Инверсионное преобразование

В математической физике инверсионные преобразования являются естественным расширением преобразований Пуанкаре и включают в себя все конформные , взаимно-однозначные преобразования в координатном пространстве-времени . Они менее изучены в физике, поскольку, в отличие от вращений и перемещений симметрии Пуанкаре, объект не может быть физически преобразован с помощью инверсионной симметрии. Некоторые физические теории инвариантны относительно этой симметрии, в этих случаях это так называемая «скрытая симметрия». Другие скрытые симметрии физики включают калибровочную симметрию и общую ковариацию .

Раннее использование

В 1831 году математик Людвиг Иммануил Магнус начал публиковать работы о преобразованиях плоскости, возникающих при инверсии в круге R. радиуса Его работа положила начало большому количеству публикаций, которые теперь называются инверсной геометрией . Самым известным математиком стал Август Фердинанд Мёбиус, когда он свел плоские преобразования к арифметике комплексных чисел . В компании физиков, применявших инверсионное преобразование, вначале был лорд Кельвин , и связь с ним привела к тому, что это преобразование было названо преобразованием Кельвина .

Преобразование по координатам

В дальнейшем мы будем использовать мнимое время ( $t'=it$), так что пространство-время евклидово, а уравнения проще. Преобразования Пуанкаре задаются преобразованием координат в пространстве-времени, параметризованном 4-векторами V

$V_{\mu }^{\prime }=O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\mu }\,$

где $O$ является ортогональной матрицей и $P$ является 4-вектором. Применение этого преобразования дважды к 4-вектору дает третье преобразование той же формы. Основным инвариантом этого преобразования является длина пространства-времени, определяемая расстоянием между двумя точками пространства-времени, заданными 4-векторами x и y :

$r=|x-y|.\,$

Эти преобразования являются подгруппами общих 1-1 конформных преобразований пространства-времени. Эти преобразования можно расширить, включив в них все конформные преобразования 1-1 в пространстве-времени.

$V_{\mu }^{\prime }=\left(A_{\tau }^{\nu }V_{\nu }+B_{\tau }\right)\left(C_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }+D_{\tau \mu }\right)^{-1}.$

Мы также должны иметь условие, эквивалентное условию ортогональности преобразований Пуанкаре:

$AA^{T}+BC=DD^{T}+CB\,$

Потому что можно разделить верх и низ преобразования на $D,$ мы не теряем общности, устанавливая $D$ к единичной матрице. В итоге мы получаем

$V_{\mu }^{\prime }=\left(O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\tau }\right)\left(\delta _{\tau \mu }+Q_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }\right)^{-1}.\,$

Применение этого преобразования дважды к 4-вектору дает преобразование той же формы. Новая симметрия «инверсии» задается 3-тензором $Q.$ Эта симметрия становится симметрией Пуанкаре, если мы положим $Q=0.$ Когда $Q=0$ второе условие требует, чтобы $O$ является ортогональной матрицей. Это преобразование имеет формат 1-1, что означает, что каждая точка отображается в уникальную точку, только если мы теоретически включаем точки, находящиеся на бесконечности.

Инварианты

Инварианты этой симметрии в 4 измерениях неизвестны, однако известно, что для инварианта требуется минимум 4 точки пространства-времени. В одном измерении инвариантом является хорошо известное двойное отношение преобразований Мёбиуса :

${\frac {(x-X)(y-Y)}{(x-Y)(y-X)}}.$

Поскольку единственные инварианты этой симметрии включают минимум 4 точки, эта симметрия не может быть симметрией теории точечных частиц. Теория точечных частиц опирается на знание длин путей частиц в пространстве-времени (например, из $x$ к $y$). Симметрия может быть симметрией теории струн , в которой струны однозначно определяются своими концами. Распространитель точках этой теории для струны, начинающейся в конечных $(x,X)$ и заканчивая конечными точками $(y,Y)$ является конформной функцией 4-мерного инварианта. Струнное поле в теории струн с конечной точкой является функцией над конечными точками.

$\phi (x,X).\,$

Вещественные доказательства

Хотя естественно обобщить преобразования Пуанкаре, чтобы найти скрытые симметрии в физике и таким образом сузить число возможных теорий физики высоких энергий , экспериментально исследовать эту симметрию сложно, так как невозможно преобразовать объект под действием эта симметрия. Косвенным свидетельством этой симметрии является то, насколько точно фундаментальные теории физики, инвариантные относительно этой симметрии, делают предсказания. Другое косвенное свидетельство заключается в том, приводят ли теории, инвариантные относительно этой симметрии, к противоречиям, например, к определению вероятностей больше 1. До сих пор не было прямых доказательств того, что фундаментальными составляющими Вселенной являются струны. Симметрия также может быть нарушенной симметрией, означающей, что, хотя это симметрия физики, Вселенная «застыла» в одном конкретном направлении, поэтому эта симметрия больше не очевидна.

См. также

• Группа ротации SO(3)
• Координатные вращения и отражения
• Симметрии пространства-времени
• CPT-симметрия
• Поле (физика)
• суперструны