Спектр мощности материи

Спектр мощности материи, полученный с помощью различных космологических зондов.

Спектр материи мощности описывает контраст плотности Вселенной (разницу между локальной плотностью и средней плотностью) как функцию масштаба. Это преобразование Фурье материи корреляционной функции . В больших масштабах гравитация конкурирует с космическим расширением , и структуры растут в соответствии с линейной теорией . В этом режиме поле контраста плотности является гауссовым, фурье-моды развиваются независимо, а спектр мощности достаточен для полного описания поля плотности. В малых масштабах гравитационный коллапс является нелинейным и может быть точно вычислен только с помощью моделирования N тел . Статистика высшего порядка необходима для описания всего поля в небольших масштабах.

Определение

Позволять $\delta (\mathbf {x} )$ представляют собой сверхплотность вещества, безразмерную величину, определяемую как: $$\delta (\mathbf {x} )={\frac {\rho (\mathbf {x} )-{\bar {\rho }}}{\bar {\rho }}},$$где ${\bar {\rho }}$ — средняя плотность материи во всем пространстве.

Спектр мощности чаще всего понимается как преобразование Фурье автокорреляционной функции , $\xi$, математически определяемый как: $$\xi (r)=\langle \delta (\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} ')\rangle ={\frac {1}{V}}\int d^{3}\mathbf {x} \,\delta (\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {r} ),$$для $\mathbf {r} =\mathbf {x} -\mathbf {x} '$.Затем это определяет легко выводимую связь со спектром мощности: $P(\mathbf {k} )$, то есть $\xi (r)=\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}P(k)e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}.$

Эквивалентно, позволяя ${\tilde {\delta }}(\mathbf {k} )$ обозначим преобразование Фурье сверхплотности $\delta (\mathbf {x} )$, спектр мощности определяется следующим средним значением по пространству Фурье:

$$\langle {\tilde {\delta }}(\mathbf {k} ){\tilde {\delta }}^{*}(\mathbf {k} ')\rangle =(2\pi )^{3}P(k)\delta ^{3}(\mathbf {k} -\mathbf {k} ')$$

(Обратите внимание, что $\delta ^{3}$ — это не избыточная плотность, а дельта-функция Дирака ).

С $P(k)$ имеет размеры (длина) ³ спектр мощности также иногда выражается через безразмерную функцию: $$\Delta ^{2}(k)={\frac {k^{3}P(k)}{2\pi ^{2}}}.$$

Развитие согласно гравитационному расширению

Если автокорреляционная функция описывает вероятность нахождения галактики на расстоянии $r$ из другой галактики спектр мощности материи разлагает эту вероятность на характерные длины, $k\approx 2\pi /L$, а его амплитуда описывает степень, в которой каждая характерная длина вносит вклад в общую сверхвероятность.

Общую форму спектра мощности материи лучше всего понять с точки зрения анализа роста структуры с помощью линейной теории возмущений, которая предсказывает в первом порядке, что спектр мощности растет согласно:

$$P(\mathbf {k} ,t)=D_{+}^{2}(t)P(\mathbf {k} ,t_{0})=D_{+}^{2}(t)P_{0}(\mathbf {k} )$$

Где $D_{+}(t)$ — коэффициент линейного роста плотности, то есть первого порядка $\delta (r,t)=D_{+}(t)\delta _{0}(r)$, и $P_{0}(\mathbf {k} )$ обычно называют спектром мощности первичной материи . Определение изначального $P_{0}(\mathbf {k} )$ Это вопрос, который относится к физике инфляции.

Самый простой $P_{0}(\mathbf {k} )$ — спектр Харрисона–Зельдовича (названный в честь Эдварда Р. Харрисона и Якова Зельдовича ), что характеризует $P_{0}(\mathbf {k} )$ по степенному закону, $P_{0}(\mathbf {k} )=Ak$. Более продвинутые первичные спектры включают использование передаточной функции, которая обеспечивает переход от Вселенной, в которой доминирует излучение, к доминированию материи.

Широкая форма спектра мощности материи определяется ростом крупномасштабной структуры с оборотом (точка, где спектр переходит от увеличения с k к уменьшению с k ) при $k_{eq}\approx 2\times 10^{-2}~h~{\text{Mpc}}^{-1}$, соответствующий $\lambda _{eq}=350~h^{-1}~{\text{Mpc}}$ (где h — безразмерная постоянная Хаббла ). Сопутствующее волновое число, соответствующее максимальной мощности в спектре массовой мощности, определяется размером горизонта космических частиц в момент равенства вещества и излучения и, следовательно, зависит от средней плотности вещества и в меньшей степени от число семейств нейтрино ( $N\geq 3$), $k_{\text{eq}}=(2\Omega _{M}H_{0}^{2}z_{\text{eq}}/c^{2})=7.3\times 10^{-2}\Omega _{M}h^{2}{\text{Mpc}}^{-1}$, для $T_{\text{cmb}}=2.728~\mathrm {K}$. $P_{0}(k)$ при меньшем k (эквивалентно большему масштабу) соответствуют масштабы, которые были больше горизонта частиц в момент перехода от режима доминирования излучения к режиму доминирования вещества. При линейном порядке по возмущениям $\delta$, широкая форма спектра мощности следует

$$P({\bf {k,t)\propto {\begin{cases}k^{n_{s}}&k\ll k_{eq}\\k^{n_{s}-1}&k\gg k_{eq}\end{cases}}~,}}$$

где $n_{s}\simeq 1$ – скалярный спектральный индекс.

Ссылки

• Додельсон, Скотт (2003). Современная космология . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-219141-1 .
• Теунс, Физическая космология
• Майкл Л. Норман, Моделирование скоплений галактик