Структурная теорема Коэна

В математике структурная теорема Коэна , введенная Коэном ( 1946 ), описывает структуру полных нётеровых локальных колец .

Некоторые следствия структурной теоремы Коэна включают три гипотезы Крулла :

• Любое полное регулярное нётерово локальное кольцо эквихарактеристики является кольцом формальных степенных рядов над полем. (Эквихарактеристика означает, что локальное кольцо и его поле вычетов имеют одинаковую характеристику и эквивалентны локальному кольцу, содержащему поле.)
• Любое полное регулярное нетерово локальное кольцо, не являющееся равнохарактеристическим, но неразветвленное, однозначно определяется своим полем вычетов и размерностью.
• Любое полное нётерово локальное кольцо является образом полного регулярного нётерова локального кольца.

Заявление

Наиболее часто используемый случай теоремы Коэна - это когда полное нётерово локальное кольцо содержит некоторое поле. В этом случае структурная теорема Коэна утверждает, что кольцо имеет форму k [[ x ₁ ,..., x _n ]]/( I ) для некоторого идеала I , где k - его поле класса вычетов.

В неравном характеристическом случае, когда полное нётерово локальное кольцо не содержит поля, структурная теорема Коэна утверждает, что локальное кольцо является фактором кольца формальных степенных рядов от конечного числа переменных над кольцом Коэна с тем же полем вычетов, что и местное кольцо. Кольцо Коэна — это поле или кольцо дискретного нормирования полной характеристики нуль , максимальный идеал которого порождается простым числом p (равным характеристике поля вычетов).

В обоих случаях самая сложная часть доказательства Коэна — показать, что полное нётерово локальное кольцо содержит кольцо коэффициентов (или поле коэффициентов ), что означает полное кольцо (или поле) дискретного нормирования с тем же полем вычетов, что и локальное кольцо.

Весь этот материал тщательно разработан в проекте Stacks. «Проект Stacks — Тег 0323» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 13 августа 2018 г. .

Ссылки

• Коэн, Ирвин Сол (1946), «О структуре и идеальной теории полных локальных колец», Труды Американского математического общества , 59 (1): 54–106, doi : 10.2307/1990313 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1990313 , MR   0016094 Статья Коэна была написана, когда «локальное кольцо» означало то, что сейчас называется «нетеровским локальным кольцом».
• Самуэль, Пьер (1953), Локальная алгебра , Mémor. наук. Матем., вып. 123, Готье-Виллар, MR   0054995