класс (с точкой для отношений)	*24.01
Л ⩑	Нулевой или пустой класс (с точкой для отношений).	24.02
∃!	Следующий класс непустой	*24.03
‘	R ' y означает уникальный x такой, что xRy	*30.01
Кнв	Сокращение от разговора. Обратное отношение между отношениями	*31.01
Р	Обратное отношение R	*31.02
${\overrightarrow {R}}$	Отношение такое, что $x{\overrightarrow {R}}z$ если x - это множество всех y таких, что $y{\overrightarrow {R}}z$	*32.01
${\overleftarrow {R}}$	Похоже на: ${\overrightarrow {R}}$ с левым и правым аргументами поменянными местами	*32.02
сг	Сокращение от «сагитта» (лат. стрела). Отношения между ${\overrightarrow {R}}$ и Р. ​	*32.03
гс	Обращение сг. Отношения между ${\overleftarrow {R}}$ и Р. ​	32.04
Д	Домен отношения (α DR означает, что α является доменом R ).	*33.01
Д	(Перевернутый D) Кодомен отношения	*33.02
С	(Начальная буква слова «кампус», что на латыни означает «поле».) Поле отношения, объединение его домена и кодомена.	*32.03
Ф	Отношение, указывающее, что что-то находится в поле отношения	*32.04
$|$	Состав двух отношений. Также используется для штриха Шеффера в *8 приложении А второго издания.	*34.01
Р 2 , Р 3	Р н является композицией R самого себя n раз.	*34.02, *34.03
$\upharpoonleft$	$\alpha \upharpoonleft R$ — это отношение R, область определения которого ограничена α	*35.01
$\upharpoonright$	$R\upharpoonright \alpha$ — это отношение R, кодовая область которого ограничена α	*35.02
$\uparrow$	Грубо говоря, произведение двух множеств, точнее соответствующее отношение	*35.04
⥏	P ⥏α означает $\alpha \upharpoonleft P\upharpoonright \alpha$. Символ — Юникод U+294F.	*36.01
“	(Двойные открытые кавычки.) R «α — область определения отношения R, ограниченная классом α	*37.01
р ε	α R ε β означает «α — это область R, ограниченная β»	*37.02
‘‘‘	(Тройные открытые кавычки.) α R '''κ означает «α — область определения R, ограниченная некоторым элементом из κ».	*37.04
И!!	Грубо говоря, это означает, что отношение является функцией, если оно ограничено определенным классом.	*37.05
♀	Общий символ, обозначающий любой функциональный знак или отношение.	*38
”	Двойная закрывающая кавычка, помещенная под функцией двух переменных, заменяет ее связанной функцией со значением класса.	*38.03
п	Пересечение классов в классе. (Здесь значение p меняется: до раздела 40 p является пропозициональной переменной.)	*40.01
с	Объединение классов в классе	*40.02
$||$	$R||S$ применяет R слева и S справа от отношения	*43.01
я	Отношение равенства	*50.01
Дж	Отношение неравенства	*50.02
я	Греческая йота. Переводит класс x в класс, единственным элементом которого является x .	*51.01
1	Класс классов с одним элементом	*52.01
0	Класс, единственным элементом которого является пустой класс. С индексом r это класс, содержащий пустое отношение.	*54.01, *56.03
2	Класс классов с двумя элементами. Точка над ним означает класс упорядоченных пар. С индексом r это класс неравных упорядоченных пар.	*54.02, *56.01, *56.02
$\downarrow$	Заказанная пара	*55.01
кл.	Сокращение от «класс». Отношение набора мощности	*60.01
кл ex	Отношение, утверждающее, что один класс является множеством непустых классов другого.	*60.02
Клс 2 , Клс 3	Класс классов и класс классов классов	*60.03, *60.04
Рл	То же, что и Cl, но для отношений, а не для классов.	*61.01, *61.02, *61.03, *61.04
е	Отношение членства	*62.01
т	Тип чего-либо, другими словами, самый большой класс, содержащий это. t также может иметь дополнительные нижние и верхние индексы.	*63.01, *64
т 0	Тип членов чего-либо	*63.02
α х	элементы α того же типа, что и x	*65.01 *65.03
а( х )	Элементы α с типом типа x .	*65.02 *65.04
→	α→β — это класс отношений, в которых область определения любого элемента находится в α, а кодомен — в β.	*70.01
см	Сокращение от «похожий». Класс биекций между двумя классами	*73.01
см	Сходство: отношение, согласно которому два класса имеют биекцию между собой.	*73.02
П Д	λ P Δ κ означает, что λ является функцией выбора для P, ограниченной κ	*80.01
исключая	Относится к различным классам, которые не пересекаются.	*84
↧	P ↧ x — это подотношение P упорядоченных пар в P, второй член которых равен x .	*85.5
Рел Мульт	Класс умножаемых отношений	*88.01
Клс 2 Много	Множимые классы классов	*88.02
Много шпинделя	Мультипликативная аксиома, форма аксиомы выбора	*88.03
Р *	Транзитивное замыкание отношения R	*90.01
Р ст , Р ц	Отношения, говорящие, что одно отношение является положительной степенью R, умноженной на другое.	*91.01, *91.02
Горшок	(Сокращение от латинского слова «potentia», означающего власть.) Положительные силы отношения	*91.03
Горшки	(«Горшок» для «потенциала» + «id» для «идентичности».) Положительные или нулевые степени отношения.	*91.04
Р по	Объединение положительной силы R	*91.05
Б	Означает «Начинается». Что-то находится в домене, но не в диапазоне отношения	*93.01
мин, макс	раньше означало, что что-то является минимальным или максимальным элементом некоторого класса относительно некоторого отношения	*93.02 *93.021
gen	Поколения отношений	*93.03
✸	P ✸ Q — отношение, соответствующее операции применения P слева и Q справа от отношения. Это значение используется только в *95, а в *257 символ определяется иначе.	*95.01
Дфт	Временное определение (за которым следует раздел, в котором оно используется).	*95 сноска
И Р , Джей Р	изображений элемента при многократном применении функции R. Определенные подмножества Используется только в *96.	*96.01, *96.02
${\overleftrightarrow {R}}$	Класс предков и потомков элемента по отношению R	*97.01

