Анализ белого шума

В теории вероятностей , разделе математики , анализ белого шума , также известный как исчисление Хиды, представляет собой основу для бесконечномерного и стохастического исчисления , основанного на Гаусса белого шума вероятностном пространстве , который можно сравнить с исчислением Маллявена, основанным на винеровском процессе. . Он был инициирован Такеюки Хида в его конспектах лекций по математике в Карлтоне 1975 года.

Термин «белый шум» впервые был использован для сигналов с плоским спектром.

Измерение белого шума

белого шума Вероятностная мера $\mu$ на пространстве $S'(\mathbb {R} )$ умеренных распределений имеет характеристическую функцию

$C(f)=\int _{S'(\mathbb {R} )}\exp \left(i\left\langle \omega ,f\right\rangle \right)\,d\mu (\omega )=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }f^{2}(t)\,dt\right),\quad f\in S(\mathbb {R} ).$

Броуновское движение в анализе белого шума

Версия броуновского движения Винера. $B(t)$ получается двойным спариванием

$B(t)=\langle \omega ,1\!\!1_{[0,t)}\rangle ,$

где $1\!\!1_{[0,t)}$ – индикаторная функция интервала $[0,t)$. Неофициально

$B(t)=\int _{0}^{t}\omega (t)\,dt$

и в обобщенном смысле

$\omega (t)={\frac {dB(t)}{dt}}.$

Гильбертово пространство

Основой анализа белого шума является гильбертово пространство.

$(L^{2}):=L^{2}\left(S'(\mathbb {R} ),\mu \right),$

обобщение гильбертовых пространств $L^{2}(\mathbb {R} ^{n},e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}d^{n}x)$ в бесконечное измерение.

Полиномы Вика

Ортонормированный базис в этом гильбертовом пространстве, обобщающий базис полиномов Эрмита, задается так называемыми «фитильными» или « нормально упорядоченными » полиномами. $\left\langle {:\omega ^{n}:},f_{n}\right\rangle$ с ${:\omega ^{n}:}\in S'(\mathbb {R} ^{n})$ и $f_{n}\in S(\mathbb {R} ^{n})$

с нормализацией

$\int _{S'(\mathbb {R} )}\left\langle :\omega ^{n}:,f_{n}\right\rangle ^{2}\,d\mu (\omega )=n!\int f_{n}^{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,d^{n}x,$

влекущий за собой изоморфизм Ито-Сегала-Винера гильбертова пространства белого шума $(L^{2})$ с пространством Фока :

$L^{2}\left(S'(\mathbb {R} ),\mu \right)\simeq \bigoplus \limits _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} L^{2}(\mathbb {R} ^{n},n!\,d^{n}x).$

«Расширение хаоса»

$\varphi (\omega )=\sum _{n}\left\langle :\omega ^{n}:,f_{n}\right\rangle$

в терминах полиномов Вика соответствуют разложению по кратным интегралам Винера . Броуновские мартингалы $M_{t}(\omega )$ характеризуются функциями ядра $f_{n}$ в зависимости от $t$ только "отсечка":

$f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n};t)={\begin{cases}f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})&{\text{if }}ix_{i}\leq t,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Гельфанд тройки

Подходящие ограничения функции ядра $\varphi _{n}$ быть плавным и быстро убывающим $x$ и $n$ порождают пространства тестовых функций белого шума $\varphi$, и, по двойственности , к пространствам обобщенных функций $\Psi$ белого шума, с

$\left\langle \!\left\langle \Psi ,\varphi \right\rangle \!\right\rangle :=\sum _{n}n!\left\langle \psi _{n},\varphi _{n}\right\rangle$

обобщая скалярное произведение в $(L^{2})$. Примерами являются тройка Хида, где

$\varphi \in (S)\subset (L^{2})\subset (S)^{\ast }\ni \Psi$

или более общие тройки Кондратьева.

