Теория множеств Аккермана

В математике и логике ( теория множеств Аккермана AST, также известная как $A^{*}/V$ ^[1]) — аксиоматическая теория множеств, предложенная Вильгельмом Аккерманом в 1956 году. ^[2]

AST отличается от теории множеств Цермело-Френкеля (ZF) тем, что допускает собственные классы , то есть объекты, которые не являются множествами, включая класс всех множеств.Он заменяет некоторые стандартные аксиомы ZF для построения новых множеств принципом, известным как схема Аккермана. Интуитивно понятно, что схема позволяет построить новый набор, если его можно определить с помощью формулы, которая не относится к классу всех наборов.В использовании классов AST отличается от других альтернативных теорий множеств, таких как теория множеств Морса–Келли и теория множеств Фон Неймана–Бернейса–Гёделя, тем, что класс может быть элементом другого класса.

Уильям Н. Рейнхардт установил в 1970 году, что AST фактически эквивалентен ZF по силе, поставив его на равные основания. В частности, AST непротиворечив тогда и только тогда, когда ZF непротиворечив.

Предварительные сведения

AST сформулирован в логике первого порядка . Язык $L_{\{\in ,V\}}$ AST содержит одно бинарное отношение $\in$ обозначающий членство в множестве и одну константу $V$ обозначающий класс всех множеств . Акерманн использовал предикат $M$ вместо $V$ ; это эквивалентно каждому из $M$ и $V$ можно определить с точки зрения другого. ^[3]

Мы будем обращаться к элементам $V$ как множества , а общие объекты как классы . Класс, не являющийся множеством, называется собственным классом.

Аксиомы

Следующая формулировка принадлежит Рейнхардту. ^[4]Пять аксиом включают две схемы аксиом .Первоначальная формулировка Аккермана включала только первые четыре из них, опуская аксиому регулярности . ^[5]^[6]^[7]^{[примечание 1]}

1. Аксиома экстенсиональности

Если два класса имеют одинаковые элементы, то они равны.

\forall x\;(x\in A\leftrightarrow x\in B)\to A=B.

Эта аксиома идентична аксиоме экстенсиональности, встречающейся во многих других теориях множеств, включая ZF.

2. Наследственность

Любой элемент или подмножество множества является множеством.

(x\in y\lor x\subseteq y)\land y\in V\to x\in V.

3. Схема понимания

Для любого свойства мы можем сформировать класс множеств, удовлетворяющих этому свойству. Формально для любой формулы $\phi$ где $X$ не бесплатно :

\exists X\;\forall x\;(x\in X\leftrightarrow x\in V\land \phi ).

То есть единственным ограничением является то, что понимание ограничивается объектами в $V$ . Но результирующий объект не обязательно является множеством.

4. Схема Аккермана.

Для любой формулы $\phi$ со свободными переменными $a_{1},\ldots ,a_{n},x$ и никаких явлений $V$ :

a_{1},\ldots ,a_{n}\in V\land \forall x\;(\phi \to x\in V)\to \exists X{\in }V\;\forall x\;(x\in X\leftrightarrow \phi ).

Схема Аккермана — это форма понимания множеств, уникальная для AST. Он позволяет создать новый набор (а не просто класс), если мы можем определить его с помощью свойства, не ссылающегося на символ $V$ . Это принцип, который заменяет аксиомы ZF, такие как спаривание, объединение и степенной набор.

5. Регулярность

Любое непустое множество содержит непересекающийся сам с собой элемент:

\forall x\in V\;(x=\varnothing \lor \exists y(y\in x\land y\cap x=\varnothing )).

Здесь, $y\cap x=\varnothing$ это сокращение от $\not \exists z\;(z\in x\land z\in y)$ . Эта аксиома идентична аксиоме регулярности в ZF.

Эта аксиома консервативна в том смысле, что без нее мы можем просто использовать понимание (схема аксиом 3), чтобы ограничить наше внимание подклассом регулярных множеств. ^[4]

Альтернативные составы

Первоначальные аксиомы Аккермана не включали регулярность и использовали символ-предикат. $M$ вместо постоянного символа $V$ . ^[2] Мы следуем Леви и Рейнхардту в замене случаев $Mx$ с $x\in V$ . Это эквивалентно, потому что $M$ можно дать определение как $x\in V$ , и наоборот, множество $V$ можно получить в оригинальной формулировке Аккермана, применив понимание к предикату $\phi ={\text{True}}$ . ^[3]

В аксиоматической теории множеств Ральф Шиндлер заменяет схему Аккермана (схема аксиом 4) следующим принципом отражения :для любой формулы $\phi$ со свободными переменными $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ,

a_{1},\ldots ,a_{n}{\in }V\to (\phi \leftrightarrow \phi ^{V}).

Здесь, $\phi ^{V}$ обозначает релятивизацию $\phi$ к $V$ , который заменяет все кванторы в $\phi$ формы $\forall x$ и $\exists x$ к $\forall x{\in }V$ и $\exists x{\in }V$ , соответственно. ^[8]

Связь с теорией множеств Цермело – Френкеля

Позволять $L_{\{\in \}}$ быть языком формул, в которых не упоминается $V$ .

