Вязкопластичность

Рис. 1. Элементы, используемые в одномерных моделях вязкопластических материалов.

Вязкопластичность - это теория механики сплошной среды , которая описывает неупругое поведение твердых тел в зависимости от скорости. Зависимость от скорости в этом контексте означает, что деформация материала зависит от скорости нагрузок . приложения Неупругое поведение, которое является предметом вязкопластичности, является пластической деформацией , что означает, что материал подвергается невосстановимым деформациям при достижении уровня нагрузки. Зависимая от скорости пластичность важна для расчетов переходной пластичности. Основное различие между моделями пластических и вязкопластических материалов, не зависящих от скорости, заключается в том, что последние демонстрируют не только постоянные деформации после приложения нагрузок, но и продолжают испытывать ползучее течение в зависимости от времени под действием приложенной нагрузки.

Упругая реакция вязкопластических материалов может быть представлена ​​в одномерном виде элементами Гука пружинными . Зависимость от скорости может быть представлена ​​нелинейными элементами черточки аналогично вязкоупругости . Пластичность можно учесть, добавив фрикционные элементы скольжения, как показано на рисунке 1. На рисунке $E$ – модуль упругости , $\lambda$ – параметр вязкости и $N$ параметр степенного типа, который представляет нелинейную приборную панель $[\sigma (\mathrm {d} \varepsilon /\mathrm {d} t)=\sigma =\lambda (\mathrm {d} \varepsilon /\mathrm {d} t)^{1/N}]$. Элемент скольжения может иметь предел текучести ( $\sigma _{y}$), который зависит от скорости деформации или даже постоянен, как показано на рисунке 1c.

Вязкопластичность обычно моделируется в трех измерениях с использованием моделей перенапряжения типа Пержины или Дюво-Льонса. В этих моделях напряжению разрешено выходить за пределы независимой от скорости поверхности текучести при приложении нагрузки, а затем со временем релаксировать обратно к поверхности текучести. В таких моделях обычно предполагается, что поверхность текучести не зависит от скорости. Альтернативный подход состоит в том, чтобы добавить к пределу текучести зависимость от скорости деформации и использовать методы пластичности, не зависящей от скорости, для расчета реакции материала.

Для металлов и сплавов вязкопластичность — это макроскопическое поведение, вызванное механизмом, связанным с движением дислокаций в зернах , с наложенными эффектами межкристаллитного скольжения. Этот механизм обычно становится доминирующим при температурах, превышающих примерно одну треть абсолютной температуры плавления. Однако некоторые сплавы проявляют вязкопластичность при комнатной температуре (300 К). Для полимеров , древесины и битума теория вязкопластичности необходима для описания поведения за пределами эластичности или вязкоупругости .

В целом теории вязкопластичности полезны в таких областях, как:

• расчет остаточных деформаций,
• прогнозирование пластического обрушения конструкций,
• исследование стабильности,
• симуляции аварий,
• системы, подвергающиеся воздействию высоких температур, такие как турбины в двигателях, например, электростанции,
• динамические проблемы и системы, подверженные высоким скоростям деформации.

История

Исследования теорий пластичности начались в 1864 году с работы Анри Трески . Сен-Венан (1870 г.) и Леви (1871 г.) по критерию максимального сдвига . Улучшенная модель пластичности была представлена ​​в 1913 году фон Мизесом. который теперь называется критерием текучести фон Мизеса . В области вязкопластичности разработка математической модели началась в 1910 году, когда первичная ползучесть была представлена ​​законом Андраде. В 1929 году Нортон разработал одномерную модель, которая связала скорость вторичной ползучести с напряжением. В 1934 году Одквист обобщил закон Нортона на многоосный случай.

Такие понятия, как нормальность пластического течения к поверхности текучести и правила течения пластичности, были введены Прандтлем ( 1924). и Ройсс (1930). В 1932 году Хоэнемсер и Прагер предложил первую модель медленного вязкопластического течения. Эта модель обеспечила связь между девиаторным напряжением и скоростью деформации для несжимаемого твердого тела Бингама. Однако применение этих теорий началось только в 1950 году, когда были открыты предельные теоремы.

