Квазипериодическая функция

В математике квазипериодическая функция — это функция , имеющая определенное сходство с периодической функцией. ^{[ 1 ]} Функция $f$ является квазипериодическим с квазипериодом $\omega$ если $f(z+\omega )=g(z,f(z))$ , где $g$ является « более простой » функцией, чем $f$ . Что значит быть « проще » — неясно.

Простой случай (иногда называемый арифметическим квазипериодическим) — это если функция подчиняется уравнению:

f(z+\omega )=f(z)+C

Другой случай (иногда называемый геометрическим квазипериодическим) — это если функция подчиняется уравнению:

f(z+\omega )=Cf(z)

Примером этого является тета-функция Якоби , где

\vartheta (z+\tau ;\tau )=e^{-2\pi iz-\pi i\tau }\vartheta (z;\tau ),

показывает, что для фиксированного $\tau$ у него есть квазипериод $\tau$ ; оно также периодично с периодом один. Другим примером является сигма-функция Вейерштрасса , которая является квазипериодической в двух независимых квазипериодах, периодах соответствующей Вейерштрасса ℘ функции .

Функции с аддитивным функциональным уравнением

f(z+\omega )=f(z)+az+b\

называются еще квазипериодическими. Примером этого является дзета-функция Вейерштрасса , где

\zeta (z+\omega ,\Lambda )=\zeta (z,\Lambda )+\eta (\omega ,\Lambda )\

для z -независимого η, когда ω является периодом соответствующей функции Вейерштрасса ℘.

В частном случае, когда $f(z+\omega )=f(z)\$ мы говорим, f что периодичен с периодом ω в решетке периодов $\Lambda$ .

Квазипериодические сигналы

Квазипериодические сигналы в смысле обработки звука не являются квазипериодическими функциями в том смысле, который здесь определен; вместо этого они имеют характер почти периодических функций , и следует обратиться к этой статье. Более расплывчатое и общее понятие квазипериодичности имеет еще меньше общего с квазипериодическими функциями в математическом смысле.

Полезным примером является функция:

f(z)=\sin(Az)+\sin(Bz)

Если соотношение A / B рационально, оно будет иметь истинный период, но если A / B иррационально, то истинного периода не будет, а будет последовательность все более точных «почти» периодов.

См. также

Квазипериодическое движение

Ссылки

^ Митропольский, Ю А. (1993). Системы эволюционных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами . А. М. Самойленко, Д. И. Мартинюк. Дордрехт: Springer Нидерланды. п. 108. ИСБН 978-94-011-2728-8 . OCLC 840309575 .

Внешние ссылки

Квазипериодическая функция в PlanetMath

[1] Митропольский, Ю А. (1993). Системы эволюционных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами . А. М. Самойленко, Д. И. Мартинюк. Дордрехт: Springer Нидерланды. п. 108. ИСБН 978-94-011-2728-8 . OCLC 840309575 .

[ 1 ]