Распределение с толстым хвостом

Распределение с толстым хвостом — это распределение вероятностей , которое демонстрирует большую асимметрию или эксцесс по сравнению с нормальным распределением или экспоненциальным распределением . ^{[ когда определено как? ]} В обычном использовании термины «толстый хвост» и «толстый хвост» иногда являются синонимами; «толстохвостый» иногда также определяют как разновидность «толстохвостого». Различные исследовательские сообщества отдают предпочтение тому или иному в основном по историческим причинам и могут иметь различия в точном определении того или иного.

Распределения с толстыми хвостами эмпирически встречались в различных областях: физике , науках о Земле, экономике и политологии. К классу распределений с толстым хвостом относятся распределения, хвосты которых затухают по степенному закону , что является общепринятым ориентиром при их использовании в научной литературе. Однако распределения с толстым хвостом также включают в себя другие медленно затухающие распределения, такие как логарифмически нормальное . ^{[ 1 ]}

Крайний случай: степенное распределение.

Самый крайний случай «толстого хвоста» представляет собой распределение, хвост которого затухает по степенному закону .

То есть, если дополнительное кумулятивное распределение случайной величины $X$ можно выразить как ^{[ нужна ссылка ]}

\Pr \left\{\ X>x\ \right\}\sim x^{-\alpha }\quad

как

\quad x\to \infty \quad

для

\quad \alpha >0\;,

то говорят, что распределение имеет «толстый хвост», если $\alpha <2$ . Для таких значений дисперсия и асимметрия хвоста математически не определены (особое свойство степенного распределения) и, следовательно, больше, чем любое нормальное или экспоненциальное распределение. Для значений $\ \alpha >2\ ,$ утверждение о «толстом хвосте» более двусмысленно, поскольку в этом диапазоне параметров дисперсия, асимметрия и эксцесс могут быть конечными, в зависимости от точного значения $\ \alpha \ ,$ и, следовательно, потенциально меньше, чем нормальный или экспоненциальный хвост с высокой дисперсией. Эта двусмысленность часто приводит к разногласиям относительно того, что именно является распределением с толстым хвостом, а что нет. Для $\ k>\alpha -1\ ,$ тот $\ k^{\mathsf {th}}\$ момент бесконечен, поэтому для любого степенного распределения некоторые моменты не определены. ^{[ 2 ]}

Примечание: Здесь тильда " $\sim$ " означает, что хвост распределения затухает по степенному закону; более технически, это относится к асимптотической эквивалентности функций - это означает, что их отношение асимптотически стремится к константе. ^{[ нужна ссылка ]}

«Жирные хвосты» и искажения оценки риска

Бегство Леви от распределения Коши по сравнению с броуновским движением (ниже). Центральные события более распространены, а редкие события более экстремальны в распределении Коши, чем в броуновском движении. Одно событие может составлять 99% общей вариации, отсюда и «неопределенная дисперсия».

Бегство Леви от нормального распределения ( броуновское движение ).

По сравнению с распределениями с «толстым хвостом» в нормальном распределении события, которые отклоняются от среднего значения на пять или более стандартных отклонений («события 5 сигм»), имеют меньшую вероятность, а это означает, что в нормальном распределении экстремальные события менее вероятны, чем для «толстого» распределения. -хвостые распределения. Распределения с толстыми хвостами, такие как распределение Коши (и все другие стабильные распределения, за исключением нормального распределения ), имеют «неопределенную сигму» (более технически, дисперсия не определена).

Как следствие, когда данные возникают из базового распределения с толстым хвостом, включение в модель риска «нормального распределения» — и оценка сигмы на основе (обязательно) конечного размера выборки — приведет к занижению истинной степени сложности прогнозирования (и риск). Многие, особенно Бенуа Мандельброт, а также Нассим Талеб , отметили этот недостаток модели нормального распределения и предположили, что распределения с «толстым хвостом», такие как стабильное распределение, управляют доходностью активов, часто встречающейся в финансах . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Модель Блэка-Шоулза ценообразования опционов основана на нормальном распределении. Если распределение на самом деле является толстым хвостом, то модель будет недооценивать варианты , которые далеки от денег , поскольку событие 5 или 7 сигм гораздо более вероятно, чем предсказывает нормальное распределение. ^{[ 6 ]}

Приложения в экономике

В финансах часто встречаются «толстые хвосты», но они считаются нежелательными из-за дополнительного риска, который они подразумевают. Например, инвестиционная стратегия может иметь ожидаемую доходность через год, в пять раз превышающую ее стандартное отклонение. Если предположить нормальное распределение, вероятность его неудачи (отрицательной доходности) составляет менее одного на миллион; на практике оно может быть выше. Нормальные распределения, возникающие в финансах, обычно возникают потому, что факторы, влияющие на стоимость или цену актива, математически «хорошие», и центральная предельная теорема предусматривает такое распределение. Однако травмирующие события «реального мира» (такие как нефтяной шок, банкротство крупной корпорации или резкое изменение политической ситуации) обычно математически некорректны .

