Компактная конвергенция

В математике компактная сходимость (или равномерная сходимость на компактах ) — тип сходимости , обобщающий идею равномерной сходимости . Это связано с компактно-открытой топологией .

Определение

Позволять $(X,{\mathcal {T}})$ быть топологическим пространством и $(Y,d_{Y})$ быть метрическим пространством . Последовательность функций

f_{n}:X\to Y

,

n\in \mathbb {N} ,

говорят, что он компактно сходится как $n\to \infty$ к какой-то функции $f:X\to Y$ если для любого компакта $K\subseteq X$ ,

f_{n}|_{K}\to f|_{K}

равномерно на $K$ как $n\to \infty$ . Это означает, что для всех компактных $K\subseteq X$ ,

\lim _{n\to \infty }\sup _{x\in K}d_{Y}\left(f_{n}(x),f(x)\right)=0.

Если $X=(0,1)\subseteq \mathbb {R}$ и $Y=\mathbb {R}$ со своими обычными топологиями, с $f_{n}(x):=x^{n}$ , затем $f_{n}$ компактно сходится к постоянной функции со значением 0, но не равномерно.
Если $X=(0,1]$ , $Y=\mathbb {R}$ и $f_{n}(x)=x^{n}$ , затем $f_{n}$ сходится поточечно к функции, равной нулю на $(0,1)$ и один в $1$ , но последовательность не сходится компактно.
Очень мощным инструментом для демонстрации компактной сходимости является теорема Арзела-Асколи . Существует несколько версий этой теоремы, грубо говоря, она утверждает, что каждая последовательность равнонепрерывных и равномерно ограниченных отображений имеет подпоследовательность, компактно сходящую к некоторому непрерывному отображению.

Если $f_{n}\to f$ равномерно, тогда $f_{n}\to f$ компактно.
Если $(X,{\mathcal {T}})$ представляет собой компактное пространство и $f_{n}\to f$ компактно, тогда $f_{n}\to f$ равномерно.
Если $(X,{\mathcal {T}})$ — локально компактное пространство , то $f_{n}\to f$ компактно тогда и только тогда, когда $f_{n}\to f$ локально равномерно.
Если $(X,{\mathcal {T}})$ — компактно порожденное пространство , $f_{n}\to f$ компактно, и каждый $f_{n}$ является непрерывным , то $f$ является непрерывным.