В 1959 году Азриэль Леви доказал, что если $\phi$ представляет собой формулу $L_{\{\in \}}$ и АСТ доказывает $\phi ^{V}$ , то ZF доказывает $\phi$ . ^[3]

В 1970 году Уильям Н. Рейнхардт доказал, что если $\phi$ представляет собой формулу $L_{\{\in \}}$ и ZF доказывает $\phi$ , то AST доказывает $\phi ^{V}$ . ^[4]

Следовательно, AST и ZF взаимно интерпретируются как консервативные расширения друг друга. Таким образом, они равносогласованы .

Примечательной особенностью AST является то, что, в отличие от NBG и его вариантов, собственный класс может быть элементом другого собственного класса. ^[7]

Расширения

Расширение AST для теории категорий под названием ARC было разработано Ф. А. Мюллером. Мюллер заявил, что ARC «основывает канторовскую теорию множеств, а также теорию категорий и, следовательно, может считаться основополагающей теорией всей математики». ^[9]

См. также

Примечания

^ Рейнхардт использует A для обозначения исходных четырех аксиом и A* для всех пяти.

Ссылки

^ А. Леви, Иерархия формул в теории множеств (1974), стр.69. Мемуары Американского математического общества нет. 57
^ Jump up to: ^а ^б Акерманн, Вильгельм (август 1956 г.). «Об аксиоматике теории множеств» . Математические летописи . 131 (4): 336–345. дои : 10.1007/BF01350103 . S2CID 120876778 . Проверено 9 сентября 2022 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Леви, Азриэль (июнь 1959 г.). «О теории множеств Аккермана» . Журнал символической логики . 24 (2): 154–166. дои : 10.2307/2964757 . JSTOR 2964757 . S2CID 31382168 . Проверено 9 сентября 2022 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Рейнхардт, Уильям Н. (октябрь 1970 г.). «Теория множеств Аккермана равна ZF». Анналы математической логики . 2 (2): 189–249. дои : 10.1016/0003-4843(70)90011-2 .
^ Канамори, Акихиро (июль 2006 г.). «Леви и теория множеств». Анналы чистой и прикладной логики . 140 (1): 233–252. дои : 10.1016/j.apal.2005.09.009 .
^ Холмс, М. Рэндалл (21 сентября 2021 г.). «Альтернативные аксиоматические теории множеств» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 8 сентября 2022 г.
^ Jump up to: ^а ^б Френкель, Авраам А .; Бар-Хилель, Иегошуа ; Леви, Азриэль (1 декабря 1973 г.). «7.7. Система Аккермана». Основы теории множеств . Исследования по логике и основам математики. Том. 67. стр. 148–153. ISBN 9780080887050 .
^ Шиндлер, Ральф (23 мая 2014 г.). «Глава 2: Аксиоматическая теория множеств». Теория множеств: исследование независимости и истины . Спрингер, Чам. стр. 20–21. дои : 10.1007/978-3-319-06725-4_2 . ISBN 978-3-319-06724-7 .
^ Мюллер, ФА (сентябрь 2001 г.). «Наборы, классы и категории» . Британский журнал философии науки . 52 (3): 539–573. дои : 10.1093/bjps/52.3.539 . JSTOR 3541928 . Проверено 9 сентября 2022 г.

[8] Рейнхардт использует A для обозначения исходных четырех аксиом и A* для всех пяти.

[1] А. Леви, Иерархия формул в теории множеств (1974), стр.69. Мемуары Американского математического общества нет. 57

[AckermannOriginal-2] Jump up to: ^а ^б Акерманн, Вильгельм (август 1956 г.). «Об аксиоматике теории множеств» . Математические летописи . 131 (4): 336–345. дои : 10.1007/BF01350103 . S2CID 120876778 . Проверено 9 сентября 2022 г.

[Levy1959-3] Jump up to: ^а ^б ^с Леви, Азриэль (июнь 1959 г.). «О теории множеств Аккермана» . Журнал символической логики . 24 (2): 154–166. дои : 10.2307/2964757 . JSTOR 2964757 . S2CID 31382168 . Проверено 9 сентября 2022 г.

[Reinhardt1970-4] Jump up to: ^а ^б ^с Рейнхардт, Уильям Н. (октябрь 1970 г.). «Теория множеств Аккермана равна ZF». Анналы математической логики . 2 (2): 189–249. дои : 10.1016/0003-4843(70)90011-2 .

[5] Канамори, Акихиро (июль 2006 г.). «Леви и теория множеств». Анналы чистой и прикладной логики . 140 (1): 233–252. дои : 10.1016/j.apal.2005.09.009 .

[6] Холмс, М. Рэндалл (21 сентября 2021 г.). «Альтернативные аксиоматические теории множеств» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 8 сентября 2022 г.

[Fraenkel-7] Jump up to: ^а ^б Френкель, Авраам А .; Бар-Хилель, Иегошуа ; Леви, Азриэль (1 декабря 1973 г.). «7.7. Система Аккермана». Основы теории множеств . Исследования по логике и основам математики. Том. 67. стр. 148–153. ISBN 9780080887050 .

[9] Шиндлер, Ральф (23 мая 2014 г.). «Глава 2: Аксиоматическая теория множеств». Теория множеств: исследование независимости и истины . Спрингер, Чам. стр. 20–21. дои : 10.1007/978-3-319-06725-4_2 . ISBN 978-3-319-06724-7 .

[10] Мюллер, ФА (сентябрь 2001 г.). «Наборы, классы и категории» . Британский журнал философии науки . 52 (3): 539–573. дои : 10.1093/bjps/52.3.539 . JSTOR 3541928 . Проверено 9 сентября 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[примечание 1]

[8]

[9]