Бесплатного обеда не будет, риск исчезнет

Никакого бесплатного обеда с исчезающим риском ( NFLVR ) — это концепция, используемая в математических финансах для усиления условия отсутствия арбитража . В финансах с непрерывным временем существование эквивалентной меры мартингала (EMM) больше не эквивалентно условию отсутствия арбитража (в отличие от финансов с дискретным временем), а вместо этого эквивалентно условию NFLVR. Это известно как первая фундаментальная теорема ценообразования активов .

Неформально говоря, рынок допускает бесплатный обед с исчезающим риском , если существуют допустимые стратегии , которые можно выбрать сколь угодно близкими к арбитражной стратегии, т. е. эти стратегии начинаются с отсутствия богатства и заканчиваются положительным богатством с вероятностью, большей нуля (свободное богатство). обед), а вероятность получения отрицательного богатства может быть выбрана сколь угодно малой (исчезающий риск).

Математическое определение

Для семимартингала $S$, позволять

• $K=\{(H\cdot S)_{\infty }:H{\text{ admissible}},(H\cdot S)_{\infty }=\lim _{t\to \infty }(H\cdot S)_{t}{\text{ exists a.s.}}\}$ где стратегия называется допустимой, если она является самофинансируемой и ее ценностный процесс $V_{t}=\int _{0}^{t}H_{u}\cdot \mathrm {d} S_{u}$ ограничено снизу.
• $C=\{g\in L^{\infty }(P):\exists f\in K,~g\leq f~a.s.\}$.

$S$ Говорят, что он удовлетворяет условию отсутствия бесплатного обеда при исчезающем риске (NFLVR), если ${\bar {C}}\cap L_{+}^{\infty }(P)=\{0\}$, где ${\bar {C}}$ является замыканием C ​ в нормальной топологии $L_{+}^{\infty }(P)$.

Прямым следствием этого определения является следующее:

Если рынок не удовлетворяет NFLVR, то существует $g\in {\bar {C}}\cap L_{+}^{\infty }(P)\backslash \{0\}$ и последовательности $(g_{n})_{n}\subset C$, $(V_{n})_{n}\subset K$ такой, что $g_{n}\xrightarrow {L^{\infty }} g$ и $g_{n}\leq V_{n}\,\forall n\in \mathbb {N}$. Более того, оно имеет место

1. $\lim _{n\to \infty }||\min(V_{n},0)||_{L^{\infty }}=0$ (исчезающий риск)
2. $\lim _{n\to \infty }P(V_{n}>0)>0$ (бесплатный обед)

Другими словами, это означает: существует последовательность допустимых стратегий. $(\theta _{n})_{n}$ начиная с нулевого богатства, так что отрицательная часть их конечных значений $V^{\theta _{n}}$ сходятся равномерно к нулю, а вероятности событий $\{V^{\theta _{n}}>0\}$ сходятся к положительному числу.

Фундаментальная теорема ценообразования активов

Основная статья: фундаментальная теорема ценообразования активов

Если $S=(S_{t})_{t=0}^{T}$ представляет собой семимартингал со значениями в $\mathbb {R} ^{d}$ тогда S не допускает бесплатного обеда с исчезающим риском тогда и только тогда, когда существует эквивалентная мера мартингала $\mathbb {Q}$ такой, что S является сигма-мартингалом при $\mathbb {Q}$.