Критическое состояние механики грунтов

Обычно консолидированный грунт переходит в критическое состояние по траектории напряжения на поверхности Роско.

Механика грунтов критического состояния — это область механики грунтов , которая включает концептуальные модели, представляющие механическое поведение насыщенных переформованных грунтов, основанное на концепции критического состояния . В критическом состоянии соотношение между силами, приложенными в грунте ( напряжением ), и возникающей в результате этого напряжения деформацией ( деформацией ) становится постоянным. Почва продолжит деформироваться, но напряжение уже не будет увеличиваться.

Силы применяются к почвам разными способами, например, когда они нагружаются фундаментом или разгружаются при раскопках . Концепция критического состояния используется для прогнозирования поведения грунтов при различных условиях нагрузки, а инженеры-геотехники используют модель критического состояния для оценки того, как грунт будет вести себя при различных нагрузках.

Основная концепция заключается в том, что почва и другие сыпучие материалы, если их постоянно деформировать до тех пор, пока они не начнут течь как фрикционная жидкость, придут в четко определенное критическое состояние. С практической точки зрения критическое состояние можно рассматривать как состояние разрушения грунта. Это точка, в которой почва не может выдерживать дополнительную нагрузку, не подвергаясь постоянной деформации, аналогично поведению жидкостей .

Определенные свойства почвы, такие как пористость , прочность на сдвиг и объем, достигают характерных значений. Эти свойства присущи типу почвы и ее начальным условиям.

Формулировка

Концепция критического состояния представляет собой идеализацию наблюдаемого поведения насыщенных переформованных глин в испытаниях на трехосное сжатие , и предполагается, что она применима к ненарушенным грунтам. В нем говорится, что грунты и другие сыпучие материалы, если их постоянно деформировать (сдвигать), пока они не начнут течь как жидкость трения, придут в четко определенное критическое состояние. При наступлении критического состояния сдвиговые искажения $\ \varepsilon _{s}$ происходят без каких-либо дальнейших изменений среднего эффективного напряжения $\ p'$, девиаторное напряжение $\ q$ (или предел текучести, $\ \sigma _{y}$, при одноосном растяжении по критерию текучести Мизеса ), или удельный объем $\ \nu$:

$\ {\frac {\partial p'}{\partial \varepsilon _{s}}}={\frac {\partial q}{\partial \varepsilon _{s}}}={\frac {\partial \nu }{\partial \varepsilon _{s}}}=0$

где,

$\ \nu =1+e$

$\ p'={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}'+\sigma _{2}'+\sigma _{3}')$

$\ q={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}'-\sigma _{2}')^{2}+(\sigma _{2}'-\sigma _{3}')^{2}+(\sigma _{1}'-\sigma _{3}')^{2}}{2}}}$

Однако для трехосных условий $\ \sigma _{2}'=\sigma _{3}'$. Таким образом,

$\ p'={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}'+2\sigma _{3}')$

$\ q=(\sigma _{1}'-\sigma _{3}')$

Все критические состояния для данной почвы образуют уникальную линию, называемую линией критического состояния ( CSL ), определяемую следующими уравнениями в пространстве: $\ (p',q,v)$:

$\ q=Mp'$

$\ \nu =\Gamma -\lambda \ln(p')$

где $\ M$, $\ \Gamma$, и $\ \lambda$ являются почвенными константами. Первое уравнение определяет величину девиаторного напряжения $\ q$ необходимо для поддержания непрерывного течения почвы как произведения постоянной трения $\ M$ (капитал $\ \mu$) и среднее эффективное напряжение $\ p'$. Второе уравнение гласит, что удельный объем $\ \nu$ занимаемая единицей объема сыпучих частиц, будет уменьшаться по мере увеличения логарифма среднего эффективного напряжения.