В 1960 году состоялся первый симпозиум IUTAM «Поползновение конструкций», организованный Хоффом. обеспечил большое развитие вязкопластичности благодаря работам Хоффа, Работнова, Пержины, Хульта и Леметра по законам изотропного упрочнения , а также работам Краточвиля, Малинини и Хаджинского, Понтера и Леки и Шабоша по законам кинематического упрочнения . Пержина в 1963 году ввел коэффициент вязкости, зависящий от температуры и времени. Сформулированные модели были подкреплены термодинамикой необратимых процессов и феноменологической точкой зрения. Идеи, представленные в этих работах, легли в основу большинства последующих исследований пластичности, зависящей от скорости.

Феноменология

Для качественного анализа проводится несколько характерных тестов, описывающих феноменологию вязкопластических материалов. Некоторые примеры таких тестов:

1. испытания на закалку при постоянном напряжении или скорости деформации,
2. испытания на ползучесть при постоянной силе и
3. релаксация напряжений при постоянном удлинении.

Испытание на деформационное упрочнение

Рисунок 2. Деформационно-напряженная реакция вязкопластического материала при различных скоростях деформации. Пунктирные линии показывают реакцию, если скорость деформации остается постоянной. Синяя линия показывает реакцию при внезапном изменении скорости деформации.

Одним из последствий текучести увеличение напряжения является то, что по мере продолжения пластической деформации требуется для создания дополнительной деформации . Это явление известно как деформационно-деформационное упрочнение . Для вязкопластического материала кривые твердения существенно не отличаются от кривых твердения пластического материала, не зависящего от скорости. Тем не менее, можно отметить три существенных различия.

1. При одинаковой деформации, чем выше скорость деформации, тем выше напряжение.
2. Изменение скорости деформации во время испытания приводит к немедленному изменению кривой растяжения.
3. Концепция предела текучести пластика больше не является строго применимой.

Гипотеза о разделении деформаций путем разделения упругой и пластической частей все еще применима там, где деформации малы. то есть

$${\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }+{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }$$

где ${\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }$ - упругая деформация и ${\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }$ – вязкопластическая деформация. Чтобы получить поведение напряжение-деформация, показанное синим цветом на рисунке, материал первоначально нагружается со скоростью деформации 0,1/с. Затем скорость деформации мгновенно повышается до 100/с и удерживается на этом уровне постоянным в течение некоторого времени. В конце этого периода времени скорость деформации мгновенно падает до 0,1/с, и цикл продолжается для увеличения значений деформации. Очевидно, что существует задержка между изменением скорости деформации и реакцией на стресс. Это отставание довольно точно моделируется моделями перенапряжения (такими как модель Пержины ), но не моделями пластичности, не зависящей от скорости, которые имеют предел текучести, зависящий от скорости.

Испытание на ползучесть

Рисунок 3а. Испытание на ползучесть

Рисунок 3б. Деформация как функция времени при испытании на ползучесть

Ползучесть – это тенденция твердого материала медленно перемещаться или постоянно деформироваться под постоянными нагрузками. Испытания на ползучесть измеряют реакцию деформации, вызванную постоянным напряжением, как показано на рисунке 3. Классическая кривая ползучести представляет собой эволюцию деформации как функцию времени в материале, подвергающемся одноосному напряжению при постоянной температуре. Например, испытание на ползучесть выполняется путем приложения постоянной силы/напряжения и анализа реакции системы на деформацию. В целом, как показано на рисунке 3b, эта кривая обычно показывает три фазы или периода поведения:

1. Первичная стадия ползучести , также известная как переходная ползучесть, представляет собой начальную стадию, во время которой затвердевание материала приводит к снижению скорости потока, которая изначально очень высока. $(0\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{1})$.
2. Вторичная стадия ползучести , также известная как установившееся состояние, представляет собой состояние, при котором скорость деформации постоянна. $({\boldsymbol {\varepsilon }}_{1}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{2})$.
3. Третичная фаза ползучести , при которой происходит увеличение скорости деформации до деформации разрушения. $({\boldsymbol {\varepsilon }}_{2}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{R})$.

