объект Хопфа

В разделе математики, называемом категорий , хопфовым объектом является объект A такой, что любой эпиморфизм A теорией на A обязательно является автоморфизмом . Двойственным понятием является понятие кохопова объекта , который является объектом B таким, что каждый мономорфизм из B в B обязательно является автоморфизмом. Оба условия изучались в категориях групп , колец , модулей и топологических пространств .

Термины «гопфиан» и «кохопфиан» возникли с 1960-х годов и, как говорят, в честь Хайнца Хопфа и его использования концепции группы хопфа в его работе над фундаментальными группами поверхностей. ( Хазевинкель 2001 , стр. 63)

Характеристики

Оба условия можно рассматривать как типы условий конечности в своей категории. Например, если принять теорию множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора и работать с категорией множеств , то хопфовы и кохопфовы объекты представляют собой в точности конечные множества . Отсюда легко видеть, что все конечные группы, конечные модули и конечные кольца хопфовы и кохопфовы в своих категориях.

Хопфовы объекты и кохопфовы объекты имеют элементарное взаимодействие с проективными объектами и инъективными объектами . Два результата:

Инъективный хопфовский объект является кохопфовым.
Проективный кохоповский объект является хопфовым.

Доказательство первого утверждения короткое: пусть A инъективный хопфиан объект, и пусть f — инъективный морфизм из A в A. — По инъективности f факторизуется через тождественное отображение I _A на A , давая морфизм g такой, что gf = I _A . В результате g является сюръективным морфизмом и, следовательно, автоморфизмом, и тогда f обязательно является обратным автоморфизмом к g . Это доказательство можно дуализировать для доказательства второго утверждения.

Гопфовы и кохопфовы группы

Хопфовы и кохопфовы модули

Вот несколько основных результатов в категории модулей. Особенно важно помнить, что R _R, являющийся хопфовым или кохоповым как модуль, отличается от того, чтобы R был хопфовым или кохоповым как кольцо.

Нётеров модуль является хопфовым, а артинов модуль кохоповым.
Модуль R _R является хопфовым тогда и только тогда, когда R — прямо конечное кольцо . Симметрично эти два также эквивалентны тому, что модуль _R R является хопфовым.
В отличие от вышеизложенного, модули R _R или _R R могут быть кохоповыми или нет в любой комбинации. Пример кольцевого кохопфа с одной стороны, но не с другой стороны, был приведен в ( Варадараджан, 1992 ). Однако, если любой из этих двух модулей кохопов, R является хопфовым с обеих сторон (поскольку R проективен как левый или правый модуль) и непосредственно конечен.

Хопфовы и Кохопфовы кольца

Ситуация в категории колец существенно отличается от категории модулей. Морфизмы в категории колец с единицей необходимы для сохранения идентичности, то есть перевода 1 в 1.

Если R удовлетворяет условию возрастающей цепочки идеалов, то R хоппов. Это можно доказать по аналогии с фактом для нётеровых модулей. Однако идея-аналог для «кохопфиана» не существует, поскольку если f — кольцевой гомоморфизм из R в R, идентичность, и образ f не является R , то этот образ определенно не является идеалом R. сохраняющий В любом случае это показывает, что одностороннее нётерово или артиново кольцо всегда является хопфовым.
Любое простое кольцо хоппово, поскольку ядром любого эндоморфизма является идеал, который в простом кольце обязательно равен нулю. Напротив, в ( Варадараджан 1992 ) был приведен пример некохопова поля .
Полное линейное кольцо End _D (V) счетномерного векторного пространства является хопфовым кольцом, которое не является хопфовым как модуль, поскольку оно имеет только три идеала, но не является непосредственно конечным. В статье ( Варадараджан, 1992 ) также приводится пример кохопова кольца, которое не является когоповым как модуль.
Также в ( Варадараджан, 1992 ) показано, что для булевого кольца R и связанного с ним пространства Стоуна X кольцо R является хопфовым в категории колец тогда и только тогда, когда X когопово в категории топологических пространств, R а кохопфовым как кольцо тогда и только тогда, когда X хоппово как топологическое пространство.

Топологические пространства Хопфа и Кохопфа.

В ( Варадараджан, 1992 ) включен ряд результатов о компактных многообразиях. Во-первых, единственные компактные многообразия , которые являются хопфовыми, — это конечные дискретные пространства . Во-вторых, компактные многообразия без края всегда кохопвы. Наконец, компактные многообразия с непустым краем не являются кохопфовыми.

Ссылки

Баумслаг, Гилберт (1963), «Хопфити и абелевы группы», Темы в абелевых группах (Proc. Sympos., Университет штата Нью-Мексико, 1962) , Чикаго, Иллинойс: Скотт, Форесман и компания, стр. 331–335. , МР 0169896
Хазевинкель, М., изд. (2001), Математическая энциклопедия. Добавка. Том. III , Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. viii+557, ISBN 1-4020-0198-3 , г-н 1935796
Варадараджан, К. (1992), «Хопфовы и ко-хопфовы объекты» , Mathematical Publications , 36 (1): 293–317, doi : 10.5565/PUBLMAT_36192_21 , ISSN 0214-1493 , MR 1179618
Варадараджан, К. (2001), «Некоторые недавние результаты в области хопфичности, кохопфичности и связанных с ними свойств», Международный симпозиум по теории колец , Trends Math., Birkhäuser Boston, стр. 371–392, MR 1851216

Внешние ссылки