Бингам пластик

В материаловедении представляет пластик Бингама собой вязкопластический материал, который ведет себя как твердое тело при низких нагрузках , но течет как вязкая жидкость при высоких нагрузках. Он назван в честь Юджина Бингэма , предложившего его математическую форму. ^[1]

Он используется в качестве общей математической модели потока бурового раствора в буровой технике и при работе со шламами . Типичный пример – зубная паста . ^[2] который не будет выдавливаться до тех пор, пока определенное давление к трубке не будет приложено . Затем он выталкивается как относительно связная пробка.

Объяснение

Рисунок 1. Пластическое течение Бингама, описанное Бингамом.

На рисунке 1 красным цветом показан график поведения обычной вязкой (или ньютоновской) жидкости, например в трубе. Если давление на одном конце трубы увеличивается, это создает напряжение в жидкости, стремящееся заставить ее двигаться (так называемое напряжение сдвига ), и объемный расход увеличивается пропорционально. определенное значение — предел текучести Однако к жидкости Bingham Plastic (синий цвет) можно приложить напряжение, но она не будет течь до тех пор, пока не будет достигнуто . За этой точкой скорость потока постепенно увеличивается с увеличением напряжения сдвига. Примерно так Бингэм изложил свое наблюдение при экспериментальном изучении красок. ^[3] Эти свойства позволяют пластику Бингама иметь текстурированную поверхность с выступами и выступами вместо безликой поверхности, как у ньютоновской жидкости .

Рисунок 2. Бингамовское пластическое течение, описанное в настоящее время.

На рисунке 2 показано, как это обычно представляется в настоящее время. ^[2] На графике показано напряжение сдвига по вертикальной оси и скорость сдвига по горизонтальной. (Объемный расход зависит от размера трубы, скорость сдвига является мерой того, как скорость изменяется с расстоянием. Она пропорциональна скорости потока, но не зависит от размера трубы.) Как и раньше, ньютоновская жидкость течет и дает скорость сдвига для любого конечного значения напряжения сдвига. Однако пластик Бингама снова не демонстрирует никакой скорости сдвига (нет течения и, следовательно, нет скорости) до тех пор, пока не будет достигнуто определенное напряжение. Для ньютоновской жидкости наклон этой линии представляет собой вязкость , которая является единственным параметром, необходимым для описания ее течения. Напротив, пластик Бингама требует двух параметров: предела текучести и наклона линии, известного как пластическая вязкость .

Физическая причина такого поведения заключается в том, что жидкость содержит частицы (например, глина) или крупные молекулы (например, полимеры ), которые вступают в некое взаимодействие, создавая слабую твердую структуру, ранее известную как ложное тело , и определенное количество Чтобы разрушить эту структуру, необходим стресс. После разрушения структуры частицы движутся вместе с жидкостью под действием вязких сил. Если напряжение снять, частицы снова соединятся.

Определение

Материал представляет собой эластичное твердое тело, выдерживающее напряжение сдвига. $\tau$ , меньше критического значения $\tau _{0}$ . Как только критическое напряжение сдвига (или « предел текучести ») превышено, материал течет таким образом, что скорость сдвига ∂ u /∂ y (как определено в статье о вязкости ) прямо пропорциональна величине, на которую приложенное напряжение сдвига превышает предел текучести:

{\frac {\partial u}{\partial y}}={\begin{cases}0,&\tau <\tau _{0}\\{\frac {\tau -\tau _{0}}{\mu _{\infty }}},&\tau \geq \tau _{0}\end{cases}}

Формулы коэффициента трения

При движении жидкости распространенной проблемой является расчет падения давления в установленной трубопроводной сети. ^[4] Как только коэффициент трения f станет известен, становится легче решать различные проблемы с потоком в трубах, а именно. расчет падения давления для оценки затрат на перекачку или определения расхода в трубопроводной сети при заданном перепаде давления. Обычно чрезвычайно сложно прийти к точному аналитическому решению для расчета коэффициента трения, связанного с течением неньютоновских жидкостей, и поэтому для его расчета используются явные приближения. После расчета коэффициента трения падение давления можно легко определить для данного расхода по уравнению Дарси – Вейсбаха :

f={2h_{\text{f}}gD \over LV^{2}}

где:

$f$ - коэффициент трения Дарси (единицы СИ: безразмерные)
$h_{\text{f}}$ — потеря напора на трение ( единицы СИ : м)
$g$ - гравитационное ускорение (единицы СИ: м/с²).
$D$ диаметр трубы (единицы СИ: м)
$L$ длина трубы (единицы СИ: м)
$V$ средняя скорость жидкости (единицы СИ: м/с)