История

Пытаясь усовершенствовать тестирования почвы методы , Кеннет Гарри Роско из Кембриджского университета в конце сороковых и начале пятидесятых годов разработал простой прибор для сдвига, с помощью которого его последующие ученики пытались изучать изменения условий в зоне сдвига как в песке, так и в глинистые почвы. В 1958 году исследование текучести почвы, основанное на некоторых Кембриджских данных испытаний простого аппарата сдвига, а также на гораздо более обширных данных трехосных испытаний в Имперском колледже Лондона, полученных в результате исследований под руководством профессора сэра Алека Скемптона в Имперском колледже , привело к публикации. концепции критического государства ( Роско, Шофилд и Рот, 1958 ).

Роско получил степень бакалавра в области машиностроения. и его опыт попыток проложить туннели для побега, когда нацисты удерживали его в плену во время Второй мировой войны, познакомил его с механикой почвы. После этой статьи 1958 года концепции пластичности были представлены Шофилдом и опубликованы в его учебнике. Шофилда преподавал в Кембридже профессор Джон Бейкер , инженер-строитель, который твердо верил в проектирование структур, которые разрушались бы «пластически». Теории профессора Бейкера сильно повлияли на взгляды Шофилда на сдвиг почвы. Взгляды профессора Бейкера были развиты на основе его довоенной работы над стальными конструкциями и дополнены его военным опытом оценки поврежденных взрывом конструкций, а также проектом «Моррисонского убежища», бомбоубежища, которое можно было разместить в помещении ( Шофилд 2006 ).

Оригинальная модель Cam-Clay

Название «кулачковая глина» утверждает, что пластическое изменение объема, типичное для поведения глинистой почвы, происходит из-за механической стабильности агрегата мелких, грубых, фрикционных, сцепленных между собой твердых частиц. Оригинальная модель Cam-Clay основана на предположении, что грунт изотропен, упругопластичен, деформируется как сплошная среда и не подвержен ползучести. Поверхность текучести модели глины Cam описывается уравнением

$f(p,q,p_{c})=q+M\,p\,\ln \left[{\frac {p}{p_{c}}}\right]\leq 0$

где $q$ эквивалентное напряжение, $p$ это давление, $p_{c}$ - давление предварительной консолидации, и $M$ – наклон линии критического состояния в $p-q$ космос.

Давление предварительного уплотнения меняется в зависимости от коэффициента пустот ( $e$) (и, следовательно, удельный объем $v$) изменений почвы. Обычно используемое соотношение

$e=e_{0}-\lambda \ln \left[{\frac {p_{c}}{p_{c0}}}\right]$

где $\lambda$ – показатель первичного сжатия грунта. Ограничением этой модели является возможность отрицательных удельных объемов при реалистичных значениях напряжения.

Улучшение вышеупомянутой модели для $p_{c}$ это билогарифмическая форма

$\ln \left[{\frac {1+e}{1+e_{0}}}\right]=\ln \left[{\frac {v}{v_{0}}}\right]=-{\tilde {\lambda }}\ln \left[{\frac {p_{c}}{p_{c0}}}\right]$

где ${\tilde {\lambda }}$ – соответствующий показатель сжимаемости грунта.

Поверхность текучести Cam-глины в пространстве pq.

Поверхность текучести каменной глины в пространстве главных напряжений.

Модифицированная модель Cam-Clay

Профессору Джону Берланду из Имперского колледжа , который работал с профессором Роско, приписывают разработку модифицированной версии оригинальной модели. Разница между Cam Clay и модифицированной Cam Clay (MCC) заключается в том, что поверхность текучести MCC описывается эллипсом и, следовательно, вектор приращения пластической деформации (который перпендикулярен поверхности текучести) для наибольшего значения среднего эффективного напряжения горизонтален, и, следовательно, приращения девиаторной пластичности нет. деформация имеет место при изменении среднего эффективного напряжения (для чисто гидростатических состояний напряжения). Это очень удобно для конструктивного моделирования в численном анализе, особенно в анализе методом конечных элементов , где важны вопросы численной стабильности (поскольку кривая должна быть непрерывной, чтобы ее можно было дифференцировать).

