Теорема Какутани (теория меры)

В теории меры , разделе математики , теорема Какутани является фундаментальным результатом об эквивалентности или взаимной сингулярности счетных произведений мер . Он дает характеристику « тогда и только тогда », когда две такие меры эквивалентны, и, следовательно, он чрезвычайно полезен при попытке установить формулы замены меры для мер в функциональных пространствах . Результат принадлежит японскому математику Сидзуо Какутани . Теорему Какутани можно использовать, например, для определения того, является ли перевод гауссовой меры $\mu$ эквивалентно $\mu$ (только когда вектор трансляции лежит в Кэмерона–Мартина пространстве $\mu$), или же расширение $\mu$ эквивалентно $\mu$ (только когда абсолютное значение коэффициента расширения равно 1, что является частью теоремы Фельдмана-Хайека ).

Формулировка теоремы

Для каждого $n\in \mathbb {N}$, позволять $\mu _{n}$ и $\nu _{n}$ быть мерами на реальной линии $\mathbb {R}$, и пусть $\mu =\bigotimes _{n\in \mathbb {N} }\mu _{n}$ и $\nu =\bigotimes _{n\in \mathbb {N} }\nu _{n}$ быть соответствующими мерами продукта на $\mathbb {R} ^{\infty }$. Предположим также, что для каждого $n\in \mathbb {N}$, $\mu _{n}$ и $\nu _{n}$ эквивалентны (т.е. имеют одинаковые нулевые множества). Тогда либо $\mu$ и $\nu$ эквивалентны, или же они взаимно сингулярны. Более того, эквивалентность имеет место именно тогда, когда бесконечное произведение

$\prod _{n\in \mathbb {N} }\int _{\mathbb {R} }{\sqrt {\frac {\mathrm {d} \mu _{n}}{\mathrm {d} \nu _{n}}}}\,\mathrm {d} \nu _{n}$

имеет ненулевой предел; или, что то же самое, когда бесконечный ряд

$\sum _{n\in \mathbb {N} }\log \int _{\mathbb {R} }{\sqrt {\frac {\mathrm {d} \mu _{n}}{\mathrm {d} \nu _{n}}}}\,\mathrm {d} \nu _{n}$

сходится.

Ссылки

• Богачев, Владимир (1998). Гауссовы меры . Математические обзоры и монографии. Том. 62. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/surv/062 . ISBN  0-8218-1054-5 . (См. теорему 2.12.7)
• Какутани, Шизуо (1948). «Об эквивалентности бесконечных мер произведения». Энн. Математика . 49 : 214–224. дои : 10.2307/1969123 .