Тест на релаксацию

Рисунок 4. а) Приложенная деформация в тесте на релаксацию и б) наведенное напряжение в зависимости от времени в течение короткого периода для вязкопластического материала.

Как показано на рисунке 4, тест на релаксацию определяется как реакция на стресс, вызванная постоянным напряжением в течение определенного периода времени. В вязкопластических материалах релаксационные испытания демонстрируют релаксацию напряжений при одноосном нагружении при постоянной деформации. Фактически, эти испытания характеризуют вязкость и могут быть использованы для определения связи, существующей между напряжением и скоростью вязкопластической деформации. Разложение скорости деформации

$${\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}+{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}~.$$

Упругая часть скорости деформации определяется выражением

$${\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}$$

Для плоского участка кривой «деформация-время» полная скорость деформации равна нулю. Следовательно, мы имеем,

$${\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}=-{\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}$$

Таким образом, кривая релаксации может использоваться для определения скорости вязкопластической деформации и, следовательно, вязкости демпфера в одномерной модели вязкопластического материала. Остаточное значение, которое достигается, когда напряжение стабилизируется в конце теста на релаксацию, соответствует верхнему пределу упругости. Для некоторых материалов, таких как каменная соль, такой верхний предел упругости достигается при очень малом значении напряжения, и испытания на релаксацию могут продолжаться более года без какого-либо заметного плато в напряжении.

Важно отметить, что релаксационные тесты крайне сложно выполнить, поскольку поддержание состояния ${\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}=0$ в тесте требуется значительная деликатность.

Реологические модели вязкопластичности

К одномерным определяющим моделям вязкопластичности на основе элементов пружина-рычаг-ползунок относятся: идеально вязкопластическое твердое тело, эластичное идеально вязкопластическое твердое тело и эластовязкопластическое затвердевающее твердое вещество. Элементы могут быть соединены последовательно или параллельно . В моделях, в которых элементы соединены последовательно, деформация аддитивна, а напряжение одинаково в каждом элементе. При параллельных соединениях напряжение суммируется, а деформация одинакова в каждом элементе. Многие из этих одномерных моделей можно обобщить до трехмерного режима малой деформации. В последующем обсуждении временные скорости деформации и напряжения записываются как ${\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ и ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}$, соответственно.

Идеально вязкопластическое твердое тело (модель Нортона-Хоффа)

Рисунок 5. Модель Нортона-Хоффа для идеально вязкопластического твердого тела.

В идеально вязкопластическом твердом теле, также называемом моделью вязкопластичности Нортона-Хоффа, напряжение (как и в вязких жидкостях) является функцией скорости постоянной деформации. В модели пренебрегается эффектом эластичности, т.е. ${\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}=0$ и, следовательно, нет начального предела текучести, т. е. $\sigma _{y}=0$. Вязкая приборная панель имеет ответ, заданный

$${\boldsymbol {\sigma }}=\eta ~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }\implies {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}$$

где $\eta$ вязкость дешпота. В модели Нортона-Хоффа вязкость $\eta$ является нелинейной функцией приложенного напряжения и определяется выражением

$$\eta =\lambda \left[{\cfrac {\lambda }{||{\boldsymbol {\sigma }}||}}\right]^{N-1}$$

где $N$ – подгоночный параметр, λ – кинематическая вязкость материала, $||{\boldsymbol {\sigma }}||={\sqrt {{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\sigma }}}}={\sqrt {\sigma _{ij}\sigma _{ij}}}$. Тогда скорость вязкопластической деформации определяется соотношением

$${\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {||{\boldsymbol {\sigma }}||}{\lambda }}\right]^{N-1}$$

В одномерной форме модель Нортона-Хоффа можно выразить как

$$\sigma =\lambda ~\left({\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }\right)^{1/N}$$

Когда $N=1.0$ твердое вещество вязкоупругое .

