Неравенство Хинчина

В математике неравенство Хинчина , названное в честь Александра Хинчина и записывающееся по-разному на латинице, представляет собой теорему вероятности и также часто используется в анализе . Эвристически это говорит о том, что если мы выберем $N$ комплексные числа $x_{1},\dots ,x_{N}\in \mathbb {C}$и складываем их, каждый из которых умножается на случайный знак $\pm 1$, то ожидаемое значение суммы модуля или модуль, к которому она будет в среднем ближе всего, будет не слишком далеко от ${\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{N}|^{2}}}$.

Заявление

Позволять $\{\varepsilon _{n}\}_{n=1}^{N}$ быть iid случайными величинами с $P(\varepsilon _{n}=\pm 1)={\frac {1}{2}}$ для $n=1,\ldots ,N$, т. е. последовательность с распределением Радемахера . Позволять $0<p<\infty$ и пусть $x_{1},\ldots ,x_{N}\in \mathbb {C}$. Затем

$A_{p}\left(\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}\leq \left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\leq B_{p}\left(\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}$

для некоторых констант $A_{p},B_{p}>0$ в зависимости только от $p$ (обозначения см. в разделе « Ожидаемое значение »). Точные значения констант $A_{p},B_{p}$ были найдены Хаагерупом (ссылка 2; более простое доказательство см. в работе 3). Это просто увидеть, $A_{p}=1$ когда $p\geq 2$, и $B_{p}=1$ когда $0<p\leq 2$.

Хаагеруп обнаружил, что

${\begin{aligned}A_{p}&={\begin{cases}2^{1/2-1/p}&0<p\leq p_{0},\\2^{1/2}(\Gamma ((p+1)/2)/{\sqrt {\pi }})^{1/p}&p_{0}<p<2\\1&2\leq p<\infty \end{cases}}\\&{\text{and}}\\B_{p}&={\begin{cases}1&0<p\leq 2\\2^{1/2}(\Gamma ((p+1)/2)/{\sqrt {\pi }})^{1/p}&2<p<\infty \end{cases}},\end{aligned}}$

где $p_{0}\approx 1.847$ и $\Gamma$ это гамма-функция .Можно, в частности, отметить, что $B_{p}$ точно соответствует моментам нормального распределения .

Использование в анализе

Использование этого неравенства не ограничивается приложениями в теории вероятностей . Одним из примеров его использования в анализе является следующий: если мы позволим $T$ — линейный оператор между двумя L ^п пространства $L^{p}(X,\mu )$ и $L^{p}(Y,\nu )$, $1<p<\infty$, с ограниченной нормой $\|T\|<\infty$, то можно использовать неравенство Хинчина, чтобы показать, что

$\left\|\left(\sum _{n=1}^{N}|Tf_{n}|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}(Y,\nu )}\leq C_{p}\left\|\left(\sum _{n=1}^{N}|f_{n}|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}(X,\mu )}$

для некоторой константы $C_{p}>0$ в зависимости только от $p$ и $\|T\|$.

Обобщения

Для случая случайных величин Радемахера Павел Хитченко показал что самая острая версия:

$A\left({\sqrt {p}}\left(\sum _{n=b+1}^{N}x_{n}^{2}\right)^{1/2}+\sum _{n=1}^{b}x_{n}\right)\leq \left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\leq B\left({\sqrt {p}}\left(\sum _{n=b+1}^{N}x_{n}^{2}\right)^{1/2}+\sum _{n=1}^{b}x_{n}\right)$

где $b=\lfloor p\rfloor$, и $A$ и $B$ являются универсальными константами, независимыми от $p$.

Здесь мы предполагаем, что $x_{i}$ неотрицательны и не возрастают.

См. также

• Неравенство Марцинкевича – Зигмунда
• Неравенство Буркхолдера-Дэвиса-Ганди

Ссылки

1. Томас Х. Вольф , «Лекции по гармоническому анализу». Американское математическое общество, серия университетских лекций, том. 29, 2003. ISBN   0-8218-3449-5
2. Уффе Хаагеруп, «Наилучшие константы в неравенстве Хинчина», Studia Math. 70 (1981), вып. 3, 231–283 (1982).
3. Федор Назаров и Анатолий Подкорытов, «Шар, Хаагеруп и функции распределения», Комплексный анализ, операторы и смежные темы, 247–267, Опер. Теория Адв. Appl., 113, Биркхойзер, Базель, 2000.