Белый шум

В обработке сигналов белый шум представляет собой случайный сигнал, имеющий одинаковую интенсивность на разных частотах , что придает ему постоянную спектральную плотность мощности . ^[1] Этот термин используется в этом или подобных значениях во многих научных и технических дисциплинах, включая физику , акустическую технику , телекоммуникации и статистическое прогнозирование . Белый шум относится к статистической модели сигналов и источников сигналов, а не к какому-либо конкретному сигналу. Белый шум получил свое название от белого света , ^[2] хотя свет, который кажется белым, обычно не имеет равномерной спектральной плотности мощности в видимом диапазоне .

В дискретное время белый шум представляет собой дискретный сигнал которого , выборки рассматриваются как последовательность последовательно некоррелированных случайных величин с нулевым средним и конечной дисперсией ; единичная реализация белого шума — это случайный шок . В зависимости от контекста можно также потребовать, чтобы выборки были независимыми и имели одинаковое распределение вероятностей (другими словами, независимые и одинаково распределенные случайные величины являются простейшим представлением белого шума). ^[3] В частности, если каждая выборка имеет нормальное распределение с нулевым средним значением, сигнал называется аддитивным белым гауссовским шумом . ^[4]

Выборки сигнала белого шума могут быть последовательными во времени или расположены по одному или нескольким пространственным измерениям. При цифровой обработке изображений пиксели изображения обычно с белым шумом располагаются в прямоугольной сетке и считаются независимыми случайными величинами с равномерным распределением вероятностей в некотором интервале. Эту концепцию можно определить и для сигналов, распространяющихся на более сложные области, такие как сфера или тор .

Звук белого шума

Сигнал белого шума с бесконечной полосой пропускания представляет собой чисто теоретическую конструкцию. Полоса белого шума на практике ограничена механизмом генерации шума, средой передачи и ограниченными возможностями наблюдения. Таким образом, случайные сигналы считаются «белым шумом», если наблюдается плоский спектр в диапазоне частот, соответствующих контексту. Для звукового сигнала соответствующим диапазоном является полоса слышимых звуковых частот (между 20 и 20 000 Гц ). Такой сигнал воспринимается человеческим ухом как шипящий звук , напоминающий звук /h/ при длительном устремлении. С другой стороны, звук «ш» /ʃ/ в «ясне» является цветным шумом, поскольку имеет формантную структуру. В музыке и акустике термин «белый шум» может использоваться для любого сигнала, имеющего аналогичный шипящий звук.

Термин «белый шум» иногда используется в контексте филогенетически обоснованных статистических методов для обозначения отсутствия филогенетической закономерности в сравнительных данных. ^[5] Иногда его аналогично используют в нетехническом контексте, означая «случайный разговор без осмысленного содержания». ^[6]^[7]

Статистические свойства

Спектрограмма розового шума (слева) и белого шума (справа), показанная с линейной осью частоты (вертикальная) в зависимости от оси времени (горизонтальная).

Возможно любое распределение значений (хотя оно должно иметь нулевую постоянную составляющую ). Даже двоичный сигнал, который может принимать только значения 1 или -1, будет белым, если последовательность статистически некоррелирована. Шум, имеющий непрерывное распределение, например нормальное распределение , конечно, может быть белым.

Часто ошибочно полагают, что гауссов шум (т. е. шум с гауссовским распределением амплитуд – см. нормальное распределение ) обязательно относится к белому шуму, однако ни одно из свойств не подразумевает другого. Гауссовость относится к распределению вероятности относительно значения, в данном контексте вероятности попадания сигнала в какой-либо конкретный диапазон амплитуд, тогда как термин «белый» относится к тому, как мощность сигнала распределяется (т. е. независимо) во времени. или среди частот.

Одной из форм белого шума является обобщенная среднеквадратическая производная винеровского процесса или броуновского движения .

Обобщением случайных элементов в бесконечномерных пространствах, таких как случайные поля , является мера белого шума .

