Лемма Маллявена об абсолютной непрерывности

В математике , в частности, в теории меры , лемма Маллявена об абсолютной непрерывности является результатом французского математика Поля Маллявена о регулярности ( гладкости ) , который играет основополагающую роль в теоремах исчисления Маллявена . Лемма Маллявена дает достаточное условие борелевской меры конечной абсолютной непрерывности относительно меры Лебега .

Утверждение леммы

Пусть µ — конечная борелевская мера в n - мерном евклидовом пространстве R ^н . Предположим, что для каждого x ∈ R ^н , существует константа C = C ( x ) такая, что

$\left|\int _{\mathbf {R} ^{n}}\mathrm {D} \varphi (y)(x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right|\leq C(x)\|\varphi \|_{\infty }$

для каждого С ^∞ функция φ : R ^н → R с компактной опорой . Тогда µ абсолютно непрерывна относительно n -мерной меры Лебега λ ^н на R ^н . Выше D ( y ) обозначает производную Фреше φ y в точке φ и || φ || _∞ обозначает норму φ . верхнюю

Ссылки

• Белл, Денис Р. (2006). Исчисление Маллявена . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications Inc., стр. x+113. ISBN  0-486-44994-7 . МИСТЕР 2250060 (см. раздел 1.3)
• Маллявин, Пол (1978). «Стохастическое вариационное исчисление и гипоэллиптические операторы». Труды Международного симпозиума по стохастическим дифференциальным уравнениям (Res. Inst. Math. Sci., Киотский университет, Киото, 1976) . Нью-Йорк: Уайли. стр. 195–263. МИСТЕР 536013