Ламинарный поток

Точное описание потерь на трение для пластиков Бингама в полностью развитом ламинарном потоке труб было впервые опубликовано Букингемом. ^[5] Его выражение, уравнение Бэкингема-Рейнера , можно записать в безразмерной форме следующим образом:

f_{\text{L}}={64 \over \operatorname {Re} }\left[1+{\operatorname {He}  \over 6\operatorname {Re} }-{64 \over 3}\left({\operatorname {He} ^{4} \over f^{3}\operatorname {Re} ^{7}}\right)\right]

где:

$f_{\text{L}}$ - коэффициент трения Дарси ламинарного потока (единицы СИ: безразмерные)
$\operatorname {Re}$ - число Рейнольдса (единицы СИ: безразмерные)
$\operatorname {He}$ - число Хедстрема (единицы СИ: безразмерные)

Число Рейнольдса и число Хедстрема соответственно определяются как:

\operatorname {Re} ={\rho VD \over \mu },

и

\operatorname {He} ={\rho D^{2}\tau _{o} \over \mu ^{2}}

где:

$\rho$ - массовая плотность жидкости (единицы СИ: кг/м ³)
$\mu$ — динамическая вязкость жидкости (единицы СИ: кг/мс).
$\tau _{o}$ — предел текучести (предел текучести) жидкости (единицы СИ: Па)

Турбулентный поток

Дарби и Мелсон разработали эмпирическое выражение. ^[6]затем оно было уточнено и определяется следующим образом: ^[7]

f_{\text{T}}=4\times 10^{a}\operatorname {Re} ^{-0.193}

где:

$f_{\text{T}}$ - коэффициент трения турбулентного потока (единицы СИ: безразмерные)
$a=-1.47\left[1+0.146e^{-2.9\times {10^{-5}}\operatorname {He} }\right]$

Примечание. Выражение Дарби и Мелсона предназначено для коэффициента трения Фэннинга, и его необходимо умножить на 4, чтобы использовать его в уравнениях потерь на трение, расположенных в другом месте на этой странице.

Аппроксимации уравнения Букингема–Рейнера.

Хотя точное аналитическое решение уравнения Букингема-Рейнера может быть получено, поскольку это полиномиальное уравнение четвертого порядка по f , из-за сложности решения оно используется редко. Поэтому исследователи попытались разработать явные аппроксимации уравнения Букингема-Рейнера.

Уравнение Свами-Аггарвала

Уравнение Свами-Аггарвала используется для непосредственного определения коэффициента трения Дарси-Вейсбаха f для ламинарного течения пластических жидкостей Бингама. ^[8] Это аппроксимация неявного уравнения Букингема-Рейнера , но расхождение с экспериментальными данными находится в пределах точности данных.Уравнение Свами-Аггарвала имеет вид:

f_{L}={64 \over \mathrm {Re} }+{64 \over \mathrm {Re} }\left({\mathrm {He}  \over 6.2218\mathrm {Re} }\right)^{0.958}

Решение Дании – Кумара

Датский и др. предоставили явную процедуру расчета коэффициента трения f с использованием метода разложения Адомиана. ^[9] Коэффициент трения, содержащий два члена, при использовании этого метода определяется как:

f_{L}={\frac {K_{1}+{\dfrac {4K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{3}}}}{1+{\dfrac {3K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{4}}}}}

где

K_{1}={16 \over \mathrm {Re} }+{16\mathrm {He}  \over 6\mathrm {Re} ^{2}},

и

K_{2}=-{16\mathrm {He} ^{4} \over 3\mathrm {Re} ^{8}}.

Комбинированное уравнение для коэффициента трения для всех режимов течения

Уравнение Дарби – Мелсона

В 1981 году Дарби и Мелсон, используя подход Черчилля ^[10] и Черчилля и Усаги, ^[11] разработал выражение, позволяющее получить единое уравнение коэффициента трения, действительное для всех режимов потока: ^[6]

f=\left[{f_{\text{L}}}^{m}+{f_{\text{T}}}^{m}\right]^{\frac {1}{m}}

где:

m=1.7+{40000 \over \operatorname {Re} }

И уравнение Свами-Аггарвала, и уравнение Дарби-Мельсона можно объединить, чтобы получить явное уравнение для определения коэффициента трения пластических жидкостей Бингама в любом режиме. Относительная шероховатость не является параметром ни в одном из уравнений, поскольку коэффициент трения пластических жидкостей Бингама не чувствителен к шероховатости трубы.