Практическое применение

Музыка

Белый шум обычно используется при создании электронной музыки , обычно либо напрямую, либо в качестве входного сигнала для фильтра для создания других типов шумового сигнала. Он широко используется в синтезе звука , как правило, для воссоздания ударных инструментов, таких как тарелки или малые барабаны , которые имеют высокий уровень шума в частотной области. ^[8] Простой пример белого шума — несуществующая радиостанция (помехи).

Электроника

Белый шум также используется для получения импульсной характеристики электрической цепи, в частности усилителей и другого аудиооборудования. Он не используется для тестирования громкоговорителей, так как в его спектре слишком много высокочастотного контента. Розовый шум , который отличается от белого шума тем, что имеет одинаковую энергию в каждой октаве, используется для тестирования преобразователей, таких как громкоговорители и микрофоны.

Вычисление

Белый шум используется в качестве основы некоторых генераторов случайных чисел . Например, Random.org использует систему атмосферных антенн для генерации случайных комбинаций цифр из источников, которые можно хорошо смоделировать с помощью белого шума. ^[9]

Лечение тиннитуса

Белый шум — это распространенный источник синтетического шума, используемый для маскировки звука с помощью маскировщика тиннитуса . ^[10] Аппараты белого шума и другие источники белого шума продаются в качестве средств повышения конфиденциальности и сна (см. «Музыка и сон »), а также для маскировки шума в ушах . ^[11] Marpac Sleep-Mate был первым прибором с белым шумом для домашнего использования, созданным в 1962 году коммивояжером Джимом Баквалтером. ^[12] Альтернативно, использование AM-радио, настроенного на неиспользуемые частоты («статические»), является более простым и экономичным источником белого шума. ^[13] Однако белый шум, генерируемый обычным коммерческим радиоприемником, настроенным на неиспользуемую частоту, чрезвычайно уязвим к загрязнению паразитными сигналами, такими как соседние радиостанции, гармоники несмежных радиостанций, электрооборудование вблизи приемной антенны, вызывающее помехи или даже атмосферные явления, такие как солнечные вспышки и особенно молнии.

Рабочая среда

Влияние белого шума на когнитивные функции неоднозначно. Недавно небольшое исследование показало, что фоновая стимуляция белым шумом улучшает когнитивные функции среди учащихся средних школ с синдромом дефицита внимания и гиперактивности (СДВГ), одновременно снижая успеваемость учащихся без СДВГ. ^[14]^[15] Другие исследования показывают, что он эффективен в улучшении настроения и производительности работников за счет маскировки фонового офисного шума. ^[16] но снижает когнитивные способности при выполнении сложных задач по сортировке карточек. ^[17]

Аналогичным образом был проведен эксперимент с шестьюдесятью шестью здоровыми участниками, чтобы оценить преимущества использования белого шума в учебной среде. В эксперименте участники идентифицировали разные изображения, слушая разные звуки на заднем плане. В целом эксперимент показал, что белый шум действительно имеет преимущества в плане обучения. Эксперименты показали, что белый шум немного улучшил способности участников к обучению и память на узнавание. ^[18]

Математические определения

Вектор белого шума

( Случайный вектор то есть случайная величина со значениями в R ^н) называется вектором белого шума или белым случайным вектором, если каждый из его компонентов имеет распределение вероятностей с нулевым средним значением и конечной дисперсией , ^{[ нужны разъяснения ]} и статистически независимы : то есть их совместное распределение вероятностей должно быть продуктом распределений отдельных компонентов. ^[19]

Необходимым (но, вообще говоря, недостаточным ) условием статистической независимости двух переменных является то, что они статистически некоррелированы ; то есть их ковариация равна нулю. Следовательно, ковариационная матрица R компонентов вектора белого шума w с n элементами должна быть размера n на n диагональной , матрицей где каждый диагональный элемент R _ii представляет собой дисперсию компонента w _i ; и корреляционная матрица должна быть единичной матрицей размера n на n .

