Формула предела Кронекера

В математике классическая предельная формула Кронекера описывает постоянный член при s = 1 вещественного аналитического ряда Эйзенштейна (или дзета-функции Эпштейна ) в терминах эта-функции Дедекинда . Существует множество его обобщений на более сложные ряды Эйзенштейна. Он назван в честь Леопольда Кронекера .

Первая формула предела Кронекера

(Первая) формула предела Кронекера гласит, что

E(\tau ,s)={\pi  \over s-1}+2\pi (\gamma -\log(2)-\log({\sqrt {y}}|\eta (\tau )|^{2}))+O(s-1),

где

E (τ, s ) — вещественный аналитический ряд Эйзенштейна, определяемый формулой

E(\tau ,s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{y^{s} \over |m\tau +n|^{2s}}

для Re( s ) > 1 и аналитическим продолжением для других значений комплексного числа s .

γ — постоянная Эйлера–Машерони.
τ = x + iy, где y > 0.
$\eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})$ , где q = e ^{2р и кв.} Дедекинда – эта-функция .

Таким образом, ряд Эйзенштейна имеет полюс вычета π в точке s = 1, а (первая) предельная формула Кронекера дает постоянный член ряда Лорана в этом полюсе.

Эта формула имеет интерпретацию в терминах спектральной геометрии эллиптической кривой $E_{\tau }$ связанный с решеткой $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau$ : там говорится, что дзета-регуляризованный определитель оператора Лапласа $\Delta$ связанный с плоской метрикой ${\frac {1}{y}}|dz|^{2}$ на $E_{\tau }$ дается $4y|\eta (\tau )|^{4}$ . Эта формула использовалась в теории струн для однопетлевых вычислений в . пертурбативном подходе Полякова

Вторая формула предела Кронекера

Вторая предельная формула Кронекера гласит, что

E_{u,v}(\tau ,1)=-2\pi \log |f(u-v\tau ;\tau )q^{v^{2}/2}|,

где

u и v являются действительными, а не целыми числами.
q = е ^{2р и кв.} и q ^а = и ^{2π я а τ}
р = е ^{2π я z} и п ^а = и ^{2π и аз}
$E_{u,v}(\tau ,s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}e^{2\pi i(mu+nv)}{y^{s} \over |m\tau +n|^{2s}}$