Свойство Радон-Рисса

Свойство Радона -Рисса — это математическое свойство нормированных пространств , которое помогает обеспечить сходимость по норме. Учитывая два предположения (существенно слабая сходимость и непрерывность нормы), мы хотели бы обеспечить сходимость в топологии нормы .

Определение

Предположим, что ( X , ||·||) — нормированное пространство. Мы говорим, что X обладает свойством Радона–Рисса (или что X является пространством Радона–Рисса ), если когда бы то ни было $(x_{n})$ представляет собой последовательность в пространстве и $x$ является членом X таким, что $(x_{n})$ слабо сходится к $x$ и $\lim _{n\to \infty }\Vert x_{n}\Vert =\Vert x\Vert$ , затем $(x_{n})$ сходится к $x$ в норме; то есть, $\lim _{n\to \infty }\Vert x_{n}-x\Vert =0$ .

Другие имена

Хотя казалось, что Иоганн Радон был одним из первых, кто существенно использовал это свойство в 1913 году, М. И. Кадец и В. Л. Клее также использовали версии свойства Радона–Рисса для достижения успехов в теории банахового пространства в конце 1920-х годов. Свойство Радона-Рисса обычно также называют свойством Кадета-Клее или свойством (H) . По мнению Роберта Меггинсона , буква H ничего не означает. Его просто называли свойством (H) в списке свойств нормированных пространств, который начинается с (A) и заканчивается (H). Этот список был дан К. Фаном и И. Гликсбергом (заметим, что определение (H), данное Фаном и Гликсбергом, включает дополнительно округлость нормы, поэтому оно не совпадает с самим свойством Радона-Рисса). Часть имени «Риш» относится к Фригесу Риссу . Он также использовал это имущество в 1920-х годах.

Важно знать, что название «свойство Кадета-Клее» иногда используется, чтобы говорить о совпадении слабых топологий и нормальных топологий в единичной сфере нормированного пространства.

Примеры

1. Всякое вещественное гильбертово пространство является пространством Радона–Рисса. Действительно, предположим, что H — вещественное гильбертово пространство и что $(x_{n})$ — последовательность из H, слабо сходящаяся к члену $x$ Х. Используя два предположения о последовательности и тот факт, что

\langle x_{n}-x,x_{n}-x\rangle =\langle x_{n},x_{n}\rangle -\langle x_{n},x\rangle -\langle x,x_{n}\rangle +\langle x,x\rangle ,

и стремя n к бесконечности, мы видим, что

\lim _{n\to \infty }{\langle x_{n}-x,x_{n}-x\rangle }=0.

Таким образом, H — пространство Радона–Рисса.

2. Всякое равномерно выпуклое банахово пространство является пространством Радона–Рисса. См. раздел 3.7 книги Хаима Брезиса «Функциональный анализ».

См. также

Ссылки

Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банахового пространства , Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98431-3