не только является независимой, Если каждая переменная в w но и имеет нормальное распределение с нулевым средним значением и такой же дисперсией $\sigma ^{2}$ , w называется вектором гауссовского белого шума. В этом случае совместное распределение w является многомерным нормальным распределением ; тогда независимость между переменными означает, что распределение имеет сферическую симметрию в n -мерном пространстве. Следовательно, любое ортогональное преобразование вектора приведет к гауссовскому белому случайному вектору. В частности, при большинстве типов дискретного преобразования Фурье , таких как БПФ и Хартли , преобразование W от w также будет вектором гауссовского белого шума; то есть n коэффициентов Фурье w будут независимыми гауссовскими переменными с нулевым средним значением и одинаковой дисперсией. $\sigma ^{2}$ .

Спектр мощности P случайного вектора w можно определить как ожидаемое значение квадрата модуля каждого коэффициента его преобразования Фурье W , то есть P _i = E(| W _i | ²). Согласно этому определению, вектор гауссовского белого шума будет иметь идеально плоский спектр мощности с P _i = σ. ² для всех я .

Если w — белый случайный вектор, но не гауссов, его коэффициенты Фурье Wi _не будут полностью независимы друг от друга; хотя для больших n и общих распределений вероятностей зависимости очень тонкие, и их парные корреляции можно считать равными нулю.

Часто в определении белого шума вместо «статистически независимого» используется более слабое условие «статистически некоррелированный». Однако некоторые из обычно ожидаемых свойств белого шума (например, плоский спектр мощности) могут не соответствовать этой более слабой версии. В этом предположении более строгую версию можно явно назвать независимым вектором белого шума. ^[20]^{: стр.60} Другие авторы вместо этого используют сильно белый и слабо белый. ^[21]

Пример случайного вектора, который является «гауссовским белым шумом» в слабом, но не в сильном смысле: $x=[x_{1},x_{2}]$ где $x_{1}$ является нормальной случайной величиной с нулевым средним значением, а $x_{2}$ равно $+x_{1}$ или чтобы $-x_{1}$ , с равной вероятностью. Эти две переменные некоррелированы и по отдельности нормально распределены, но совместно они не имеют нормального распределения и не являются независимыми. Если $x$ повернута на 45 градусов, два ее компонента по-прежнему будут некоррелированы, но их распределение уже не будет нормальным.

В некоторых ситуациях можно ослабить определение, разрешив каждому компоненту белого случайного вектора $w$ иметь ненулевое математическое ожидание $\mu$ . Особенно при обработке изображений , где выборки обычно ограничиваются положительными значениями, часто принимают $\mu$ составлять половину максимального значения выборки. В этом случае коэффициент Фурье $W_{0}$ соответствующий нулевой компоненте (по сути, среднему значению $w_{i}$ ) также будет иметь ненулевое ожидаемое значение $\mu {\sqrt {n}}$ ; и спектр мощности $P$ будет плоским только на ненулевых частотах.

Белый шум дискретного времени

с дискретным временем Случайный процесс $W(n)$ является обобщением случайного вектора с конечным числом компонентов на бесконечное число компонентов. Случайный процесс с дискретным временем $W(n)$ называется белым шумом, если его среднее значение равно нулю для всех $n$ , то есть $\operatorname {E} [W(n)]=0$ и если автокорреляционная функция $R_{W}(n)=\operatorname {E} [W(k+n)W(k)]$ имеет ненулевое значение только для $n=0$ , то есть $R_{W}(n)=\sigma ^{2}\delta (n)$ . ^{[ нужна ссылка ]}^{[ нужны разъяснения ]}

Непрерывный белый шум

Чтобы определить понятие «белого шума» в теории непрерывных сигналов, необходимо заменить понятие «случайного вектора» случайным сигналом с непрерывным временем; то есть случайный процесс, порождающий функцию $w$ действительного параметра $t$ .