Поверхность текучести модифицированной модели Кам-глины имеет вид

$f(p,q,p_{c})=\left[{\frac {q}{M}}\right]^{2}+p\,(p-p_{c})\leq 0$

где $p$ это давление, $q$ эквивалентное напряжение, $p_{c}$ - давление предварительной консолидации, и $M$ – наклон линии критического состояния.

Модифицированная поверхность текучести Cam-глины в пространстве pq.

Модифицированная поверхность текучести кам-глины в пространстве главных напряжений.

Критика

Основные концепции упругопластического подхода были впервые предложены двумя математиками Дэниелом К. Друкером и Уильямом Прагером (Drucker and Prager, 1952) в короткой восьмистраничной заметке. В своей заметке Друкер и Прагер также продемонстрировали, как использовать свой подход для расчета критической высоты вертикального крена, используя плоскую или бревенчатую спиральную поверхность разрушения. Их критерий доходности сегодня называется критерием доходности Друкера-Прагера . Их подход впоследствии был расширен Кеннетом Х. Роско и другими сотрудниками факультета механики грунтов Кембриджского университета.

Критическое состояние и упругопластическая механика грунтов подвергались критике с момента их первого появления. Ключевым фактором, вызывающим критику, является, прежде всего, неявное предположение о том, что почвы состоят из изотропных точечных частиц. Реальные почвы состоят из частиц конечного размера с анизотропными свойствами, которые сильно определяют наблюдаемое поведение. Следовательно, модели, основанные на теории пластичности металлов, не способны моделировать поведение грунтов, которое является результатом анизотропных свойств частиц, одним из примеров которых является падение прочности на сдвиг после пиковой прочности, т.е. поведение размягчения деформации. Из-за этого упругопластические модели грунта способны моделировать только «простые кривые напряжения-деформации», например, для изотропных нормально или слегка консолидированных «жирных» глин, т.е. почвы типа CL-ML, состоящие из очень мелкозернистых частиц.

Кроме того, в целом изменение объема определяется соображениями эластичности, и это предположение в значительной степени неверно для реальных почв, что приводит к очень плохому согласованию этих моделей с изменениями объема или изменениями порового давления. Кроме того, упругопластические модели описывают весь элемент в целом, а не конкретно условия непосредственно на плоскости разрушения, вследствие чего они не моделируют кривую напряжения-деформации после разрушения, особенно для грунтов, демонстрирующих деформационное размягчение после разрушения. пик. Наконец, большинство моделей разделяют эффекты гидростатического напряжения и напряжения сдвига , при этом предполагается, что каждая из них вызывает только изменение объема и изменение сдвига соответственно. В действительности структура почвы, аналогичная «карточному домику», демонстрирует как деформации сдвига при приложении чистого сжатия, так и изменения объема при приложении чистого сдвига.

Дополнительная критика заключается в том, что теория является «только описательной», т.е. описывает только известное поведение и не имеет возможности объяснить или предсказать стандартное поведение грунта, например, почему коэффициент пустотности в одномерном испытании на сжатие изменяется линейно с логарифмом вертикальное эффективное напряжение. Такое поведение механика критического состояния грунтов просто принимает как данность.

По этим причинам механика критического состояния и упругопластическая механика грунтов подвергались обвинениям в схоластике; тесты, демонстрирующие его достоверность, обычно представляют собой «тесты на конформацию», в которых показано, что только простые кривые растяжения-деформации моделируются удовлетворительно. Критическое состояние и концепции, окружающие его, имеют долгую историю «схоластичности», причем сэр Алек Скемптон, «отец-основатель» британской механики грунтов, приписал схоластическую природу CSSM Роско, о котором он сказал: «… он мало работал на местах и, насколько мне известно, никогда не занимался практической инженерной работой». ...В 1960-х и 1970-х годах профессор Алан Бишоп из Имперского колледжа регулярно демонстрировал неспособность этих теорий соответствовать кривым напряжения-деформации реальных почв. Джозеф (2013) предположил, что механика критического состояния и упругопластическая механика грунта соответствуют критерию «вырожденной исследовательской программы» — концепции, предложенной философом науки Имре Лакатосом для теорий, в которых оправдания используются для оправдания неспособности теории соответствовать эмпирическим данным.

