Расширительный вентилятор Прандтля – Мейера

Веер сверхзвукового расширения, технически известный как веер расширения Прандтля-Мейера , двумерная простая волна , представляет собой центрированный процесс расширения, который происходит, когда сверхзвуковой поток поворачивается вокруг выпуклого угла. Веер состоит из бесконечного числа волн Маха , расходящихся от острого угла. Когда поток поворачивает вокруг гладкого и круглого угла, эти волны могут распространяться назад и встречаться в одной точке.

Каждая волна в расширительном вентиляторе постепенно (маленькими шагами) поворачивает поток. Физически невозможно, чтобы поток прошел через одну «ударную» волну, поскольку это нарушило бы второй закон термодинамики . ^[1]

Поперек расширительного вентилятора поток ускоряется (увеличивается скорость) и число Маха увеличивается, а статическое давление , температура и плотность уменьшаются. Поскольку процесс является изэнтропическим , свойства застоя (например, общее давление и общая температура) остаются постоянными по всему вентилятору.

Теория была описана Теодором Мейером в его диссертации в 1908 году вместе со своим научным руководителем Людвигом Прандтлем , который уже обсуждал проблему годом ранее. ^[2]^[3]

Свойства потока

Веер расширения состоит из бесконечного числа волн расширения или линий Маха . ^[4] Первая линия Маха расположена под углом $\mu _{1}=\arcsin \left({\frac {1}{M_{1}}}\right)$ относительно направления потока, а последняя линия Маха расположена под углом $\mu _{2}=\arcsin \left({\frac {1}{M_{2}}}\right)$ относительно конечного направления потока. Поскольку поток поворачивается под малыми углами и изменения в каждой волне расширения невелики, весь процесс является изэнтропическим. ^[1] Это существенно упрощает расчеты свойств течения. Поскольку поток изэнтропичен, торможения такие свойства , как давление торможения ( $p_{0}$ ), температура торможения ( $T_{0}$ ) и плотность застоя ( $\rho _{0}$ ) остаются постоянными. Окончательные статические свойства являются функцией конечного числа Маха потока ( $M_{2}$ ) и может быть связана с начальными условиями течения следующим образом, где $\gamma$ – коэффициент теплоемкости газа (1,4 для воздуха):

{\begin{aligned}{\frac {T_{2}}{T_{1}}}&=\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}\right)\\[3pt]{\frac {p_{2}}{p_{1}}}&=\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\\[3pt]{\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}&=\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}.\end{aligned}}

Число Маха после поворота ( $M_{2}$ ) связано с начальным числом Маха ( $M_{1}$ ) и угол поворота ( $\theta$ ) к,

\theta =\nu (M_{2})-\nu (M_{1})\,

где, $\nu (M)\,$ – функция Прандтля–Мейера . Эта функция определяет угол, на который звуковой поток ( M = 1) должен повернуться, чтобы достичь определенного числа Маха (M). Математически,

{\begin{aligned}\nu (M)&=\int {\frac {\sqrt {M^{2}-1}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}{\frac {\,dM}{M}}\\&={\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}\arctan {\sqrt {{\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}\left(M^{2}-1\right)}}-\arctan {\sqrt {M^{2}-1}}.\\\end{aligned}}

По соглашению, $\nu (1)=0.\,$

Таким образом, учитывая начальное число Маха ( $M_{1}$ ), можно вычислить $\nu (M_{1})\,$ и используя угол поворота находим $\nu (M_{2})\,$ . От стоимости $\nu (M_{2})\,$ можно получить окончательное число Маха ( $M_{2}$ ) и другие свойства потока. Поле скорости в веере расширения, выраженное в полярных координатах $(r,\phi )$ даны ^[5]

v_{r}={\sqrt {2(h_{0}-h)-c^{2}}},\quad v_{\phi }=c,\quad {\text{where}}\quad \phi =-\int {\frac {d(\rho c)}{\rho {\sqrt {2(h_{0}-h)-c^{2}}}}},

$h$ удельная энтальпия и $h_{0}$ – удельная энтальпия застоя.