представленные в Principia Mathematica , том

Символ	Примерное значение	Ссылка
НК	Кардинальное число класса	*100.01,*103.01
Северная Каролина	Класс кардинальных чисел	*100.02, *102.01, *103.02,*104.02
м (1)	Для кардинала µ это тот же кардинал следующего более высокого типа.	*104.03
м (1)	Для кардинала µ это тот же кардинал следующего нижнего типа.	*105.03
+	Непересекающееся объединение двух классов	*110.01
+ с	Сумма двух кардиналов	*110.02
Крп	Сокращение от «переписка».	*110.02
с	(Греческая сигма, используемая в конце слова.) Серия сегментов серии; по сути, завершение полностью упорядоченного набора	*212.01

представленные в Principia Mathematica , том

Символ	Примерное значение	Ссылка
Край	Аббревиатура от «bene ordinata» (лат. «хорошо упорядоченный»), класса обоснованных отношений.	*250.01
Ой	Класс хорошо упорядоченных отношений	250.02

См. также

• Глоссарий теории множеств

Ссылки

• Уайтхед, Альфред Норт и Бертран Рассел. Principia Mathematica , 3 тома, Cambridge University Press, 1910, 1912 и 1913. Второе издание, 1925 (Том 1), 1927 (Том 2, 3).

Внешние ссылки

• Список обозначений в Principia Mathematica в конце тома I.
• « Обозначения в Principia Mathematica » Бернарда Лински.
• Principia Mathematica онлайн (Сборник исторической математики Мичиганского университета):
  • Том I
  • Том II
  • Том III
• Предложение ✸54.43 в более современных обозначениях ( Метаматематика )