Теорема Эвальда – Озеена о вымирании

В оптике теорема Эвальда -Озеена о затухании , иногда называемая просто теоремой о затухании , представляет собой теорему, которая лежит в основе общего понимания рассеяния (а также преломления, отражения и дифракции). Она названа в честь Пауля Петера Эвальда и Карла Вильгельма Осеена , которые доказали теорему в кристаллических и изотропных средах соответственно в 1916 и 1915 годах. Первоначально теорема применялась к рассеянию изотропными диэлектрическими объектами в свободном пространстве. Область применения теоремы была значительно расширена и теперь охватывает широкий спектр бианизотропных сред.

Обзор

Важная часть теории оптической физики начинается с микроскопической физики — поведения атомов и электронов — и использует ее для вывода знакомых макроскопических законов оптики. В частности, есть вывод о том, как работает показатель преломления и откуда он берется, исходя из микроскопической физики. Теорема Эвальда-Озеена об угасании является одной из частей этого вывода (как и уравнение Лоренца-Лоренца и т. д.).

Когда свет, путешествующий в вакууме, попадает в прозрачную среду, например стекло, свет замедляется, что описывается показателем преломления . Хотя этот факт известен и знаком, на самом деле он довольно странный и удивительный, если задуматься над ним под микроскопом. Ведь согласно принципу суперпозиции свет в стекле представляет собой суперпозицию:

• Исходная световая волна и
• Световые волны, излучаемые колеблющимися электронами в стекле.

(Свет — это колеблющееся электромагнитное поле, которое толкает электроны взад и вперед, испуская дипольное излучение .)

По отдельности каждая из этих волн распространяется со скоростью света в вакууме, а не с (более медленной) скоростью света в стекле. Однако когда волны суммируются, они, как ни удивительно, создают только волну, которая распространяется с меньшей скоростью.

Теорема Эвальда-Озеена о затухании гласит, что свет, излучаемый атомами, имеет компоненту, движущуюся со скоростью света в вакууме, которая точно нейтрализует («гасит») исходную световую волну. Кроме того, свет, излучаемый атомами, имеет компонент, который выглядит как волна, движущаяся с меньшей скоростью света в стекле. В целом, единственная волна в стекле — это медленная волна, соответствующая тому, что мы ожидаем от базовой оптики.

Более полное описание можно найти в книге Масуда Мансурипура «Классическая оптика и ее приложения». Доказательство классической теоремы можно найти в «Принципах оптики » Борна и Вольфа. и вариант его расширения был представлен Ахлешем Лахтакиа .

Вывод из уравнений Максвелла

Введение

Когда электромагнитная волна попадает в диэлектрическую среду, она возбуждает (резонирует) электроны материала, независимо от того, свободны они или связаны, переводя их в вибрационное состояние с той же частотой, что и волна. Эти электроны, в свою очередь, будут излучать собственные электромагнитные поля в результате своих колебаний (ЭМ поля колеблющихся зарядов). Из-за линейности уравнений Максвелла можно ожидать, что общее поле в любой точке пространства будет суммой исходного поля и поля, создаваемого колеблющимися электронами. Однако этот результат противоречит практической волне, наблюдаемой в диэлектрике, движущемся со скоростью c/n, где n — показатель преломления среды. Теорема Эвальда-Озеена о затухании направлена ​​​​на устранение разъединения, демонстрируя, как суперпозиция этих двух волн воспроизводит знакомый результат волны, которая движется со скоростью c/n.

Вывод

Ниже приводится вывод, основанный на работе Балленеггера и Вебера. Рассмотрим упрощенную ситуацию, в которой монохроматическая электромагнитная волна нормально падает на среду, заполняющую половину пространства в области z>0, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1: Полупространство z>0 представляет собой диэлектрический материал с восприимчивостью χ. Полупространство z<0 представляет собой вакуум.

Электрическое поле в точке пространства представляет собой сумму электрических полей, создаваемых всеми различными источниками. В нашем случае мы разделяем поля на две категории в зависимости от источников их генерации. Обозначим падающее поле $$\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }$$и сумма полей, создаваемых колеблющимися электронами в среде $$\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t).$$

Тогда общее поле в любой точке z пространства определяется суперпозицией двух вкладов: $$\mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t).$$

Чтобы соответствовать тому, что мы уже наблюдаем, $\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }$ имеет такую ​​форму. Однако мы уже знаем, что внутри среды z>0 мы будем наблюдать только то, что мы называем передаваемым E-полем. $\mathbf {E} _{\mathrm {T} }$ который проходит через материал со скоростью c/n.