Такой процесс называется белым шумом в самом строгом смысле, если значение $w(t)$ в любое время $t$ — это случайная величина, которая статистически независима от всей своей истории до $t$ . Более слабое определение требует независимости только между значениями $w(t_{1})$ и $w(t_{2})$ в каждую пару различных моментов времени $t_{1}$ и $t_{2}$ . Еще более слабое определение требует лишь того, чтобы такие пары $w(t_{1})$ и $w(t_{2})$ быть некоррелированными. ^[22] Как и в дискретном случае, некоторые авторы принимают более слабое определение «белого шума» и используют независимый квалификатор для ссылки на любое из более сильных определений. Другие используют слабо-белый и сильно-белый, чтобы различать их.

Однако точное определение этих понятий не является тривиальным, поскольку некоторые величины, являющиеся конечными суммами в конечном дискретном случае, должны быть заменены интегралами, которые могут не сходиться. Действительно, множество всех возможных экземпляров сигнала $w$ больше не является конечномерным пространством $\mathbb {R} ^{n}$ , а бесконечномерное функциональное пространство . Более того, по любому определению сигнал белого шума $w$ должно было бы быть по существу прерывистым в каждой точке; поэтому даже самые простые операции над $w$ , как и интегрирование по конечному интервалу, требуют передового математического аппарата.

Некоторые авторы ^{[ нужна ссылка ]}^{[ нужны разъяснения ]} требовать каждое значение $w(t)$ быть действительной случайной величиной с математическим ожиданием $\mu$ и некоторая конечная дисперсия $\sigma ^{2}$ . Тогда ковариация $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ между значениями в два раза $t_{1}$ и $t_{2}$ четко определен: он равен нулю, если времена различны, и $\sigma ^{2}$ если они равны. Однако согласно этому определению интеграл

W_{[a,a+r]}=\int _{a}^{a+r}w(t)\,dt

на любом интервале с положительной шириной $r$ будет просто ширина, умноженная на ожидание: $r\mu$ . ^{[ нужны разъяснения ]} Это свойство делает эту концепцию неадекватной в качестве модели сигналов «белого шума» ни в физическом, ни в математическом смысле. ^{[ нужны разъяснения ]}

Поэтому большинство авторов определяют сигнал $w$ косвенно, задав случайные значения для интегралов от $w(t)$ и $|w(t)|^{2}$ за каждый интервал $[a,a+r]$ . Однако при таком подходе значение $w(t)$ в изолированный момент времени не может быть определен как случайная величина с действительным знаком ^{[ нужна ссылка ]}. Также ковариация $\mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))$ становится бесконечным, когда $t_{1}=t_{2}$ ; и автокорреляционная функция $\mathrm {R} (t_{1},t_{2})$ должен быть определен как $N\delta (t_{1}-t_{2})$ , где $N$ является некоторой реальной константой и $\delta$ это «функция» Дирака . ^{[ нужны разъяснения ]}

При таком подходе обычно указывают, что интеграл $W_{I}$ из $w(t)$ за интервал $I=[a,b]$ — реальная случайная величина с нормальным распределением, нулевым средним и дисперсией. $(b-a)\sigma ^{2}$ ; а также то, что ковариация $\mathrm {E} (W_{I}\cdot W_{J})$ интегралов $W_{I}$ , $W_{J}$ является $r\sigma ^{2}$ , где $r$ это ширина перекрестка $I\cap J$ из двух интервалов $I,J$ . Эта модель называется сигналом (или процессом) гауссовского белого шума.

В математической области, известной как анализ белого шума , гауссовский белый шум $w$ определяется как стохастическое умеренное распределение, т.е. случайная величина со значениями в пространстве ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ умеренных распределений . Аналогично случаю с конечномерными случайными векторами, закон вероятности в бесконечномерном пространстве ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ может быть определен через его характеристическую функцию (существование и единственность гарантируются расширением теоремы Бохнера–Минлоса, которое носит название теоремы Бохнера–Минлоса–Сазанова); аналогично случаю многомерного нормального распределения $X\sim {\mathcal {N}}_{n}(\mu ,\Sigma )$ , который имеет характеристическую функцию

\forall k\in \mathbb {R} ^{n}:\quad \mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle k,X\rangle })=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle k,\mu \rangle -{\frac {1}{2}}\langle k,\Sigma k\rangle },

белый шум $w:\Omega \to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ должен удовлетворить

\forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ):\quad \mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle w,\varphi \rangle })=\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\|\varphi \|_{2}^{2}},

где $\langle w,\varphi \rangle$ является естественным сочетанием умеренного распределения $w(\omega )$ с функцией Шварца $\varphi$ , взятый сценарно для $\omega \in \Omega$ , и $\|\varphi \|_{2}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\vert \varphi (x)\vert ^{2}\,\mathrm {d} x$ .