См. также

Ссылки

^ Бингхэм, EC (1916). «Исследование законов пластического течения». Бюллетень Бюро стандартов . 13 (2): 309–353. дои : 10.6028/бюллетень.304 . hdl : 2027/mdp.39015086559054 .
^ Jump up to: ^а ^б Стеффе, Дж. Ф. (1996). Реологические методы в пищевой промышленности (2-е изд.). Фриман Пресс. ISBN 0-9632036-1-4 .
^ Бингхэм, EC (1922). Текучесть и пластичность . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . п. 219.
^ Дарби, Рон (1996). «Глава 6». Химическая инженерия, механика жидкости . Марсель Деккер . ISBN 0-8247-0444-4 .
^ Бэкингем, Э. (1921). «О течении пластических масс через капилляры». Протоколы ASTM . 21 : 1154–1156.
^ Jump up to: ^а ^б Дарби Р. и Мелсон Дж. (1981). «Как спрогнозировать коэффициент трения для течения пластмасс Бингама». Химическая инженерия 28 : 59–61.
^ Дарби, Р.; и др. (сентябрь 1992 г.). «Прогнозирование потерь на трение в шламовых трубах». Химическая инженерия .
^ Свами, ПК и Аггарвал, Н. (2011). «Явные уравнения ламинарного течения пластических жидкостей Бингама». Журнал нефтяной науки и техники . два : 10.1016/j.petrol.2011.01.015 .
^ Датский, М. и др. (1981). «Приближенные явные аналитические выражения коэффициента трения для потокажидкостей Бингама в гладких трубах с использованием метода разложения Адомиана». Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 16 : 239–251.
^ Черчилль, Юго-Запад (7 ноября 1977 г.). «Уравнение коэффициента трения охватывает все режимы потока жидкости». Химическая инженерия : 91–92.
^ Черчилль, Юго-Запад; Усаги, РА (1972). «Общее выражение корреляции скорости перевода и других явлений». Журнал Айше . 18 (6): 1121–1128. Бибкод : 1972АИЧЕ..18.1121С . дои : 10.1002/aic.690180606 .

[1] Бингхэм, EC (1916). «Исследование законов пластического течения». Бюллетень Бюро стандартов . 13 (2): 309–353. дои : 10.6028/бюллетень.304 . hdl : 2027/mdp.39015086559054 .

[Steffe-2] Jump up to: ^а ^б Стеффе, Дж. Ф. (1996). Реологические методы в пищевой промышленности (2-е изд.). Фриман Пресс. ISBN 0-9632036-1-4 .

[3] Бингхэм, EC (1922). Текучесть и пластичность . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . п. 219.

[4] Дарби, Рон (1996). «Глава 6». Химическая инженерия, механика жидкости . Марсель Деккер . ISBN 0-8247-0444-4 .

[5] Бэкингем, Э. (1921). «О течении пластических масс через капилляры». Протоколы ASTM . 21 : 1154–1156.

[Darby-6] Jump up to: ^а ^б Дарби Р. и Мелсон Дж. (1981). «Как спрогнозировать коэффициент трения для течения пластмасс Бингама». Химическая инженерия 28 : 59–61.

[Darbyetal-7] Дарби, Р.; и др. (сентябрь 1992 г.). «Прогнозирование потерь на трение в шламовых трубах». Химическая инженерия .

[8] Свами, ПК и Аггарвал, Н. (2011). «Явные уравнения ламинарного течения пластических жидкостей Бингама». Журнал нефтяной науки и техники . два : 10.1016/j.petrol.2011.01.015 .

[9] Датский, М. и др. (1981). «Приближенные явные аналитические выражения коэффициента трения для потокажидкостей Бингама в гладких трубах с использованием метода разложения Адомиана». Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 16 : 239–251.

[10] Черчилль, Юго-Запад (7 ноября 1977 г.). «Уравнение коэффициента трения охватывает все режимы потока жидкости». Химическая инженерия : 91–92.

[11] Черчилль, Юго-Запад; Усаги, РА (1972). «Общее выражение корреляции скорости перевода и других явлений». Журнал Айше . 18 (6): 1121–1128. Бибкод : 1972АИЧЕ..18.1121С . дои : 10.1002/aic.690180606 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]