Интегральное уравнение электрического поля

Интегральное уравнение электрического поля — это соотношение, которое позволяет рассчитать электрическое поле ( E ), создаваемое распределением электрического тока ( J ).

Вывод

Когда рассматриваются все величины в частотной области, зависимость от времени $e^{jwt}$ предполагается, что оно полностью подавлено.

Начиная с уравнений Максвелла, связывающих электрическое и магнитное поля , и предполагая линейную однородную среду с проницаемостью. $\mu$ и диэлектрическая проницаемость $\varepsilon \,$: $${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=-j\omega \mu \mathbf {H} \\[1ex]\nabla \times \mathbf {H} &=j\omega \varepsilon \mathbf {E} +\mathbf {J} \end{aligned}}$$

Следуя третьему уравнению, дивергенцию H включающему $$\nabla \cdot \mathbf {H} =0\,$$с помощью векторного исчисления мы можем записать любой недивергентный вектор как ротор другого вектора, следовательно, $$\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {H}$$где А называется магнитным векторным потенциалом . Подставив это в приведенное выше, мы получим $$\nabla \times (\mathbf {E} +j\omega \mu \mathbf {A} )=0$$и любой вектор без ротора можно записать как градиент скаляра, следовательно $$\mathbf {E} +j\omega \mu \mathbf {A} =-\nabla \Phi$$где $\Phi$ – электрический скалярный потенциал . Эти отношения теперь позволяют нам писать $$\nabla \times \nabla \times \mathbf {A} -k^{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} -j\omega \varepsilon \nabla \Phi$$где $k=\omega {\sqrt {\mu \varepsilon }}$, который можно переписать векторным тождеством как $$\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A} -k^{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} -j\omega \varepsilon \nabla \Phi$$

Поскольку мы указали только ротор A , мы можем определить расхождение и выбрать следующее: $$\nabla \cdot \mathbf {A} =-j\omega \varepsilon \Phi \,$$которое называется калибровочным условием Лоренца . Предыдущее выражение для A теперь сводится к $$\nabla ^{2}\mathbf {A} +k^{2}\mathbf {A} =-\mathbf {J} \,$$которое представляет собой векторное уравнение Гельмгольца . Решение этого уравнения относительно А есть $$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int \mathbf {J} (\mathbf {r} ^{\prime })\ G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })\,d\mathbf {r} ^{\prime }$$где $G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })$ - трехмерная однородная функция Грина, определяемая формулой $$G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })={\frac {e^{-jk\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}$$

Теперь мы можем написать так называемое интегральное уравнение электрического поля (EFIE), связывающее электрическое поле E с векторным потенциалом A. $$\mathbf {E} =-j\omega \mu \mathbf {A} +{\frac {1}{j\omega \varepsilon }}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )\,$$

Далее мы можем представить EFIE в диадической форме как $$\mathbf {E} =-j\omega \mu \int _{V}d\mathbf {r} ^{\prime }\mathbf {G} (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ^{\prime })\,$$где $\mathbf {G} (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })\,$ вот диадическая однородная функция Грина, определяемая формулой $$\mathbf {G} (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {I} +{\frac {\nabla \nabla }{k^{2}}}\right]G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })$$

Интерпретация

EFIE описывает излучаемое поле E при заданном наборе источников J и, как таковое, является фундаментальным уравнением, используемым при анализе и проектировании антенн . Это очень общее соотношение, которое можно использовать для расчета излучаемого поля антенны любого типа, если известно распределение тока на ней. Наиболее важным аспектом EFIE является то, что он позволяет нам решать проблему излучения/рассеяния в неограниченной области или в той, граница которой расположена на бесконечности . Для закрытых поверхностей можно использовать интегральное уравнение магнитного поля или интегральное уравнение комбинированного поля, оба из которых приводят к набору уравнений с улучшенным числом обусловленности по сравнению с EFIE. Однако MFIE и CFIE все же могут содержать резонансы.

В задачах рассеяния желательно определить неизвестное рассеянное поле $E_{s}$ это связано с известным полем инцидента $E_{i}$. К сожалению, EFIE связывает рассеянное с J поле , а не падающее поле, поэтому мы не знаем, что J. такое Такую задачу можно решить, наложив граничные условия на падающее и рассеянное поле, что позволяет записать EFIE в терминах $E_{i}$ и только Джей . Как только это будет сделано, интегральное уравнение может быть решено с помощью численного метода, подходящего для интегральных уравнений, такого как метод моментов .

Примечания

По теореме Гельмгольца векторное поле полностью описывается своей дивергенцией и ротором. Поскольку дивергенция не была определена, мы имеем право выбрать приведенное выше условие калибровки Лоренца при условии, что мы последовательно будем использовать это определение дивергенции A во всем последующем анализе. Однако другие варианты для $\nabla \cdot \mathbf {A}$ столь же действительны и приводят к другим уравнениям, описывающим одни и те же явления, и к решениям уравнений для любого выбора $\nabla \cdot \mathbf {A}$ приводят к одним и тем же электромагнитным полям, и они ускоряют одни и те же физические предсказания о полях и зарядах.

Естественно думать, что если величина проявляет такую ​​степень свободы в своем выборе, то ее не следует интерпретировать как реальную физическую величину. Ведь если мы можем свободно выбирать $\nabla \cdot \mathbf {A}$ быть чем угодно, тогда $\mathbf {A}$ не является уникальным. Можно спросить: какова «истинная» ценность $\mathbf {A}$ измерено в эксперименте? Если $\mathbf {A}$ не является уникальным, то единственным логическим ответом должно быть то, что мы никогда не сможем измерить значение $\mathbf {A}$. На этом основании часто утверждают, что это не реальная физическая величина, и полагают, что поля $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$ являются истинными физическими величинами.

Однако существует по крайней мере один эксперимент, в котором значение $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$ оба равны нулю в месте нахождения заряженной частицы, но, тем не менее, на это влияет наличие локального магнитного векторного потенциала; см . в эффекте Ааронова-Бома подробности . Тем не менее даже в эксперименте Ааронова–Бома расходимость $\mathbf {A}$ никогда не входит в расчеты; только $\nabla \times \mathbf {A}$ вдоль пути частицы определяет измеримый эффект.

Ссылки

• Гибсон, Уолтон К. Метод моментов в электромагнетике . Чепмен и Холл/CRC, 2008. ISBN   978-1-4200-6145-1
• Харрингтон, Роджер Ф. Электромагнитные поля, гармонические во времени . МакГроу-Хилл, Инк., 1961 г. ISBN   0-07-026745-6 .
• Баланис, Константин А. Передовая инженерная электромагнетика . Уайли, 1989. ISBN   0-471-62194-3 .
• Чу, Венг К. Волны и поля в неоднородных средах . IEEE Press, 1995. ISBN   0-7803-4749-8 .
• Рао, Уилтон, Глиссон. Электромагнитное рассеяние на поверхностях произвольной формы . IEEE Transactions on Antennas and Propagation, том, AP-30, № 3, май 1982 г. doi:10.1109/TAP.1982.1142818