Исторические примеры включают крах Уолл-Стрит 1929 года , Черный понедельник (1987 года) , пузырь доткомов , финансовый кризис конца 2000-х годов , внезапный крах 2010 года , крах фондового рынка 2020 года. и отмена привязки некоторых валют. ^{[ 7 ]}

«Жирные хвосты» в распределении рыночной доходности также имеют некоторые поведенческие причины (чрезмерный оптимизм или пессимизм инвесторов, приводящие к значительным движениям рынка) и поэтому изучаются в поведенческих финансах .

В маркетинге часто встречающееся известное правило 80-20 (например, «20% клиентов приносят 80% дохода») является проявлением жирного распределения, лежащего в основе данных. ^{[ 8 ]}

«Толстые хвосты» также наблюдаются на товарных рынках или в индустрии звукозаписи , особенно на фонографических рынках . Функция плотности вероятности для логарифма еженедельных изменений продаж является сильно лептокуртической и характеризуется более узким и большим максимумом, а также более толстым хвостом, чем в случае нормального распределения. С другой стороны, у этого распределения есть только один «жирный хвост», связанный с увеличением продаж за счет раскрутки новых пластинок, попадающих в чарты. ^{[ 9 ]}

См. также

Ссылки

^ Бахат; Рабинович; Фрид (2005). Разрушение при растяжении в горных породах . Спрингер.
^ Томас, Микош (1999). Субэкспоненциальность регулярных вариаций и их приложения в теории вероятностей (PDF) . eurandom.tue.nl (Отчет). Центр практикумов в области стохастики, кафедра математики и информатики. Эйндховен, Нидерланды: Технологический университет Эйндховена .
^ Талеб, Н.Н. (2007). Черный лебедь . Рэндом Хаус и Пингвин. ISBN 9781400063512 .
^ Мандельброт, Б. (1997). Фракталы и масштабирование в финансах: разрывы, концентрация, риск . Спрингер.
^ Мандельброт, Б. (1963). «Изменение некоторых спекулятивных цен» (PDF) . Журнал бизнеса . 36 (4): 394. дои : 10.1086/294632 .
^ Стивен Р. Данбар, Ограничения модели Блэка-Шоулза, случайные процессы и продвинутые математические финансы, 2009 г. http://www.math.unl.edu/~sdunbar1/MathematicalFinance/Lessons/BlackScholes/Limitations/limitations.xml . Архивировано в 2014 г. - 01-26 в Wayback Machine
^ Дэш, Ян В. (2004). Количественные финансы и управление рисками: подход физика . Мировой научный паб.
^ Кох, Ричард, 1950- (2008). Принцип 80/20: секрет достижения большего с меньшими затратами (Пересмотренное и обновленное изд.). Нью-Йорк: Даблдей. ISBN 9780385528313 . OCLC 429075591 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
^ Буда, А. (2012). «Существует ли поп-музыка? Иерархическая структура на фонографических рынках». Физика А. 391 (21): 5153–5159. дои : 10.1016/j.physa.2012.05.057 .

Внешние ссылки

[1] Бахат; Рабинович; Фрид (2005). Разрушение при растяжении в горных породах . Спрингер.

[Proposition_1.3.2-2] Томас, Микош (1999). Субэкспоненциальность регулярных вариаций и их приложения в теории вероятностей (PDF) . eurandom.tue.nl (Отчет). Центр практикумов в области стохастики, кафедра математики и информатики. Эйндховен, Нидерланды: Технологический университет Эйндховена .

[test-3] Талеб, Н.Н. (2007). Черный лебедь . Рэндом Хаус и Пингвин. ISBN 9781400063512 .

[4] Мандельброт, Б. (1997). Фракталы и масштабирование в финансах: разрывы, концентрация, риск . Спрингер.

[5] Мандельброт, Б. (1963). «Изменение некоторых спекулятивных цен» (PDF) . Журнал бизнеса . 36 (4): 394. дои : 10.1086/294632 .

[6] Стивен Р. Данбар, Ограничения модели Блэка-Шоулза, случайные процессы и продвинутые математические финансы, 2009 г. http://www.math.unl.edu/~sdunbar1/MathematicalFinance/Lessons/BlackScholes/Limitations/limitations.xml . Архивировано в 2014 г. - 01-26 в Wayback Machine

[7] Дэш, Ян В. (2004). Количественные финансы и управление рисками: подход физика . Мировой научный паб.

[8] Кох, Ричард, 1950- (2008). Принцип 80/20: секрет достижения большего с меньшими затратами (Пересмотренное и обновленное изд.). Нью-Йорк: Даблдей. ISBN 9780385528313 . OCLC 429075591 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[9] Буда, А. (2012). «Существует ли поп-музыка? Иерархическая структура на фонографических рынках». Физика А. 391 (21): 5153–5159. дои : 10.1016/j.physa.2012.05.057 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]