Математические приложения

Анализ временных рядов и регрессия

В статистике и эконометрике часто предполагается, что наблюдаемый ряд значений данных представляет собой сумму значений, генерируемых детерминированным линейным процессом , зависящим от определенных независимых (объясняющих) переменных , а также от ряда значений случайного шума. Затем регрессионный анализ используется для вывода параметров модельного процесса на основе наблюдаемых данных, например, с помощью обычного метода наименьших квадратов , и для проверки нулевой гипотезы о том, что каждый из параметров равен нулю, в сравнении с альтернативной гипотезой о том, что он не равен нулю. Проверка гипотезы обычно предполагает, что значения шума не коррелируют друг с другом с нулевым средним значением и имеют одинаковое гауссово распределение вероятностей – другими словами, что шум является белым по Гауссу (а не просто белым). Если существует ненулевая корреляция между значениями шума, лежащими в основе различных наблюдений, то оцененные параметры модели по-прежнему являются несмещенными , но оценки их неопределенностей (таких как доверительные интервалы ) будут смещены (в среднем неточно). Это также верно, если шум гетероскедастичный – то есть, если он имеет разные дисперсии для разных точек данных.

Альтернативно, в подмножестве регрессионного анализа, известном как анализ временных рядов, часто нет объясняющих переменных, кроме прошлых значений моделируемой переменной ( зависимой переменной ). В этом случае шумовой процесс часто моделируется как процесс скользящего среднего , в котором текущее значение зависимой переменной зависит от текущих и прошлых значений последовательного процесса белого шума.

Случайные векторные преобразования

Эти две идеи имеют решающее значение в таких приложениях, как оценка канала и выравнивание каналов в средствах связи и аудио . Эти концепции также используются при сжатии данных .

В частности, с помощью подходящего линейного преобразования ( преобразования раскраски ) белый случайный вектор можно использовать для создания «небелого» случайного вектора (то есть списка случайных величин), элементы которого имеют заданную ковариационную матрицу . И наоборот, случайный вектор с известной ковариационной матрицей может быть преобразован в белый случайный вектор с помощью подходящего преобразования отбеливания .

Поколение

Белый шум может генерироваться в цифровом виде с помощью процессора цифровых сигналов , микропроцессора или микроконтроллера . Генерация белого шума обычно предполагает подачу соответствующего потока случайных чисел в цифро-аналоговый преобразователь . Качество белого шума будет зависеть от качества используемого алгоритма. ^[23]

Неофициальное использование

Этот термин иногда используется в разговорной речи для описания фона окружающего звука, создающего нечеткое или плавное волнение. Ниже приведены некоторые примеры:

Болтовня от многочисленных разговоров в акустике замкнутого пространства.
Плеонастический используемый жаргон, политиками, чтобы замаскировать то, что они не хотят замечать. ^[24]
Музыка неприятная, резкая, диссонирующая или диссонирующая без мелодии .

Этот термин также можно использовать метафорически, как, например, в романе «Белый шум » (1985), Дона Делилло в котором исследуются симптомы современной культуры , которые объединились, чтобы затруднить человеку реализацию своих идей и личности.