Максимальный угол поворота

Поскольку число Маха изменяется от 1 до $\infty$ , $\nu \,$ принимает значения от 0 до $\nu _{\text{max}}\,$ , где

\nu _{\text{max}}={\frac {\pi }{2}}\left({\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}-1\right).

Это накладывает ограничение на то, насколько может пройти сверхзвуковой поток, при этом максимальный угол поворота определяется выражением

\theta _{\text{max}}=\nu _{\text{max}}-\nu (M_{1}).\,

На это можно также посмотреть следующим образом. Поток должен повернуть так, чтобы удовлетворить граничным условиям. В идеальном потоке существует два типа граничных условий, которым поток должен удовлетворять:

Граничное условие скорости, которое требует, чтобы составляющая скорости потока, нормальная к стенке, была равна нулю. Это также известно как граничное условие непроникновения.
Граничное условие давления, которое гласит, что не может быть разрыва статического давления внутри потока (поскольку скачков в потоке нет).

Если поток поворачивается настолько, что становится параллельным стенке, нам не нужно беспокоиться о граничном условии давления. Однако по мере поворота потока его статическое давление снижается (как описано ранее). Если изначального давления недостаточно, поток не сможет завершить поворот и не будет параллелен стене. Это проявляется как максимальный угол, на который может повернуться поток. Чем меньше число Маха в начале (т.е. $M_{1}$ ), тем больше максимальный угол, на который может повернуться поток.

Линия тока , которая разделяет конечное направление потока и стенку, называется встречным потоком (на рисунке показана пунктирной линией). Поперек этой линии наблюдается скачок температуры, плотности и тангенциальной составляющей скорости (нормальная составляющая равна нулю). За пределами слипстрима поток застойный (что автоматически удовлетворяет граничному условию скорости на стенке). В случае реального течения вместо скольжения наблюдается слой сдвига из-за дополнительного граничного условия прилипания .

