Предвзятость Чебышева

В чисел теории смещение Чебышева + 3 больше, — это явление, заключающееся в том, что в большинстве случаев простых чисел формы 4 k чем простых чисел формы 4 k + 1, вплоть до одного и того же предела. Это явление впервые наблюдал русский математик Пафнутий Чебышев в 1853 году.

Описание

Пусть $π$ ( x ; n , m ) обозначает количество простых чисел вида nk + m до x . По теореме о простых числах (распространенной на арифметическую прогрессию )

\pi (x;4,1)\sim \pi (x;4,3)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {x}{\log x}}.

То есть половина простых чисел имеет форму 4 k + 1, а половина — форму 4 k + 3. Разумным предположением было бы, что $π$ ( x ; 4, 1) > $π$ ( x ; 4, 3) и $π$ ( x ; 4, 1) < $π$ ( x ; 4, 3) каждый также встречается в 50% случаев. Это, однако, не подтверждается численными данными — на самом деле $π$ ( x ; 4, 3) > $π$ ( x ; 4, 1) встречается гораздо чаще. Например, это неравенство справедливо для всех простых чисел x < 26833, кроме 5, 17, 41 и 461, для которых $π$ ( x ; 4, 1) = $π$ ( x ; 4, 3). Первый x такой, что $π$ ( x ; 4, 1) > $π$ ( x ; 4, 3) равен 26861, то есть $π$ ( x ; 4, 3) ≥ $π$ ( x ; 4, 1) для всех x < 26 861 .

В общем, если 0 < a , b < n — целые числа, НОД ( a , n ) = НОД( b , n ) = 1, a — квадратичный вычет по модулю n , b — квадратичный невычет по модулю n , то $π$ ( x ; n , b ) > $π$ ( x ; n , a ) встречается чаще, чем нет. Это было доказано только путем принятия сильных форм гипотезы Римана . Более сильная гипотеза Кнаповского и Турана о том, что плотность чисел x, для которых $выполняется π$ ( x ; 4, 3) > $π$ ( x ; 4, 1), равна 1 (то есть она верна почти для всех x ), превращена оказывается ложным. Однако они имеют логарифмическую плотность , которая составляет примерно 0,9959.... ^[1]

Обобщения

Это для k = −4, чтобы найти наименьшее простое число p такое, что $\sum _{q\leq p,\ q\ {\text{is prime}}}\left({\frac {k}{q}}\right)>0$ (где $\left({\frac {m}{n}}\right)$ является символом Кронекера ), однако для данного ненулевого целого числа k (не только k = −4) мы также можем найти наименьшее простое число p, удовлетворяющее этому условию. По теореме о простых числах для каждого ненулевого целого числа k существует бесконечно много простых чисел p, удовлетворяющих этому условию.

Для натуральных чисел k = 1, 2, 3, ... наименьшие простые числа p равны

2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... ( OEIS : A306499 — подпоследовательность, для k = 1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33, 37, 40, 41, 44, 53, 56, 57, 60, 61, ... OEIS : A003658 )

Для отрицательных целых чисел k = −1, −2, −3, ... наименьшие простые числа p равны

2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... ( OEIS : A306500 является подпоследовательностью, для k = −3, −4, −7 , -8, -11, -15, -19, -20, -23, -24, -31, -35, -39, -40, -43, -47, -51, -52, -55, - 56, −59, ... OEIS : A003657 )

Для каждого (положительного или отрицательного) неквадратного целого числа k существует больше простых чисел p с $\left({\frac {k}{p}}\right)=-1$ чем с $\left({\frac {k}{p}}\right)=1$ (до того же предела) чаще всего.

Расширение до более высокой мощности остатка

Пусть m и n — целые числа такие, что m ≥ 0, n > 0, НОД( m , n ) = 1, определяют функцию $f(m,n)=\sum _{p{\text{ is prime, }}p\,\mid \,\varphi (n),\ x^{p}\,\equiv \,m{\pmod {n}}{\text{ has a solution }}}\left({\frac {1}{p}}\right),$ где $\varphi$ — это полная функция Эйлера .

Например, f (1, 5) = f (4, 5) = 1/2, f (2, 5) = f (3, 5) = 0, f (1, 6) = 1/2, f ( 5, 6) = 0, f (1, 7) = 5/6, f (2, 7) = f (4, 7) = 1/2, f (3, 7) = f (5, 7) = 0, ж (6, 7) = 1/3, ж (1, 8) = 1/2, ж (3, 8) = ж (5, 8) = ж (7, 8) = 0, ж (1 , 9) = 5/6, f (2, 9) = f (5, 9) = 0, f (4, 9) = f (7, 9) = 1/2, f (8, 9) = 1 /3.

Предполагается, что если 0 < a , b < n — целые числа, НОД( a , n ) = НОД( b , n ) = 1, f ( a , n ) > f ( b , n ), то $π$ ( x ; n , b ) > $π$ ( x ; n , a ) встречается чаще, чем нет.

Ссылки

^ (Рубинштейн-Сарнак, 1994)

П. Л. Чебышев: Письмо профессора Чебышева г-ну Фуссу о новой теореме, касающейся простых чисел, содержащихся в формах 4 n + 1 и 4 n + 3, Бюлл. Класс физ. акад. Имп. наук. СПб. , 11 (1853), 208.
Гранвилл, Эндрю ; Мартин, Грег (2006). «Гонки за простые числа». амер. Математика. Ежемесячно . 113 (1): 1–33. дои : 10.1080/00029890.2006.11920275 . JSTOR 27641834 . S2CID 3846453 .
Дж. Качоровски: О распределении простых чисел (модуль 4), Анализ , 15 (1995), 159–171.
С. Кнаповски, Туран: Сравнительная теория простых чисел, I, Acta Math. акад. наук. Хунг. , 13 (1962), 299–314.
Рубинштейн, М.; Сарнак, П. (1994). «Предвзятость Чебышева». Экспериментальная математика . 3 (3): 173–197. дои : 10.1080/10586458.1994.10504289 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Предвзятость Чебышева» . Математический мир .
(последовательность A007350 в OEIS ) (где основная раса 4n+1 против 4n+3 меняет лидера)
(последовательность A007352 в OEIS ) (где основная раса 3n+1 против 3n+2 меняет лидера)

[1] (Рубинштейн-Сарнак, 1994)

[1]