См. также

Ссылки

^ Картер, Манчини, Брюс, Рон (2009). Операционные усилители для всех . Техасские инструменты. стр. 10–11. ISBN 978-0-08-094948-2 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Штейн, Майкл Л. (1999). Интерполяция пространственных данных: некоторые теории кригинга . Серия Спрингера по статистике. Спрингер. п. 40. дои : 10.1007/978-1-4612-1494-6 . ISBN 978-1-4612-7166-6 . белый свет представляет собой примерно равную смесь всех видимых частот света, что было продемонстрировано Исааком Ньютоном.
^ Штейн, Майкл Л. (1999). Интерполяция пространственных данных: некоторые теории кригинга . Серия Спрингера по статистике. Спрингер. п. 40. дои : 10.1007/978-1-4612-1494-6 . ISBN 978-1-4612-7166-6 . Самый известный обобщенный процесс — это белый шум, который можно рассматривать как непрерывный во времени аналог последовательности независимых и одинаково распределенных наблюдений.
^ Диболд, Фрэнк (2007). Элементы прогнозирования (Четвертое изд.).
^ Фуско, Дж; Гарланд, Т. младший; Хант, Дж; Хьюз, Северная Каролина (2011). «Эволюция признаков развития у трилобитов» . Эволюция . 66 (2): 314–329. дои : 10.1111/j.1558-5646.2011.01447.x . ПМИД 22276531 . S2CID 14726662 .
^ Клэр Шипман (2005), Доброе утро, Америка : «Политическая риторика о социальном обеспечении - это белый шум». Сказано в ABC 11 января 2005 года. на канале Доброе утро, Америка» телешоу «
^ Дон Делилло (1985), Белый шум
^ Кларк, Декстер. «Знаете ли вы все эти секреты белого шума? (советы по созданию музыки)» . www.learnhowtoproducemusic.com . Проверено 25 июля 2022 г.
^ О'Коннелл, Памела ЛиКальци (8 апреля 2004 г.). «Лотерейные номера и книги с голосом» . Нью-Йорк Таймс . Архивировано из оригинала 26 июля 2009 года . Проверено 25 июля 2022 г.
^ Ястребофф, П.Дж. (2000). «Терапия привыкания к тиннитусу (THT) и терапия переобучения тиннитуса (TRT)». Справочник по тиннитусу . Сан-Диего: Единственное число. стр. 357–376.
^ Лопес, Х.Х.; Брача, А.С.; Брача, HS (сентябрь 2002 г.). «Дополнительное вмешательство при бессоннице, основанное на фактических данных» (PDF) . Гавайи Мед Дж . 61 (9): 192, 213. PMID 12422383 .
^ Грин, Пенелопа (27 декабря 2018 г.). «Звук тишины» . Нью-Йорк Таймс . ISSN 0362-4331 . Проверено 20 мая 2021 г.
^ Ноэлл, Кортни А; Уильям Л. Мейерхофф (февраль 2003 г.). «Тиннитус. Диагностика и лечение этого неуловимого симптома». Гериатрия . 58 (2): 28–34. ISSN 0016-867X . ПМИД 12596495 .
^ Содерлунд, Горан; Сверкер Сикстрем; Ян Лофтеснес; Эдмунд Сонуга Барк (2010). «Влияние фонового белого шума на память у невнимательных школьников» . Поведенческие и функции мозга . 6 (1): 55. дои : 10.1186/1744-9081-6-55 . ПМЦ 2955636 . ПМИД 20920224 .
^ Седерлунд, Йоран; Сверкер Сикстрем; Эндрю Смарт (2007). «Слушайте шум: шум полезен для когнитивных функций при СДВГ». Журнал детской психологии и психиатрии . 48 (8): 840–847. CiteSeerX 10.1.1.452.530 . дои : 10.1111/j.1469-7610.2007.01749.x . ISSN 0021-9630 . ПМИД 17683456 .
^ Лоуэн, Лаура Дж.; Питер Судфельд (1 мая 1992 г.). «Когнитивные и возбуждающие эффекты маскировки офисного шума». Окружающая среда и поведение . 24 (3): 381–395. дои : 10.1177/0013916592243006 . S2CID 144443528 .
^ Бейкер, Мэри Энн; Деннис Х. Холдинг (июль 1993 г.). «Влияние шума и речи на выполнение когнитивных задач». Журнал общей психологии . 120 (3): 339–355. дои : 10.1080/00221309.1993.9711152 . ISSN 0022-1309 . ПМИД 8138798 .
^ Рауш, В.Х. (2014). Белый шум улучшает обучение, модулируя активность дофаминергических областей среднего мозга и правой верхней височной борозды. Журнал когнитивной нейробиологии, 1469–1480 гг.
^ Джеффри А. Фесслер (1998), О преобразованиях случайных векторов. Технический отчет 314, кафедра электротехники и информатики, унив. Мичигана. ( PDF )
^ Эрик Зивот и Цзяхуэй Ван (2006), Моделирование финансовых временных рядов с помощью S-PLUS . Второе издание. ( PDF )
^ Фрэнсис X. Диболд (2007), Элементы прогнозирования , 4-е издание. ( PDF )
^ Процесс белого шума. Архивировано 11 сентября 2016 г. в Wayback Machine . По Econterms через About.com. Доступ осуществлен 12 февраля 2013 г.
^ Мэтт Донадио. «Как сгенерировать белый гауссов шум» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 24 февраля 2021 г. Проверено 19 сентября 2012 г.
^ белый шум , Merriam-Webster , получено 6 мая 2022 г.