Если предположить, что пластическое течение изохорно (с сохранением объема), то указанное соотношение можно выразить в более привычном виде:

$${\boldsymbol {s}}=2K~\left({\sqrt {3}}{\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }\right)^{m-1}~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }$$

где ${\boldsymbol {s}}$ – девиаторный тензор напряжений , ${\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }$ – эквивалентная скорость деформации фон Мизеса , $K,m$ являются материальными параметрами. Эквивалентная скорость деформации определяется как

$${\dot {\bar {\epsilon }}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}:{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}}}$$

Эти модели могут применяться к металлам и сплавам при температурах выше двух третей их абсолютной температуры плавления (в Кельвинах) и полимеров/асфальта при повышенной температуре. Результаты испытаний такого материала на деформационное упрочнение, ползучесть и релаксацию показаны на рисунке 6.

Рисунок 6: Реакция идеально вязкопластического твердого тела на испытания на закалку, ползучесть и релаксацию.

Упругое идеально вязкопластическое тело (модель Бингама – Нортона).

Рисунок 7. Эластичный идеально вязкопластический материал.

Для создания упруго-идеально вязкопластического режима можно использовать два типа элементарных подходов. В первом случае элемент трения скольжения и приборная панель расположены параллельно, а затем последовательно соединены с упругой пружиной, как показано на рисунке 7. Эта модель называется моделью Бингама-Максвелла (по аналогии с моделью Максвелла и моделью Бингама) . модель ) или модель Бингама–Нортона . Во второй ситуации все три элемента располагаются параллельно. Такая модель называется моделью Бингама-Кельвина по аналогии с моделью Кельвина .

Для упруго-идеально-вязкопластических материалов упругая деформация больше не считается пренебрежимо малой, но скорость пластической деформации является функцией только начального предела текучести, и влияние упрочнения отсутствует. Скользящий элемент представляет собой постоянное напряжение текучести при превышении предела упругости независимо от деформации. Модель может быть выражена как

$${\begin{aligned}&{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {E}}~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}\end{aligned}}$$

где $\eta$ — вязкость элемента приборной панели. Если элемент Dashpot имеет ответ в форме Norton

$${\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}$$

мы получаем модель Бингама-Нортона

$${\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}$$

В литературе можно встретить и другие выражения для скорости деформации. с общей формой

$${\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y})~{\boldsymbol {\sigma }}\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}$$

Результаты испытаний такого материала на деформационное упрочнение, ползучесть и релаксацию показаны на рисунке 8.

Рисунок 8. Реакция упругого идеально вязкопластического твердого тела на испытания на упрочнение, ползучесть и релаксацию.

Эластовязкопластическое затвердевающее твердое вещество

Упруговязкопластический материал с деформационным упрочнением описывается уравнениями, аналогичными уравнениям упруговязкопластического материала с идеальной пластичностью. Однако в этом случае напряжение зависит как от скорости пластической деформации, так и от самой пластической деформации. Для эластовязкопластического материала напряжение после превышения предела текучести продолжает увеличиваться за пределы начального предела текучести. Это означает, что предел текучести в элементе скольжения увеличивается с деформацией, и модель можно выразить в общих терминах как

$${\begin{aligned}&{\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\boldsymbol {\sigma }}=~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~||{\boldsymbol {\sigma }}||<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} })~{\boldsymbol {\sigma }}&&\mathrm {for} ~||{\boldsymbol {\sigma }}||\geq \sigma _{y}\end{aligned}}$$

Эта модель применяется, когда металлы и сплавы находятся при средних и более высоких температурах, а древесина - при высоких нагрузках. Результаты испытаний такого материала на деформационное упрочнение, ползучесть и релаксацию показаны на рисунке 9.

Рисунок 9. Реакция эластовязкопластического затвердевающего твердого тела на испытания на упрочнение, ползучесть и релаксацию.