Ответ

Утверждения о том, что критическое состояние механики грунтов носит лишь описательный характер и соответствует критерию вырожденной исследовательской программы, не были подтверждены. Эндрю Дженике использовал логарифмически-логарифмическое соотношение для описания испытания на сжатие в своей теории критического состояния и допустил уменьшение напряжения во время сходящегося потока и увеличение напряжения во время расширяющегося потока. Крис Сальвински определил критическое состояние как многофазное состояние, при котором удельный объем одинаков как в твердой, так и в жидкой фазе. По его определению, линейно-логарифмическое соотношение исходной теории и логарифмически-логарифмическое соотношение Йенике являются частными случаями более общего физического явления.

Формулировки тензора напряжений

Плоское напряжение

Плоское деформированное состояние стресса

$\sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&0&\tau _{xz}\\0&0&0\\\tau _{zx}&0&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]$

Осушенные условия

Плоское деформированное состояние стресса

Разделение матрицы плоскодеформированного напряженного состояния на дисторсионную и объемную части : $\sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&0&\tau _{xz}\\0&0&0\\\tau _{zx}&0&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]$

$\sigma _{hydrostatic}=p_{mean}={\frac {\sigma _{xx}+\sigma _{zz}}{2}}$

После $\delta \sigma _{z}$ загрузка

$\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\sigma _{z}\ \\\end{matrix}}\right]$

Осушенное состояние стресса

$\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]$ $+\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\mathbf {\delta z} \ \\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]$ $+\left[{\begin{matrix}{\frac {-{\delta p}_{w}}{2}}\ &0\\0&\sigma _{z}-{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}\ \\\end{matrix}}\right]$ $+\left[{\begin{matrix}{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}&0\\0&{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}\ \\\end{matrix}}\right]$

Осушенное плоскодеформированное состояние

для дренированного плоскодеформированного состояния

$\varepsilon _{z}={\frac {\Delta h}{h_{0}}}$; $\ \varepsilon _{x}=\varepsilon _{y}=0$

$\varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}(\sigma _{z}-\nu )(\sigma _{x}+\sigma _{z})={\frac {1}{E}}\sigma _{z}(1-2\nu \varepsilon )$; $\varepsilon ={\frac {\nu }{1-\nu }};\ \nu ={\frac {\varepsilon }{1+\varepsilon }}$

По матрице:

$\varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}(1-2\nu \varepsilon )\ \left[\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]\right]$;

Недренированные условия

Неослабленное состояние стресса

$\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+$ $\left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\delta \sigma _{z}\ \\\end{matrix}}\right]=$

$=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+$ $\left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]$ $+\ \ \left[{\begin{matrix}-{p}_{w}\ /\mathbf {2} &0\\0&\sigma _{z}-{p}_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\delta p_{w}/2&0\\0&\delta p_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]=$

$=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+$ $\left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]$ $+\ \ \left[{\begin{matrix}-{p}_{w}\ /\mathbf {2} &0\\0&\sigma _{z}-{p}_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\delta p_{w}/2&0\\0&\delta p_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+$ $\left[{\begin{matrix}0&\tau _{xz}\\{\tau }_{zx}&0\\\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}0&{\delta p}_{w,int}\\{\delta p}_{w,int}&0\\\end{matrix}}\right]$

Недренированное состояние плоского напряженного состояния

$\varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}\left(1-2\nu \varepsilon \right)=$

$=\left[\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&\delta \tau _{xz}\\{\delta \tau }_{zx}&0\\\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}0&{\delta p}_{w,int}\\{\delta p}_{w,int}&0\\\end{matrix}}\right]\right]=$

$={\frac {1}{E}}\left(1-2\nu \varepsilon \right)\left[\rho _{u}+\rho _{w}+p\right]$

$\rho _{u}=K_{u}\Delta \varepsilon _{z};\ \ \rho _{w}={\frac {K_{w}}{n}}\Delta \varepsilon _{z};\ \ \rho _{=}K_{\Delta }\varepsilon _{z};$

