Дзета-функция Игусы

В математике дзета -функция Игусы — это тип производящей функции , подсчитывающей количество решений уравнения по модулю p , p. ², п ³, и так далее.

Определение

Для простого числа p пусть K — p-адическое поле , т.е. $[K:\mathbb {Q} _{p}]<\infty$ , R — кольцо нормирования , а P — максимальный идеал . Для $z\in K$ мы обозначаем через $\operatorname {ord} (z)$ оценка z , $\mid z\mid =q^{-\operatorname {ord} (z)}$ , и $ac(z)=z\pi ^{-\operatorname {ord} (z)}$ для униформизирующего параметра π R .

Кроме того, пусть $\phi :K^{n}\to \mathbb {C}$ — функция Шварца–Брюа , т. е. локально постоянная функция с компактным носителем , и пусть $\chi$ быть персонажем $R^{\times }$ .

В этой ситуации сопоставляется непостоянный многочлен $f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ дзета-функция Игусы

Z_{\phi }(s,\chi )=\int _{K^{n}}\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})\chi (ac(f(x_{1},\ldots ,x_{n})))|f(x_{1},\ldots ,x_{n})|^{s}\,dx

где $s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,$ и dx — мера Хаара, нормированная настолько, что $R^{n}$ имеет меру 1.

Теорема Игусы

Джун-Ичи Игуса ( 1974 ) показал, что $Z_{\phi }(s,\chi )$ является рациональной функцией в $t=q^{-s}$ . В доказательстве используется Хейсуке Хиронаки теорема о разрешении особенностей . Позже совершенно другое доказательство было дано Яном Денефом с использованием разложения p-адических ячеек. Однако о явных формулах известно мало. (Имеются некоторые результаты о дзета-функциях Игусы многообразий Ферма .)

Сравнения по модулю степени P

Впредь мы принимаем $\phi$ быть характеристической функцией $R^{n}$ и $\chi$ быть тривиальным персонажем. Позволять $N_{i}$ обозначим количество решений сравнения