Модели пластичности, зависящие от скорости деформации

Классические феноменологические модели вязкопластичности для малых деформаций обычно делят на два типа:

• формулировка Пержины
• формулировка Дюво – Лионса

Состав Пержины

В формулировке Пержины предполагается, что скорость пластической деформации задается определяющим соотношением вида

${\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\left\langle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})\right\rangle }{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{cases}{\cfrac {f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}&{\rm {if}}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0\\0&{\rm {otherwise}}\\\end{cases}}$

где $f(.,.)$ это функция доходности , ${\boldsymbol {\sigma }}$ напряжение Коши , ${\boldsymbol {q}}$ представляет собой набор внутренних переменных (таких как пластическая деформация ${\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }$), $\tau$ это время релаксации. Обозначения $\langle \dots \rangle$ обозначает скобки Маколея . Правило потока, используемое в различных версиях модели Шабоша , представляет собой частный случай правила потока Пержины. и имеет вид

$${\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }=\left\langle {\frac {f}{f_{0}}}\right\rangle ^{n}sign({\boldsymbol {\sigma }}-{\boldsymbol {\chi }})$$

где $f_{0}$ – квазистатическое значение $f$ и ${\boldsymbol {\chi }}$ является бэкстрессом . Некоторые модели спинки также называются моделью Chaboche .

Формулировка Дюво – Лионса

Формулировка Дюво-Лайонса эквивалентна формулировке Перзины и может быть выражена как

$${\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\begin{cases}{\mathsf {C}}^{-1}:{\cfrac {{\boldsymbol {\sigma }}-{\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}{\tau }}&{\rm {{if}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0}}\\0&{\rm {otherwise}}\end{cases}}$$

где ${\mathsf {C}}$ – тензор упругой жесткости, ${\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}$ — ближайшая точечная проекция напряженного состояния на границу области, ограничивающей все возможные упругие напряженные состояния. Количество ${\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}$ обычно находится из независимого от скорости решения проблемы пластичности.

Модели напряжения течения

Количество $f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})$ представляет собой эволюцию поверхности текучести . Функция доходности $f$ часто выражается как уравнение, состоящее из некоторого инварианта напряжения и модели предела текучести (или напряжения пластического течения). Примером может служить фон Мизес или $J_{2}$ пластичность. В этих ситуациях скорость пластической деформации рассчитывается так же, как и при пластичности, не зависящей от скорости. В других ситуациях модель предела текучести обеспечивает прямое средство расчета скорости пластической деформации.

Для расчета пластичности используются многочисленные эмпирические и полуэмпирические модели напряжения течения. Следующие модели, зависящие от температуры и скорости деформации, представляют собой выборку моделей, используемых в настоящее время:

1. модель Джонсона – Кука
2. модель Стейнберга-Кокрана-Гинана-Лунда.
3. модель Зерилли-Армстронга.
4. Модель механического порогового напряжения.
5. модель Престона-Тонкса-Уоллеса.

Модель Джонсона-Кука (Дж.К.) является чисто эмпирическим и является наиболее широко используемым из пяти. Однако эта модель демонстрирует нереально малую зависимость скорости деформации при высоких температурах. Модель Стейнберга-Кокрана-Гинана-Лунда (SCGL) является полуэмпирическим. Модель является чисто эмпирической и не зависит от скорости деформации при высоких скоростях деформации. Дислокационное расширение на основе используется при низких скоростях деформации. Модель SCGL широко используется сообществом физиков ударных волн. Модель Зерилли-Армстронга (ZA) — это простая физически обоснованная модель, которая широко используется. Более сложная модель, основанная на идеях динамики дислокаций, — это модель механического порогового напряжения (MTS). Эта модель использовалась для моделирования пластической деформации меди, тантала, сплавы стали, и алюминиевые сплавы. Однако модель MTS ограничена скоростями деформации менее 10 ⁷ /с. Модель Престона-Тонкса-Уоллеса (PTW) также физически обоснована и имеет форму, аналогичную модели МТС. Однако модель PTW имеет компоненты, которые могут моделировать пластическую деформацию в режиме перегруженной ударной нагрузки (скорости деформации более 10 ⁷ /с). Следовательно, эта модель действительна для самого большого диапазона скоростей деформации среди пяти моделей напряжения течения.