Трехосное состояние стресса

Трехосное состояние стресса

Матрица разделения на дисторсионную и объемную части :

$\sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}&0&0\\0&\sigma _{r}&0\\0&0&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]$

Недренированное состояние трехосного напряжения

$\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]$$+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]$

$+\left[{\begin{matrix}-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){p}_{w}&0&0\\0&-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){(p}_{w}&0\\0&0&(\sigma _{z}-{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)\ast \ p}_{w}\\\end{matrix}}\right]$$-\ \ \left[{\begin{matrix}{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0&0\\0&{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0\\0&0&\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p_{w}\\\end{matrix}}\right]+$

$\left[{\begin{matrix}0&0&{\delta \tau _{xz}}\\0&0&0\\\delta {\tau }_{\delta {zx}}&0&0\\\end{matrix}}\right]$ $+\left[{\begin{matrix}{\delta p_{w,int}}&0&0\\0&{\delta p_{w,int}}&0\\0&0&{\delta p_{w,int}}\\\end{matrix}}\right]+$ $\left[{\begin{matrix}{-\delta p_{w,int}}&0&0\\0&{-\delta p_{w,int}}&0\\0&0&{-\delta p_{w,int}}\\\end{matrix}}\right]+$ $\left[{\begin{matrix}0&0&{-\delta \tau _{xz}}\\0&0&0\\-\delta {\tau }_{\delta {zx}}&0&0\\\end{matrix}}\right]$

Дренажное состояние трехосного напряжения

Только объемный в случае дренажа:

$\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]$$+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]$

$+\left[{\begin{matrix}-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){p}_{w}&0&0\\0&-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){(p}_{w}&0\\0&0&(\sigma _{z}-{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)\ast \ p}_{w}\\\end{matrix}}\right]$$-\ \ \left[{\begin{matrix}{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0&0\\0&{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0\\0&0&\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p_{w}\\\end{matrix}}\right]+$

Пример решения в матричной форме

Следующие данные были получены в результате обычного испытания на трехосное сжатие насыщенной (В=1), нормально консолидированной простой глины (Ladd, 1964). Давление в ячейке поддерживалось постоянным на уровне 10 кПа, а осевое напряжение увеличивалось до разрушения (испытание на осевое сжатие). .

Шаг	/e осевой	$\delta$п	$\delta$ в
0	0	0	0
1	1	3,5	1,9
2	2	4,5	2,8
3	4	5,2	3,5
4	6	5,4	3,9
5	8	5,6	4,1
6	10	5,7	4,3
7	12	5,8	4,4

Начальная фаза: $\sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}&0&0\\0&\sigma _{r}&0\\0&0&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]$

Шаг первый: $\sigma _{1}=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]+\mathbf {\sigma } =\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&0&3.5\\0&-1&0\\\end{matrix}}\right]$ $\left[{\begin{matrix}1-1.9&0&0\\0&10-1.9&3.5\\0&-1\ &10-1.9\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}1.9&0&0\\0&1.9&0\\0&0&1.9\\\end{matrix}}\right]$

Шаг 2–9 аналогичен первому.

Шаг седьмой: $\sigma _{7}=\left[{\begin{matrix}12-4.4\ \ \ &0&0\\0&10-4.4&2.9\\0&-2\ &10-4.4\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}4.4&0&0\\0&4.4&0\\0&0&4.4\\\end{matrix}}\right]$

Ссылки

• Роско, КХ; Шофилд, Ан; Рот, К. П. (1958), «Об текучести почв», Geotechnique , vol. 8, стр. 22–53, doi : 10.1680/geot.1958.8.1.22
• Шофилд, Ан; Рот, К.П. (1968), Механика грунтов в критическом состоянии , McGraw-Hill, стр. 310, ISBN  978-0641940484
• Шофилд, А.Н. (2006), Нарушенные свойства почвы и геотехническое проектирование , Томас Телфорд, с. 216, ISBN  978-0727729828