Дисперсионное соотношение

В призме дисперсия заставляет разные цвета преломляться под разными углами, разделяя белый свет на радугу цветов.

В науках и электротехнике физических дисперсионные соотношения описывают влияние дисперсии на свойства волн в среде. Дисперсионное соотношение связывает длину волны или волновое число волны с ее частотой . Учитывая дисперсионное соотношение, можно рассчитать зависящую от частоты фазовую скорость и групповую скорость каждой синусоидальной компоненты волны в среде как функцию частоты. В дополнение к дисперсионным соотношениям, зависящим от геометрии и материала, общие соотношения Крамерса-Кронига описывают частотную зависимость волн распространения и затухания .

Дисперсия может быть вызвана либо геометрическими граничными условиями ( волноводы , мелководье), либо взаимодействием волн с передающей средой. Элементарные частицы , рассматриваемые как волны материи , имеют нетривиальное соотношение дисперсии даже при отсутствии геометрических ограничений и других сред.

При наличии дисперсии волна не распространяется с неизменной формой волны, что приводит к четко выраженной частотно-зависимой фазовой скорости и групповой скорости .

Дисперсия

Основные статьи: Дисперсия (оптика) , Дисперсия (волны на воде) и Акустическая дисперсия.

Дисперсия возникает, когда синусоидальные волны разной длины имеют разные скорости распространения, так что волновой пакет смешанных длин имеет тенденцию распространяться в пространстве. Скорость плоской волны, $v$, является функцией длины волны $\lambda$:

$v=v(\lambda ).$

Скорость волны, длина волны и частота f связаны тождеством

$v(\lambda )=\lambda \ f(\lambda ).$

Функция $f(\lambda )$ выражает закон дисперсии данной среды. Дисперсионные соотношения чаще выражаются через угловую частоту $\omega =2\pi f$ и волновое число $k=2\pi /\lambda$. Переписывание приведенного выше отношения в этих переменных дает

$\omega (k)=v(k)\cdot k.$

где мы теперь рассматриваем f как функцию от k . Использование ω ( k ) для описания дисперсионного уравнения стало стандартным, поскольку как фазовая скорость ω / k, так и групповая скорость dω / dk имеют удобные представления через эту функцию.

Рассматриваемые плоские волны можно описать формулой

$A(x,t)=A_{0}e^{2\pi i{\frac {x-vt}{\lambda }}}=A_{0}e^{i(kx-\omega t)},$

где

• А – амплитуда волны,
• А ₀ = А (0, 0),
• x - положение вдоль направления движения волны, а
• t — время описания волны.

Плоские волны в вакууме

Плоские волны в вакууме — это простейший случай распространения волн: нет геометрических ограничений, нет взаимодействия с передающей средой.

Электромагнитные волны в вакууме

Для электромагнитных волн в вакууме угловая частота пропорциональна волновому числу:

$\omega =ck.$

Это линейное дисперсионное соотношение. В этом случае фазовая скорость и групповая скорость совпадают:

$v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c,$

и, таким образом, обе они равны скорости света в вакууме, которая не зависит от частоты.

Дисперсионные соотношения де Бройля

Для волн материи де Бройля соотношение частотной дисперсии нелинейно: $$\omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.$$Уравнение говорит, что частота волны материи $\omega$ в вакууме зависит от волнового числа ( $k=2\pi /\lambda$) в нерелятивистском приближении. Вариация имеет две части: постоянную часть, обусловленную частотой де Бройля массы покоя ( $\hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}$) и квадратичная часть, обусловленная кинетической энергией.

Вывод

Хотя применение волн материи происходит с нерелятивистской скоростью, де Бройль применил специальную теорию относительности для получения своих волн. Исходя из релятивистского соотношения энергии и импульса : $$E^{2}=(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}\,$$использовать соотношения де Бройля для энергии и импульса для волн материи ,

$E=\hbar \omega \,,\quad \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,$

где ω — угловая частота , а k — волновой вектор величины | к | = k , равный волновому числу . Разделить на $\hbar$ и извлекаем квадратный корень. Это дает релятивистское соотношение частотной дисперсии : $$\omega (k)={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,.$$

Практическая работа с волнами материи происходит на нерелятивистской скорости. Для аппроксимации мы извлекаем частоту, зависящую от массы покоя: $$\omega ={\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}{\sqrt {1+\left({\frac {k\hbar }{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.$$

Затем мы видим, что $\hbar /c$ фактор очень мал, поэтому для $k$ не слишком большой, расширяем ${\sqrt {1+x^{2}}}\approx 1+x^{2}/2,$ и умножить: $$\omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.$$Это дает нерелятивистское приближение, обсуждавшееся выше. Если мы начнем с нерелятивистского уравнения Шредингера, мы останемся без первого члена, массы покоя.

showАнимация: фазовая и групповая скорость электронов

This animation portrays the de Broglie phase and group velocities (in slow motion) of three free electrons traveling over a field 0.4 ångströms in width. The momentum per unit mass (proper velocity) of the middle electron is lightspeed, so that its group velocity is 0.707 c. The top electron has twice the momentum, while the bottom electron has half. Note that as the momentum increases, the phase velocity decreases down to c, whereas the group velocity increases up to c, until the wave packet and its phase maxima move together near the speed of light, whereas the wavelength continues to decrease without bound. Both transverse and longitudinal coherence widths (packet sizes) of such high energy electrons in the lab may be orders of magnitude larger than the ones shown here.