Модель напряжения течения Джонсона – Кука

Модель Джонсона-Кука (Дж.К.) является чисто эмпирическим и дает следующее соотношение для напряжения течения ( $\sigma _{y}$)

$${\text{(1)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\left[A+B(\varepsilon _{\rm {p}})^{n}\right]\left[1+C\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*})\right]\left[1-(T^{*})^{m}\right]$$

где $\varepsilon _{\rm {p}}$ – эквивалентная пластическая деформация , ${\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}$ это скорость пластической деформации и $A,B,C,n,m$ являются материальными константами.

Нормированные скорость деформации и температура в уравнении (1) определяются как

$${\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*}:={\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p0}}}}}\qquad {\text{and}}\qquad T^{*}:={\cfrac {(T-T_{0})}{(T_{m}-T_{0})}}$$

где ${\dot {\varepsilon _{\rm {p0}}}}$ — эффективная скорость пластической деформации квазистатического испытания, используемая для определения предела текучести и параметров упрочнения A, B и n. Это не просто параметр, который нужно сделать, как часто думают. ${\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*}$ безразмерный. $T_{0}$ является эталонной температурой, а $T_{m}$ — эталонная температура плавления . Для условий, где $T^{*}<0$, мы предполагаем, что $m=1$.

Модель напряжения течения Стейнберга – Кокрана – Гинан – Лунда

Модель Стейнберга-Кокрана-Гинана-Лунда (SCGL) представляет собой полуэмпирическую модель, разработанную Стейнбергом и др. для ситуаций с высокой скоростью деформации и расширен Стейнбергом и Лундом до низких скоростей деформации и материалов с ОЦК. Напряжение течения в этой модели определяется выражением

$${\text{(2)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\left[\sigma _{a}f(\varepsilon _{\rm {p}})+\sigma _{t}({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)\right]{\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}};\quad \sigma _{a}f\leq \sigma _{\text{max}}~~{\text{and}}~~\sigma _{t}\leq \sigma _{p}$$

где $\sigma _{a}$ – атермическая составляющая напряжения течения, $f(\varepsilon _{\rm {p}})$ это функция, которая представляет деформационное упрочнение, $\sigma _{t}$ – термически активируемая составляющая напряжения течения, $\mu (p,T)$ - модуль сдвига, зависящий от давления и температуры, и $\mu _{0}$ – модуль сдвига при стандартной температуре и давлении. Величина насыщения атермического напряжения равна $\sigma _{\text{max}}$. Насыщением термоактивированного напряжения является напряжение Пайерлса ( $\sigma _{p}$). Модуль сдвига для этой модели обычно рассчитывается с помощью модели модуля сдвига Стейнберга-Кокрана-Гинана .

Функция деформационного упрочнения ( $f$) имеет вид

$$f(\varepsilon _{\rm {p}})=[1+\beta (\varepsilon _{\rm {p}}+\varepsilon _{\rm {p}}i)]^{n}$$

где $\beta ,n$ – параметры наклепа, $\varepsilon _{\rm {p}}i$ – начальная эквивалентная пластическая деформация.

Термическая составляющая ( $\sigma _{t}$) вычисляется с использованием алгоритма деления пополам из следующего уравнения.

$${\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}=\left[{\frac {1}{C_{1}}}\exp \left[{\frac {2U_{k}}{k_{b}~T}}\left(1-{\frac {\sigma _{t}}{\sigma _{p}}}\right)^{2}\right]+{\frac {C_{2}}{\sigma _{t}}}\right]^{-1};\quad \sigma _{t}\leq \sigma _{p}$$

