Пространство Лааксо

В математическом анализе и метрической геометрии . пространства Лааксо ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} — класс метрических пространств , которые являются фрактальными в том смысле, что они имеют нецелую хаусдорфову размерность , но допускают понятие дифференциального исчисления. Они построены как факторпространства $[0, 1] \times K$ , где K — канторово множество . ^{[ 3 ]}

Фон

Чигер определил понятие дифференцируемости вещественных функций на метрических пространствах с мерой , которые удваиваются и удовлетворяют неравенству Пуанкаре , обобщая обычное понятие о евклидовом пространстве и римановых многообразиях . Пространства, удовлетворяющие этим условиям, включают группы Карно и другие субримановы многообразия , но не классические фракталы, такие как снежинка Коха или прокладка Серпинского . Поэтому возник вопрос, могут ли пространства дробной хаусдорфовой размерности удовлетворять неравенству Пуанкаре. Бурдон и Пажо ^{[ 4 ]} были первыми, кто построил такие помещения. Томи Дж. Лааксо ^{[ 3 ]} дал другую конструкцию, которая давала пространствам с хаусдорфовой размерностью любое действительное число больше 1. Эти примеры теперь известны как пространства Лааксо.

Строительство

Мы описываем пространство $F_{Q}$ с размерностью Хаусдорфа $Q\in (1,2)$ . (Для целочисленных размерностей евклидовы пространства удовлетворяют желаемому условию, и для любой хаусдорфовой размерности $S + r$ в интервале $(S, S + 1)$ , где $S$ — целое число, мы можем взять пространство $\mathbb {R} ^{S-1}\times F_{r+1}$ .) Пусть $t \in (0, 1/2)$ таково, что $Q=1+{\frac {\ln 2}{\ln(1/t)}}.$ Затем определите K как множество Кантора, полученное путем вырезания средней $длиной 1-2 t$ части интервала и повторения этой конструкции. Другими словами, K можно определить как подмножество $[0, 1],$ содержащее 0 и 1 и удовлетворяющее условиям $K=tK\cup (1-t+tK).$ Пространство $F_{Q}$ будет частным от $I \times K$ , где I — единичный интервал, а $I \times K$ — метрика, индуцированная из $ℝ 2$ .

Чтобы сэкономить на обозначениях, мы теперь предполагаем, что $t = 1/3$ , так что K — это обычное множество Кантора для средних третей. Общая конструкция аналогична, но более сложна. Напомним, что множество Кантора для средних третей состоит из всех точек из $[0, 1],$ троичное разложение которых состоит только из 0 и 2. Учитывая строку $a$ из 0 и 2, пусть $K a$ будет подмножеством точек K, состоящим из точек, троичное разложение которых начинается с $a$ . Например, $K_{2022}={\frac {2}{3}}+{\frac {2}{27}}+{\frac {2}{81}}+{\frac {1}{81}}K.$ Пусть теперь $b = u /3 к$ быть дробью в наименьшем выражении. Для каждой строки a из нулей и двоек длины $k - 1$ и для каждой точки $x \in K a 0$ мы отождествляем $(b, x)$ с точкой $(b, x + 2/3 к) \in {б} \times K а 2$ .

Придаем полученному факторпространству факторметрику : $d_{F_{Q}}(p,q)=\inf(d_{I\times K}(p,q_{1})+d_{I\times K}(p_{2},q_{2})+\cdots +d_{I\times K}(p_{n-1},q_{n-1})+d_{I\times K}(p_{n},q)),$ где каждый $q i$ отождествляется с $p i +1$ , а нижняя грань берется по всем конечным последовательностям этого вида.

В общем случае числа b (называемые уровнями червоточины ) и их порядки k определяются более сложным образом, чтобы получить пространство с правой хаусдорфовой размерностью, но основная идея та же.

Характеристики

$F Q$ является пространством удвоения и удовлетворяет $(1, 1)$ Пуанкаре -неравенству .
$F Q$ не имеет билипшицевого вложения ни в какое евклидово пространство.

Ссылки

^ Хейнонен, Юха ; Коскела, Пекка; Шанмугалингам, Нагешвари; Тайсон, Джереми Т. (2015). Пространства Соболева на метрических пространствах с мерой: подход, основанный на верхних градиентах . Издательство Кембриджского университета. п. 403. ИСБН 9781107092341 .
^ Хейнонен, Юха (24 января 2007 г.). «Негладкое исчисление» . Бюллетень Американского математического общества . 44 (2): 163–232. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01140-8 .
^ Jump up to: ^а ^б Лааксо, TJ (1 апреля 2000 г.). Альфорса « Q -регулярные пространства $с произвольным Q > 1,$ допускающие слабое неравенство Пуанкаре» . Геометрический и функциональный анализ . 10 (1): 111–123. дои : 10.1007/s000390050003 .
^ Бурдон, Марк; Пажо, Эрве (9 апреля 1999 г.). «Неравенства Пуанкаре и квазиконформная структура на границе некоторых гиперболических зданий» . Труды Американского математического общества . 127 (8): 2315–2324. arXiv : математика/9710208 . дои : 10.1090/S0002-9939-99-04901-1 .

[1] Хейнонен, Юха ; Коскела, Пекка; Шанмугалингам, Нагешвари; Тайсон, Джереми Т. (2015). Пространства Соболева на метрических пространствах с мерой: подход, основанный на верхних градиентах . Издательство Кембриджского университета. п. 403. ИСБН 9781107092341 .

[Hei-2] Хейнонен, Юха (24 января 2007 г.). «Негладкое исчисление» . Бюллетень Американского математического общества . 44 (2): 163–232. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01140-8 .

[Laakso-3] Jump up to: ^а ^б Лааксо, TJ (1 апреля 2000 г.). Альфорса « Q -регулярные пространства $с произвольным Q > 1,$ допускающие слабое неравенство Пуанкаре» . Геометрический и функциональный анализ . 10 (1): 111–123. дои : 10.1007/s000390050003 .

[4] Бурдон, Марк; Пажо, Эрве (9 апреля 1999 г.). «Неравенства Пуанкаре и квазиконформная структура на границе некоторых гиперболических зданий» . Труды Американского математического общества . 127 (8): 2315–2324. arXiv : математика/9710208 . дои : 10.1090/S0002-9939-99-04901-1 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]