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б
Процесс расширения за счет одного «удара» невозможен, поскольку нарушит второй закон термодинамики.
Невозможность расширения потока за счет одной «ударной» волны: Рассмотрим сценарий, показанный на рисунке рядом. При повороте сверхзвукового потока нормальная составляющая скорости увеличивается ( $w_{2}>w_{1}$ ), а тангенциальная составляющая остается постоянной ( $v_{2}=v_{1}$ ). Соответствующее изменение представляет собой энтропию ( $\Delta s=s_{2}-s_{1}$ ) можно выразить следующим образом:
${\begin{aligned}{\frac {\Delta s}{R}}&=\ln \left[\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}\left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}}\right]\\&\approx {\frac {\gamma +1}{12\gamma ^{2}}}\left({\frac {p_{2}-p_{1}}{p_{1}}}\right)^{3}\\&\approx {\frac {\gamma +1}{12\gamma ^{2}}}\left[{\frac {\rho _{1}w_{1}^{2}}{p_{1}}}\left(1-{\frac {w_{2}}{w_{1}}}\right)\right]^{3}\end{aligned}}$
где, $R$ – универсальная газовая постоянная, $\gamma$ - отношение удельных теплоемкостей, $\rho$ статическая плотность, $p$ статическое давление, $s$ это энтропия, а $w$ – составляющая скорости потока, нормальная к «скачке». Суффиксы «1» и «2» относятся к начальному и конечному условиям соответственно.
С $w_{2}>w_{1}$ , это будет означать, что $\Delta s<0$ . Раз это невозможно, значит, невозможно повернуть поток посредством одной ударной волны. Этот аргумент можно расширить и показать, что такой процесс расширения может произойти только в том случае, если мы рассмотрим поворот через бесконечное число волн расширения в пределе $\Delta s\rightarrow 0$ . Соответственно, процесс расширения является изоэнтропическим процессом .
^ Мейер, Т. (1908). О двумерных процессах движения в газе, движущемся со сверхзвуковой скоростью (Докторская диссертация) (на немецком языке). Университет Георга-Августа, Геттинген. OCLC 77709738 .
^ Прандтль, Л. (1907). «Новые исследования потокового движения газов и паров». Физический журнал (на немецком языке). 8 :23–30. Перепечатано в Ригельс, Ф.В., изд. Людвиг Прандтль Сборник трактатов . Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-662-11836-8_78 .
^
Для объекта, движущегося со сверхзвуковой скоростью ( $u>c$ ) при движении из точки A в B (расстояние u·t) возмущения, исходящие из точки A, проходят расстояние c·t. Соответствующий угол известен как угол Маха, а линии, охватывающие возмущенную область, известны как линии Маха (в 2-D случае) или конус Маха (в 3-D).
Линии Маха (конус) и угол Маха:
Линии Маха — это концепция, обычно встречающаяся в двумерных сверхзвуковых потоках (т. е. $M\geq 1$ ). Они представляют собой пару ограничивающих линий, отделяющих область возмущенного течения от невозмущенной части течения. Эти линии встречаются парами и ориентированы под углом.
$\mu =\arcsin \left({\frac {c}{u}}\right)=\arcsin \left({\frac {1}{M}}\right)$
относительно направления движения (также известного как угол Маха ). В случае трехмерного поля потока эти линии образуют поверхность, известную как конус Маха , с углом Маха как половина угла конуса.
Чтобы лучше понять эту концепцию, рассмотрим случай, изображенный на рисунке. Мы знаем, что когда объект движется в потоке, он вызывает возмущения давления (которые распространяются со скоростью звука, также известные как волны Маха ). На рисунке изображен объект, движущийся из точки А в Б по линии АВ со сверхзвуковой скоростью ( $u>c$ ). К тому времени, когда объект достигает точки B, возмущения давления из точки A прошли расстояние c·t и теперь находятся на окружности круга (с центром в точке A). Существует бесконечное количество таких кругов с центром на линии AB, каждый из которых представляет местоположение возмущений, вызванных движением объекта. Линии, идущие наружу от точки B и касающиеся всех этих окружностей, известны как линии Маха.
Примечание. Эти понятия имеют физический смысл только для сверхзвуковых течений ( $u\geq c$ ). В случае дозвуковых течений возмущения будут распространяться быстрее, чем источник и аргумент $\arcsin()$ функция будет больше единицы.
^ Ландау, Л.Д., и Лифшиц, Э.М. (2013). Механика жидкости: Ландау и Лифшиц: Курс теоретической физики, Том 6 (Том 6). Эльзевир.

См. также

Ссылки

Липманн, Ганс В.; Рошко, А. (2001) [1957]. Элементы газодинамики . Дуврские публикации . ISBN 0-486-41963-0 .
Фон Мизес, Ричард (2004) [1958]. Математическая теория течения сжимаемой жидкости . Дуврские публикации . ISBN 0-486-43941-0 .
Курант, Ричард; Фридрихс, КО (1999) [1948]. Сверхзвуковое течение и ударные волны . Springer Science+Business Media . ISBN 0387902325 .
Андерсон, Джон Д. младший (январь 2001 г.) [1984]. Основы аэродинамики (3-е изд.). McGraw-Hill Наука/инженерное дело/математика . ISBN 0-07-237335-0 .
Шапиро, Ашер Х. (1953). Динамика и термодинамика течения сжимаемой жидкости, Том 1 . Рональд Пресс . ISBN 978-0-471-06691-0 .