где $2U_{k}$ – энергия образования пары изломов на дислокационном сегменте длиной $L_{d}$, $k_{b}$ — постоянная Больцмана , $\sigma _{p}$ напряжение Пайерлса . Константы $C_{1},C_{2}$ задаются отношениями

$$C_{1}:={\frac {\rho _{d}L_{d}ab^{2}\nu }{2w^{2}}};\quad C_{2}:={\frac {D}{\rho _{d}b^{2}}}$$

где $\rho _{d}$ плотность дислокаций , $L_{d}$ – длина сегмента дислокации, $a$ расстояние между долинами Пайерлса , $b$ — величина вектора Бюргерса , $\nu$ — дебаевская частота , $w$ - ширина петли излома , а $D$ это коэффициент лобового сопротивления .

Модель напряжения течения Зерилли – Армстронга

Модель Зерилли-Армстронга (ZA) основан на упрощенной дислокационной механике. Общий вид уравнения для напряжения течения имеет вид

$${\text{(3)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\sigma _{a}+B\exp(-\beta T)+B_{0}{\sqrt {\varepsilon _{\rm {p}}}}\exp(-\alpha T)~.$$ В этой модели $\sigma _{a}$ - атермическая составляющая напряжения течения, определяемая формулой

$$\sigma _{a}:=\sigma _{g}+{\frac {k_{h}}{\sqrt {l}}}+K\varepsilon _{\rm {p}}^{n},$$

где $\sigma _{g}$ – вклад растворенных веществ и начальной плотности дислокаций, $k_{h}$ – интенсивность микроструктурных напряжений, $l$ средний диаметр зерна, $K$ равно нулю для материалов FCC, $B,B_{0}$ являются материальными константами.

В термически активированных терминах функциональные формы показателей $\alpha$ и $\beta$ являются

$$\alpha =\alpha _{0}-\alpha _{1}\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}});\quad \beta =\beta _{0}-\beta _{1}\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}});$$

где $\alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{0},\beta _{1}$ — параметры материала, которые зависят от типа материала (ГЦК, ОЦК, ГПУ, сплавы). Модель Зерилли-Армстронга была модифицирована для лучшей производительности при высоких температурах.

Механическое пороговое напряжение Модель напряжения потока

Модель механического порогового напряжения (MTS) ) имеет вид

$${\text{(4)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon }},T)=\sigma _{a}+(S_{i}\sigma _{i}+S_{e}\sigma _{e}){\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}}$$

где $\sigma _{a}$ – атермическая составляющая механического порогового напряжения, $\sigma _{i}$ – составляющая напряжения течения, обусловленная внутренними барьерами для термоактивированного движения дислокаций и дислокационно-дислокационного взаимодействия, $\sigma _{e}$ – составляющая напряжения течения, обусловленная эволюцией микроструктуры при увеличении деформации (деформационное упрочнение), ( $S_{i},S_{e}$) — масштабные коэффициенты, зависящие от температуры и скорости деформации, и $\mu _{0}$ – модуль сдвига при 0 К и окружающем давлении.

Коэффициенты масштабирования принимают Аррениуса форму .

$${\begin{aligned}S_{i}&=\left[1-\left({\frac {k_{b}~T}{g_{0i}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{i}}\right]^{1/p_{i}}\\S_{e}&=\left[1-\left({\frac {k_{b}~T}{g_{0e}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{e}}\right]^{1/p_{e}}\end{aligned}}$$

где $k_{b}$ – постоянная Больцмана, $b$ — величина вектора Бюргерса, ( $g_{0i},g_{0e}$) – нормированные энергии активации, ( ${\dot {\varepsilon }},{\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}$) — скорость деформации и эталонная скорость деформации, а ( $q_{i},p_{i},q_{e},p_{e}$) являются константами.