Частота в зависимости от волнового числа

Как упоминалось выше, когда основное внимание в среде уделяется преломлению, а не поглощению, то есть реальной части показателя преломления , обычно функциональную зависимость угловой частоты от волнового числа называют дисперсионным соотношением . Для частиц это означает знание энергии как функции импульса.

Волны и оптика

Дополнительная информация: Дисперсия (оптика).

Название «отношение дисперсии» изначально пришло из оптики . Можно сделать эффективную скорость света зависимой от длины волны, заставляя свет проходить через материал с непостоянным показателем преломления или используя свет в неоднородной среде, такой как волновод . В этом случае форма сигнала будет растекаться во времени, так что узкий импульс станет расширенным, т. е. рассредоточится. В этих материалах ${\frac {\partial \omega }{\partial k}}$ известна как групповая скорость и соответствует скорости распространения пика импульса, величине, отличной от фазовой скорости .

Глубокие водные волны

Дополнительная информация: Дисперсия (волны на воде) и теория волн Эйри.

Частотная дисперсия поверхностных гравитационных волн на глубокой воде. Красный квадрат ■ движется с фазовой скоростью, а зеленые точки ● распространяются с групповой скоростью. В этом глубоководном случае фазовая скорость в два раза превышает групповую скорость. Красный ■ квадрат пересекает фигуру за время, необходимое ● зеленой точке, чтобы пройти половину.

Дисперсионное соотношение для глубоководных волн часто записывается как

$\omega ={\sqrt {gk}},$

где g — ускорение свободного падения. В этом отношении глубокой водой обычно называют случай, когда глубина воды превышает половину длины волны. В этом случае фазовая скорость равна

$v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}},$

а групповая скорость равна

$v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.$

Волны на веревке

Дополнительная информация: Вибрирующая струна.

Двухчастотные биения недисперсионной поперечной волны. Поскольку волна недисперсионная, ● фазовая и ● групповая скорости равны.

Для идеальной струны дисперсионное соотношение можно записать как

$\omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}},$

где T — сила натяжения струны, а μ — масса струны на единицу длины. Что касается электромагнитных волн в вакууме, то идеальные струны, таким образом, являются недисперсионной средой, т.е. фазовая и групповая скорости равны и не зависят (в первом порядке) от частоты колебаний.

Для неидеальной струны с учетом жесткости дисперсионное уравнение записывается как

$\omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4},$

где $\alpha$ — константа, зависящая от строки.

Электронно-зонная структура

При изучении твердых тел первостепенное значение имеет изучение закона дисперсии электронов. Периодичность кристаллов означает, что для данного импульса возможны многие уровни энергии и что некоторые энергии могут быть недоступны ни при каком импульсе. Совокупность всех возможных энергий и импульсов известна как зонная структура материала. Свойства зонной структуры определяют, является ли материал изолятором , полупроводником или проводником .

Фононы

Дополнительная информация: Фонон § Дисперсионное соотношение.

Фононы должны излучать звуковые волны в твердом теле так же, как фотоны — свет: они являются квантами, которые его переносят. Закон дисперсии фононов также нетривиален и важен, поскольку он напрямую связан с акустическими и тепловыми свойствами материала. Для большинства систем фононы можно разделить на два основных типа: те, чьи полосы становятся нулевыми в центре зоны Бриллюэна , называются акустическими фононами , поскольку они соответствуют классическому звуку в пределе длинных волн. Остальные являются оптическими фононами , поскольку могут возбуждаться электромагнитным излучением.

Электронная оптика

С электронами высокой энергии (например, 200 кэВ, 32 фДж) в просвечивающем электронном микроскопе энергетическая зависимость линий зоны Лауэ высшего порядка (HOLZ) на картинах дифракции электронов сходящегося пучка (CBED) позволяет, по сути, напрямую изображение кристалла поперечного сечения трехмерной дисперсионной поверхности . Этот динамический эффект нашел применение для точного измерения параметров решетки, энергии пучка, а в последнее время и в электронной промышленности: деформации решетки.

История

Исаак Ньютон изучал преломление в призмах, но не смог признать материальную зависимость соотношения дисперсии, отвергнув работу другого исследователя, чьи измерения дисперсии призмы не совпадали с измерениями Ньютона.

Рассеяние волн на воде изучал Пьер-Симон Лаплас в 1776 году.

Универсальность соотношений Крамерса-Кронига (1926–27) стала очевидной в последующих работах о связи дисперсионного соотношения с причинностью в теории рассеяния всех типов волн и частиц.

См. также

• Эллипсометрия
• Ультракороткий импульс
• Волны в плазме

Внешние ссылки

• Плакат о моделировании CBED для визуализации дисперсионных поверхностей, авторы Андрей Чувилин и Уте Кайзер
• Калькулятор угловой частоты