T- и S-преобразование

Использование функций проверки белого шума

$\varphi _{f}(\omega ):=\exp \left(i\left\langle \omega ,f\right\rangle \right)\in (S),\quad f\in S(\mathbb {R} )$

вводится «Т-преобразование» распределений белого шума. $\Psi$ установив

$T\Psi (f):=\left\langle \!\left\langle \Psi ,\varphi _{f}\right\rangle \!\right\rangle .$

Аналогично, используя

$\phi _{f}(\omega ):=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int f^{2}(t)\,dt\right)\exp \left(-\left\langle \omega ,f\right\rangle \right)\in (S)$

определяется «S-преобразование» распределений белого шума. $\Psi$ к

$S\Psi (f):=\left\langle \!\left\langle \Psi ,\phi _{f}\right\rangle \!\right\rangle ,\quad f\in S(\mathbb {R} ).$

Стоит отметить, что для обобщенных функций $\Psi$, с ядрами $\psi _{n}$ как в, S-преобразование - это просто

$S\Psi (f)=\sum n!\left\langle \psi _{n},f^{\otimes n}\right\rangle .$

В зависимости от выбора тройки Гельфанда тестовые функции и распределения белого шума характеризуются соответствующими свойствами роста и аналитичности их S- или T-преобразований.

Теорема о характеризации

Функция $G(f)$ является Т-преобразованием (уникального) распределения Хиды $\Psi$ если для всех $f_{1},f_{2}\in S(R),$ функция $z\mapsto G(zf_{1}+f_{2})$ аналитичен во всей комплексной плоскости и имеет экспоненциальный рост второго порядка, т.е. $$\left\vert G(\ f)\right\vert <ae^{bK(f,f)},$$где $K$ является некоторой непрерывной квадратичной формой на $S'(\mathbb {R} )\times S'(\mathbb {R} )$.

То же самое верно и для S-преобразований, и аналогичные теоремы о характеризации верны и для более общих распределений Кондратьева .

Исчисление

Для тестовых функций $\varphi \in (S)$существуют частичные производные по направлению:

$\partial _{\eta }\varphi (\omega ):=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\varphi (\omega +\varepsilon \eta )-F(\omega )}{\varepsilon }}$

где $\omega$ может варьироваться с помощью любой обобщенной функции $\eta$. В частности, для распределения Дирака $\eta =\delta _{t}$ определяют «производную Хиды», обозначая

$\partial _{t}\varphi (\omega ):=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\varphi (\omega +\varepsilon \delta _{t})-F(\omega )}{\varepsilon }}.$

Гауссово интегрирование по частям дает двойственный оператор в пространстве распределения.

$$\partial _{t}^{\ast }=-\partial _{t}+\omega (t)$$

Бесконечномерный градиент

$\nabla :(S)\rightarrow L^{2}(R,dt)\otimes (S)$

дается

$\nabla F(t,\omega )=\partial _{t}F(\omega ).$

Лапласиан $\triangle$ (« Оператор Лапласа – Бельтрами ») с

$-\triangle =\int dt\;\partial _{t}^{\ast }\partial _{t}\geq 0$

играет важную роль в бесконечномерном анализе и является образом числового оператора пространства Фока .

Стохастические интегралы

Стохастический интеграл, интеграл Хицуды–Скорохода , можно определить для подходящих семейств. $\Psi (t)$ распределений белого шума как интеграла Петтиса

$\int \partial _{t}^{\ast }\Psi (t)\,dt\in (S)^{\ast },$

обобщение интеграла Ито за пределы адаптированных подынтегральных выражений.

Приложения

В общих чертах, есть две особенности анализа белого шума, которые широко используются в приложениях.

Во-первых, белый шум — это обобщенный случайный процесс с независимыми значениями в каждый момент времени. Следовательно, он играет роль обобщенной системы независимых координат в том смысле, что в различных контекстах было полезно выразить более общие процессы, происходящие, например, в инженерии или математических финансах, в терминах белого шума.

Во-вторых, приведенная выше характеризационная теорема позволяет идентифицировать различные эвристические выражения как обобщенные функции белого шума. Это особенно эффективно, если приписывать четко определенный математический смысл так называемым « функциональным интегралам ». В частности, интегралам Фейнмана было придано строгое значение для больших классов квантовых динамических моделей.

Некоммутативные расширения теории получили название квантового белого шума, и, наконец, вращательная инвариантность характеристической функции белого шума обеспечивает основу для представлений бесконечномерных групп вращения.