Гипотеза Франкеля

В математических областях дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии гипотеза Франкеля была проблемой, поставленной Теодором Франкелем в 1961 году. Она была решена в 1979 году Сигэфуми Мори , а также Юм-Тонг Сиу и Шинг-Тунг Яу .

В своей дифференциально-геометрической формулировке, доказанной Мори, Сиу и Яу, результат утверждает, что если замкнутое кэлерово многообразие имеет положительную бисекционную кривизну, то оно должно быть биголоморфно комплексному проективному пространству . Таким образом, его можно рассматривать как аналог теоремы о сфере в римановой геометрии , которая (в слабой форме) утверждает, что если замкнутое и односвязное риманово многообразие имеет оператор положительной кривизны, то оно должно быть диффеоморфно сфере . . Эта формулировка была расширена Нгаимингом Моком до следующего утверждения:

Пусть ( M , g ) — замкнутое кэлерово многообразие неотрицательной голоморфной бисекционной кривизны. Тогда универсальное накрытие M со своей естественной метрикой биголоморфно изометрично метрическому произведению комплексного евклидова пространства с некоторым количеством неприводимых замкнутых эрмитовых симметрических пространств ранга больше единицы с произведением некоторого числа комплексных проективных пространств, каждый из которых имеет кэлерову метрику неотрицательной голоморфной биссектрисовой кривизны.

В своей алгебро-геометрической формулировке, доказанной Мори, но не Сиу и Яу, результат утверждает, что если M — неприводимое и неособое проективное многообразие , определенное над алгебраически замкнутым полем k , которое имеет обильное касательное расслоение, то M должно быть изоморфно проективному пространству, определенному над k . Эта версия известна как гипотеза Хартшорна , в честь Робина Хартшорна .

Ссылки

• Теодор Франкель. Многообразия положительной кривизны. Пасифик Дж. Математика. 11 (1961), 165–174. дои : 10.2140/pjm.1961.11.165
• Робин Хартшорн. Обильные подмногообразия алгебраических многообразий. Заметки написаны совместно с К. Мусили. Конспекты лекций по математике, Vol. 156 (1970). Шпрингер-Верлаг, Берлин-Нью-Йорк. xiv+256 стр. дои : 10.1007/BFb0067839
• Сошичи Кобаяши и Такусиро Отиаи. Характеризации комплексных проективных пространств и гиперквадрики. Дж. Математика. Киотский университет. 13 (1973), 31–47. дои : 10.1215/kjm/1250523432
• Нгайминг Мок. Теорема об униформизации компактных кэлеровых многообразий неотрицательной голоморфной бисекционной кривизны. Дж. Дифференциальная геометрия. 27 (1988), вып. 2, 179–214. дои : 10.4310/jdg/1214441778
• Сигэфуми Мори. Проективные многообразия с обильными касательными расслоениями. Энн. математики. (2) 110 (1979), вып. 3, 593–606. дои : 10.2307/1971241
• Юм Тонг Сиу и Шинг Тунг Яу. Компактные кэлеровы многообразия положительной бисекционной кривизны. Изобретать. Математика. 59 (1980), вып. 2, 189–204. два : 10.1007/BF01390043