Внешние ссылки

[1] Картер, Манчини, Брюс, Рон (2009). Операционные усилители для всех . Техасские инструменты. стр. 10–11. ISBN 978-0-08-094948-2 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[2] Штейн, Майкл Л. (1999). Интерполяция пространственных данных: некоторые теории кригинга . Серия Спрингера по статистике. Спрингер. п. 40. дои : 10.1007/978-1-4612-1494-6 . ISBN 978-1-4612-7166-6 . белый свет представляет собой примерно равную смесь всех видимых частот света, что было продемонстрировано Исааком Ньютоном.

[3] Штейн, Майкл Л. (1999). Интерполяция пространственных данных: некоторые теории кригинга . Серия Спрингера по статистике. Спрингер. п. 40. дои : 10.1007/978-1-4612-1494-6 . ISBN 978-1-4612-7166-6 . Самый известный обобщенный процесс — это белый шум, который можно рассматривать как непрерывный во времени аналог последовательности независимых и одинаково распределенных наблюдений.

[4] Диболд, Фрэнк (2007). Элементы прогнозирования (Четвертое изд.).

[5] Фуско, Дж; Гарланд, Т. младший; Хант, Дж; Хьюз, Северная Каролина (2011). «Эволюция признаков развития у трилобитов» . Эволюция . 66 (2): 314–329. дои : 10.1111/j.1558-5646.2011.01447.x . ПМИД 22276531 . S2CID 14726662 .

[shipman-6] Клэр Шипман (2005), Доброе утро, Америка : «Политическая риторика о социальном обеспечении - это белый шум». Сказано в ABC 11 января 2005 года. на канале Доброе утро, Америка» телешоу «

[7] Дон Делилло (1985), Белый шум

[8] Кларк, Декстер. «Знаете ли вы все эти секреты белого шума? (советы по созданию музыки)» . www.learnhowtoproducemusic.com . Проверено 25 июля 2022 г.

[9] О'Коннелл, Памела ЛиКальци (8 апреля 2004 г.). «Лотерейные номера и книги с голосом» . Нью-Йорк Таймс . Архивировано из оригинала 26 июля 2009 года . Проверено 25 июля 2022 г.

[10] Ястребофф, П.Дж. (2000). «Терапия привыкания к тиннитусу (THT) и терапия переобучения тиннитуса (TRT)». Справочник по тиннитусу . Сан-Диего: Единственное число. стр. 357–376.

[11] Лопес, Х.Х.; Брача, А.С.; Брача, HS (сентябрь 2002 г.). «Дополнительное вмешательство при бессоннице, основанное на фактических данных» (PDF) . Гавайи Мед Дж . 61 (9): 192, 213. PMID 12422383 .