Внешние ссылки

[shockExpansion-1] Перейти обратно: ^а ^б
Процесс расширения за счет одного «удара» невозможен, поскольку нарушит второй закон термодинамики.
Невозможность расширения потока за счет одной «ударной» волны: Рассмотрим сценарий, показанный на рисунке рядом. При повороте сверхзвукового потока нормальная составляющая скорости увеличивается ( $w_{2}>w_{1}$ ), а тангенциальная составляющая остается постоянной ( $v_{2}=v_{1}$ ). Соответствующее изменение представляет собой энтропию ( $\Delta s=s_{2}-s_{1}$ ) можно выразить следующим образом:
${\begin{aligned}{\frac {\Delta s}{R}}&=\ln \left[\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}\left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}}\right]\\&\approx {\frac {\gamma +1}{12\gamma ^{2}}}\left({\frac {p_{2}-p_{1}}{p_{1}}}\right)^{3}\\&\approx {\frac {\gamma +1}{12\gamma ^{2}}}\left[{\frac {\rho _{1}w_{1}^{2}}{p_{1}}}\left(1-{\frac {w_{2}}{w_{1}}}\right)\right]^{3}\end{aligned}}$
где, $R$ – универсальная газовая постоянная, $\gamma$ - отношение удельных теплоемкостей, $\rho$ статическая плотность, $p$ статическое давление, $s$ это энтропия, а $w$ – составляющая скорости потока, нормальная к «скачке». Суффиксы «1» и «2» относятся к начальному и конечному условиям соответственно.
С $w_{2}>w_{1}$ , это будет означать, что $\Delta s<0$ . Раз это невозможно, значит, невозможно повернуть поток посредством одной ударной волны. Этот аргумент можно расширить и показать, что такой процесс расширения может произойти только в том случае, если мы рассмотрим поворот через бесконечное число волн расширения в пределе $\Delta s\rightarrow 0$ . Соответственно, процесс расширения является изоэнтропическим процессом .

[2] Мейер, Т. (1908). О двумерных процессах движения в газе, движущемся со сверхзвуковой скоростью (Докторская диссертация) (на немецком языке). Университет Георга-Августа, Геттинген. OCLC 77709738 .

[3] Прандтль, Л. (1907). «Новые исследования потокового движения газов и паров». Физический журнал (на немецком языке). 8 :23–30. Перепечатано в Ригельс, Ф.В., изд. Людвиг Прандтль Сборник трактатов . Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-662-11836-8_78 .

[4] 
Для объекта, движущегося со сверхзвуковой скоростью ( $u>c$ ) при движении из точки A в B (расстояние u·t) возмущения, исходящие из точки A, проходят расстояние c·t. Соответствующий угол известен как угол Маха, а линии, охватывающие возмущенную область, известны как линии Маха (в 2-D случае) или конус Маха (в 3-D).
Линии Маха (конус) и угол Маха:
Линии Маха — это концепция, обычно встречающаяся в двумерных сверхзвуковых потоках (т. е. $M\geq 1$ ). Они представляют собой пару ограничивающих линий, отделяющих область возмущенного течения от невозмущенной части течения. Эти линии встречаются парами и ориентированы под углом.
$\mu =\arcsin \left({\frac {c}{u}}\right)=\arcsin \left({\frac {1}{M}}\right)$
относительно направления движения (также известного как угол Маха ). В случае трехмерного поля потока эти линии образуют поверхность, известную как конус Маха , с углом Маха как половина угла конуса.
Чтобы лучше понять эту концепцию, рассмотрим случай, изображенный на рисунке. Мы знаем, что когда объект движется в потоке, он вызывает возмущения давления (которые распространяются со скоростью звука, также известные как волны Маха ). На рисунке изображен объект, движущийся из точки А в Б по линии АВ со сверхзвуковой скоростью ( $u>c$ ). К тому времени, когда объект достигает точки B, возмущения давления из точки A прошли расстояние c·t и теперь находятся на окружности круга (с центром в точке A). Существует бесконечное количество таких кругов с центром на линии AB, каждый из которых представляет местоположение возмущений, вызванных движением объекта. Линии, идущие наружу от точки B и касающиеся всех этих окружностей, известны как линии Маха.
Примечание. Эти понятия имеют физический смысл только для сверхзвуковых течений ( $u\geq c$ ). В случае дозвуковых течений возмущения будут распространяться быстрее, чем источник и аргумент $\arcsin()$ функция будет больше единицы.

[5] Ландау, Л.Д., и Лифшиц, Э.М. (2013). Механика жидкости: Ландау и Лифшиц: Курс теоретической физики, Том 6 (Том 6). Эльзевир.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]