Деформационно-упрочняющая составляющая механического порогового напряжения ( $\sigma _{e}$) задается эмпирическим модифицированным законом Воса

$${\text{(5)}}\qquad {\frac {d\sigma _{e}}{d\varepsilon _{\rm {p}}}}=\theta (\sigma _{e})$$

где

$${\begin{aligned}\theta (\sigma _{e})&=\theta _{0}[1-F(\sigma _{e})]+\theta _{IV}F(\sigma _{e})\\\theta _{0}&=a_{0}+a_{1}\ln {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}+a_{2}{\sqrt {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}-a_{3}T\\F(\sigma _{e})&={\cfrac {\tanh \left(\alpha {\cfrac {\sigma _{e}}{\sigma _{es}}}\right)}{\tanh(\alpha )}}\\\ln({\cfrac {\sigma _{es}}{\sigma _{0es}}})&=\left({\frac {kT}{g_{0es}b^{3}\mu (p,T)}}\right)\ln \left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\end{aligned}}$$

и $\theta _{0}$ – упрочнение за счет накопления дислокаций, $\theta _{IV}$ – вклад закалки IV стадии, ( $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\alpha$) являются константами, $\sigma _{es}$ – напряжение при нулевой скорости упрочнения, $\sigma _{0es}$ - пороговое напряжение насыщения для деформации при 0 К, $g_{0es}$ является константой, и ${\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}$ это максимальная скорость деформации. Обратите внимание, что максимальная скорость деформации обычно ограничивается примерно $10^{7}$/с.

Модель напряжения течения Престона – Тонкса – Уоллеса

Модель Престона-Тонкса-Уоллеса (PTW) предпринимается попытка создать модель напряжения течения для экстремальных скоростей деформации (до 10 ¹¹ /с) и температурах до плавления. В модели используется линейный закон ужесточения Воса. Напряжение течения PTW определяется выражением

$${\text{(6)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)={\begin{cases}2\left[\tau _{s}+\alpha \ln \left[1-\varphi \exp \left(-\beta -{\cfrac {\theta \varepsilon _{\rm {p}}}{\alpha \varphi }}\right)\right]\right]\mu (p,T)&{\text{thermal regime}}\\2\tau _{s}\mu (p,T)&{\text{shock regime}}\end{cases}}$$

с

$$\alpha :={\frac {s_{0}-\tau _{y}}{d}};\quad \beta :={\frac {\tau _{s}-\tau _{y}}{\alpha }};\quad \varphi :=\exp(\beta )-1$$

где $\tau _{s}$ – нормированное напряжение насыщения при наклепе, $s_{0}$ это ценность $\tau _{s}$ в 0К, $\tau _{y}$ – нормированный предел текучести, $\theta$ - константа упрочнения в законе упрочнения Воса, а $d$ — безразмерный параметр материала, модифицирующий закон упрочнения Воса.

Напряжение насыщения и предел текучести определяются выражением

$${\begin{aligned}\tau _{s}&=\max \left\{s_{0}-(s_{0}-s_{\infty }){\rm {{erf}\left[\kappa {\hat {T}}\ln \left({\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\right],s_{0}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}}}\right\}\\\tau _{y}&=\max \left\{y_{0}-(y_{0}-y_{\infty }){\rm {{erf}\left[\kappa {\hat {T}}\ln \left({\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\right],\min \left\{y_{1}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{y_{2}},s_{0}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}\right\}}}\right\}\end{aligned}}$$

где $s_{\infty }$ это ценность $\tau _{s}$ близкой к температуре плавления, ( $y_{0},y_{\infty }$) — значения $\tau _{y}$ при 0 К и близкой к плавлению соответственно $(\kappa ,\gamma )$ являются материальными константами, ${\hat {T}}=T/T_{m}$, ( $s_{1},y_{1},y_{2}$) — параметры материала для режима высоких скоростей деформации,

$${\dot {\xi }}={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {4\pi \rho }{3M}}\right)^{1/3}\left({\cfrac {\mu (p,T)}{\rho }}\right)^{1/2}$$

где $\rho$ плотность, а $M$ это атомная масса.

См. также

• вязкоупругость
• Бингам пластик
• Дашпот
• Ползучесть (деформация)
• Пластичность (физика)
• Механика сплошных сред
• Квазитвердый