[12] Грин, Пенелопа (27 декабря 2018 г.). «Звук тишины» . Нью-Йорк Таймс . ISSN 0362-4331 . Проверено 20 мая 2021 г.

[13] Ноэлл, Кортни А; Уильям Л. Мейерхофф (февраль 2003 г.). «Тиннитус. Диагностика и лечение этого неуловимого симптома». Гериатрия . 58 (2): 28–34. ISSN 0016-867X . ПМИД 12596495 .

[14] Содерлунд, Горан; Сверкер Сикстрем; Ян Лофтеснес; Эдмунд Сонуга Барк (2010). «Влияние фонового белого шума на память у невнимательных школьников» . Поведенческие и функции мозга . 6 (1): 55. дои : 10.1186/1744-9081-6-55 . ПМЦ 2955636 . ПМИД 20920224 .

[15] Седерлунд, Йоран; Сверкер Сикстрем; Эндрю Смарт (2007). «Слушайте шум: шум полезен для когнитивных функций при СДВГ». Журнал детской психологии и психиатрии . 48 (8): 840–847. CiteSeerX 10.1.1.452.530 . дои : 10.1111/j.1469-7610.2007.01749.x . ISSN 0021-9630 . ПМИД 17683456 .

[16] Лоуэн, Лаура Дж.; Питер Судфельд (1 мая 1992 г.). «Когнитивные и возбуждающие эффекты маскировки офисного шума». Окружающая среда и поведение . 24 (3): 381–395. дои : 10.1177/0013916592243006 . S2CID 144443528 .

[17] Бейкер, Мэри Энн; Деннис Х. Холдинг (июль 1993 г.). «Влияние шума и речи на выполнение когнитивных задач». Журнал общей психологии . 120 (3): 339–355. дои : 10.1080/00221309.1993.9711152 . ISSN 0022-1309 . ПМИД 8138798 .

[18] Рауш, В.Х. (2014). Белый шум улучшает обучение, модулируя активность дофаминергических областей среднего мозга и правой верхней височной борозды. Журнал когнитивной нейробиологии, 1469–1480 гг.

[fessler-19] Джеффри А. Фесслер (1998), О преобразованиях случайных векторов. Технический отчет 314, кафедра электротехники и информатики, унив. Мичигана. ( PDF )

[ezivot-20] Эрик Зивот и Цзяхуэй Ван (2006), Моделирование финансовых временных рядов с помощью S-PLUS . Второе издание. ( PDF )

[diebold-21] Фрэнсис X. Диболд (2007), Элементы прогнозирования , 4-е издание. ( PDF )

[econterms-22] Процесс белого шума. Архивировано 11 сентября 2016 г. в Wayback Machine . По Econterms через About.com. Доступ осуществлен 12 февраля 2013 г.

[23] Мэтт Донадио. «Как сгенерировать белый гауссов шум» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 24 февраля 2021 г. Проверено 19 сентября 2012 г.

[24] белый шум , Merriam-Webster , получено 6 мая 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

v т и Случайные процессы
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	Additive process Bessel process Birth–death process pure birth Brownian motion Bridge Excursion Fractional Geometric Meander Cauchy process Contact process Continuous-time random walk Cox process Diffusion process Dyson Brownian motion Empirical process Feller process Fleming–Viot process Gamma process Geometric process Hawkes process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion Itô process Jump diffusion Jump process Lévy process Local time Markov additive process McKean–Vlasov process Ornstein–Uhlenbeck process Poisson process Compound Non-homogeneous Schramm–Loewner evolution Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process Wiener process Wiener sausage
Both	Branching process Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Binomial options pricing model Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS) Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White Korn-Kreer-Lenssen LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise-deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Doob's upcrossing Kunita–Watanabe Marcinkiewicz–Zygmund
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Karhunen–Loève theorem Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	Actuarial mathematics Control theory Econometrics Ergodic theory Extreme value theory (EVT) Large deviations theory Mathematical finance Mathematical statistics Probability theory Queueing theory Renewal theory Ruin theory Signal processing Statistics Stochastic analysis Time series analysis Machine learning
List of topics Category