Матрица коэффициентов

В линейной алгебре матрица коэффициентов — это матрица, состоящая из коэффициентов переменных в наборе линейных уравнений . Матрица используется при решении систем линейных уравнений .

Матрица коэффициентов

В общем случае систему с $m$ линейными уравнениями и $n$ неизвестными можно записать как

{\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\;\;\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{aligned}}

где $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ неизвестные и числа $a_{11},a_{12},\ldots ,a_{mn}$ являются коэффициентами системы. Матрица коэффициентов представляет собой $матрицу размера m \times n$ с коэффициентом $a ij$ в качестве $(i, j)$ -й записи: ^[1]

{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}

Тогда приведенную выше систему уравнений можно выразить более кратко как

A\mathbf {x} =\mathbf {b}

где $A$ — матрица коэффициентов, а $b$ — вектор-столбец постоянных членов.

Связь его свойств со свойствами системы уравнений

По теореме Руше–Капелли система уравнений несовместна , то есть не имеет решений, если ранг расширенной матрицы (матрицы коэффициентов, дополненной дополнительным столбцом, состоящим из вектора $b$ ) больше ранга коэффициента матрица. Если же ранги этих двух матриц равны, система должна иметь хотя бы одно решение. Решение единственно тогда и только тогда, когда ранг $r$ равен числу $n$ переменных . В противном случае общее решение имеет $n - r$ свободных параметров; следовательно, в таком случае существует бесконечное число решений, которые можно найти, налагая произвольные значения на $n - r$ переменных и решая полученную систему для ее единственного решения; Разный выбор переменных для фиксации и разные их фиксированные значения дают разные системные решения.

Динамические уравнения

первого порядка Матричное разностное уравнение с постоянным членом можно записать как

\mathbf {y} _{t+1}=A\mathbf {y} _{t}+\mathbf {c} ,

где $A$ равно $n \times n$ , $а y$ и $c$ равны $n \times 1$ . Эта система сходится к своему установившемуся уровню $y$ тогда и только тогда, когда абсолютные значения всех $n$ собственных значений меньше $A$ 1.

первого порядка Матричное дифференциальное уравнение с постоянным членом можно записать как

{\frac {d\mathbf {y} }{dt}}=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {c} .

Эта система устойчива тогда и только тогда, когда все $n$ собственных значений $A$ имеют отрицательные действительные части .

Ссылки

^ Либлер, Роберт А. (декабрь 2002 г.). Базовая матричная алгебра с алгоритмами и приложениями . ЦРК Пресс . стр. 7–8. ISBN 9781584883333 . Проверено 13 мая 2016 г.

[Liebler-1] Либлер, Роберт А. (декабрь 2002 г.). Базовая матричная алгебра с алгоритмами и приложениями . ЦРК Пресс . стр. 7–8. ISBN 9781584883333 . Проверено 13 мая 2016 г.

[1]