Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона

Формула интерполяции Уиттекера-Шеннона или sinc-интерполяция - это метод построения с непрерывным временем функции с ограниченной полосой пропускания из последовательности действительных чисел. Формула восходит к работам Э. Бореля в 1898 году и Э. Т. Уиттекера в 1915 году, цитировалась из работ Дж. М. Уиттекера в 1935 году, а также в формулировке теоремы выборки Найквиста- Шеннона Клодом Шенноном в 1949 году. также обычно называют формулой интерполяции Шеннона и формулой интерполяции Уиттекера . Э. Т. Уиттакер, опубликовавший ее в 1915 году, назвал ее кардинальной серией .

Определение

Учитывая последовательность действительных чисел x [ n ], непрерывная функция

x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,{\rm {sinc}}\left({\frac {t-nT}{T}}\right)\,

«sinc» обозначает нормализованную функцию sinc ) имеет преобразование Фурье X ( где ( f ), ненулевые значения которого ограничены областью | ж | ≤ 1/(2 Т ). Когда параметр T имеет единицы измерения в секундах, предел полосы пропускания , 1/(2 T ), имеет единицы циклов/сек ( герц ). Когда последовательность x [ n ] представляет временные выборки в интервале T непрерывной функции, величина f _s = 1/ T известна как частота дискретизации , а f _s /2 — соответствующая частота Найквиста . Когда дискретная функция имеет предел полосы пропускания B меньший, чем частота Найквиста, x ( t ) является идеальной реконструкцией исходной функции. (См. Теорему о выборке .) В противном случае частотные компоненты выше частоты Найквиста «складываются» в область суб-Найквиста X ( f ), что приводит к искажению. (См. Псевдонимы .)

Эквивалентная формулировка: свертка/фильтр нижних частот.

Формула интерполяции выведена в статье о теореме выборки Найквиста-Шеннона , в которой указывается, что ее также можно выразить как свертку бесконечной последовательности импульсов с функцией sinc :

x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot \underbrace {x(nT)} _{x[n]}\cdot \delta \left(t-nT\right)\right)\circledast \left({\frac {1}{T}}{\rm {sinc}}\left({\frac {t}{T}}\right)\right).

Это эквивалентно фильтрации последовательности импульсов с помощью идеального ( кирпичного ) фильтра нижних частот с коэффициентом усиления 1 (или 0 дБ) в полосе пропускания. Если частота дискретизации достаточно высока, это означает, что изображение основной полосы (исходный сигнал до дискретизации) передается без изменений, а другие изображения удаляются фильтром кирпичной стены.

Конвергенция

Интерполяционная формула всегда сходится абсолютно и локально равномерно, пока

\sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n}}\right|<\infty .

По неравенству Гёльдера это выполняется, если последовательность $(x[n])_{n\in \mathbb {Z} }$ принадлежит к какому-либо из $\ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} )$ пространства с 1 ⩽ p < ∞, т.е.

\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left|x[n]\right|^{p}<\infty .

Это условие является достаточным, но не необходимым. Например, сумма обычно сходится, если последовательность выборок получается в результате выборки практически любого стационарного процесса . В этом случае последовательность выборок не суммируется с квадратом и не является ни в каком случае. $\ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} )$ космос.

Стационарные случайные процессы

Если x [ n ] — бесконечная последовательность выборок выборочной функции стационарного процесса в широком смысле , то она не является членом какого-либо $\ell ^{p}$ или Л ^п пробел с вероятностью 1; то есть бесконечная сумма выборок, возведенная в степень p, не имеет конечного ожидаемого значения. Тем не менее, формула интерполяции сходится с вероятностью 1. Сходимость можно легко показать, вычислив дисперсии усеченных членов суммирования и показав, что дисперсию можно сделать сколь угодно малой, выбрав достаточное количество членов. Если среднее значение процесса не равно нулю, то необходимо рассмотреть пары термов, чтобы также показать, что ожидаемое значение усеченных термов сходится к нулю.

Поскольку случайный процесс не имеет преобразования Фурье, то и условие сходимости суммы к исходной функции должно быть иным. Стационарный случайный процесс действительно имеет автокорреляционную функцию и, следовательно, спектральную плотность согласно теореме Винера – Хинчина . Подходящим условием сходимости к выборочной функции процесса является то, что спектральная плотность процесса равна нулю на всех частотах, равных и превышающих половину частоты дискретизации.

См. также