Поэтому в этом формализме $$\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t)=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)+\mathbf {E} _{T}(z,t)$$

Это значит, что излучаемое поле нейтрализует падающее поле и создает передаваемое поле, распространяющееся внутри среды со скоростью c/n. Используя ту же логику, вне среды излучаемое поле производит эффект отраженного поля. $\mathbf {E} _{R}$ движется со скоростью c в направлении, противоположном падающему полю. $$\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t)=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)-\mathbf {E} _{R}(z,t)$$предположим, что длина волны намного больше среднего расстояния между атомами, так что среду можно считать непрерывной. Мы используем обычные макроскопические поля E и B и считаем среду немагнитной и нейтральной, так что уравнения Максвелла имеют вид $${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &={\boldsymbol {\mu }}_{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}{\boldsymbol {\mu }}_{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\end{aligned}}$$как суммарное электрическое, так и магнитное поля $$\mathbf {E} =\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} },\quad \mathbf {B} =\mathbf {B} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {B} _{\mathrm {rad} }$$система уравнений Максвелла внутри диэлектрика $${\begin{array}{l}{\nabla \cdot \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=0}\\{\nabla \cdot \mathbf {B} _{\mathrm {rad} }=0}\\{\nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-\partial \mathbf {B} _{\mathrm {rad} }/\partial t}\\{\nabla \times \mathbf {B} _{\mathrm {rad} }=\mu _{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\partial \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }/\partial t}\end{array}}$$где $\mathbf {J}$ включает в себя истинный ток и ток поляризации, индуцированный в материале внешним электрическим полем. Мы предполагаем линейную связь между током и электрическим полем, следовательно $$\mathbf {J} ={\sigma }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }\right)$$

В системе уравнений Максвелла вне диэлектрика нет члена плотности тока. $${\begin{array}{l}{\nabla \cdot \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }=0}\\{\nabla \cdot \mathbf {B} _{\mathrm {vac} }=0}\\{\nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }=-\partial \mathbf {B} _{\mathrm {vac} }/\partial t}\\{\nabla \times \mathbf {B} _{\mathrm {vac} }=\epsilon _{0}\mu _{0}\partial \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }/\partial t}\end{array}}$$

Две системы уравнений Максвелла связаны, поскольку вакуумное электрическое поле появляется в термине плотности тока.

Для монохроматической волны при нормальном падении вакуумное электрическое поле имеет вид $$\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)=\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }\exp[i(kz-\omega t)],$$с $k=\omega /{c}$.

Теперь нужно решить $\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }$, мы берем ротор третьего уравнения из первой системы уравнений Максвелла и объединяем его с четвертым. $${\begin{aligned}\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }&=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} _{\mathrm {rad} })\\[1ex]\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mu _{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }}{\partial t}}\right)\end{aligned}}$$

Упрощаем двойной ротор за пару шагов, используя суммирование Эйнштейна . $${\begin{aligned}(\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} )_{i}&=\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}\partial _{j}\partial _{l}E_{m}\\&=(\delta _{il}\delta _{j\mathrm {m} }-\delta _{i\mathrm {m} }\delta _{jl})\partial _{j}\partial _{l}E_{m}\\&=\partial _{i}(\partial _{j}E_{j})-\partial _{j}\partial _{j}E_{i}\end{aligned}}$$

Следовательно, мы получаем, $$\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} _{rad}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} _{rad})-\nabla ^{2}\mathbf {E} _{rad}$$

Затем подставив $\mathbf {J}$ к ${\sigma }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }\right)$, используя тот факт, что $\nabla \cdot \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=0$ мы получаем, $$\nabla ^{2}\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }={\frac {\partial }{\partial t}}(\mu _{0}{\sigma }\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mu _{0}{\sigma }\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }+\epsilon _{0}\mu _{0}\partial \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }/\partial t)$$

Понимая, что все поля имеют одинаковую зависимость от времени $\exp(-i\omega t)$, производные по времени очевидны, и мы получаем следующее неоднородное волновое уравнение $$\nabla ^{2}\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }+\mu _{0}\omega ^{2}\left(\epsilon _{0}+i\sigma /\omega \right)\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-i\mu _{0}\omega \sigma \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z)$$с частным решением $$\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }^{P}=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z)$$

Для полного решения к частному решению добавляем общее решение однородного уравнения, которое представляет собой суперпозицию плоских волн, бегущих в произвольных направлениях. $$\left(\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }^{c}\right)_{i}=\int g_{i}({\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\phi }})\exp \left(i\mathbf {k} '\cdot \mathbf {r} \right)d\Omega$$где $k'$из однородного уравнения находится как $$k^{\prime 2}=\mu _{0}\epsilon _{0}\omega ^{2}\left(1+i{\frac {\sigma }{\epsilon _{0}\omega }}\right)$$

Обратите внимание, что мы приняли решение как когерентную суперпозицию плоских волн. Из-за симметрии мы ожидаем, что поля будут одинаковыми в плоскости, перпендикулярной $z$ ось. Следовательно $\mathbf {k} '\cdot \mathbf {a} =0,$ где $\mathbf {a}$ это смещение, перпендикулярное $z$.

Поскольку в регионе нет границ $z>0$, мы ожидаем, что волна будет двигаться вправо. Решение однородного уравнения принимает вид: $$\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }^{c}=\mathbf {E} _{T}\exp \left(ik'z\right)$$

Добавляя это к частному решению, получаем излучаемую волну внутри среды ( $z>0$) $$\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z)+\mathbf {E} _{T}\exp \left(ik'z\right)$$

Общее поле в любой позиции $z$ представляет собой сумму падающего и излучаемого полей в этой позиции. Сложив две компоненты внутри среды, мы получим полное поле $$\mathrm {E} (z)=\mathrm {E} _{T}\exp \left(ik'z\right),\qquad z>0$$

Эта волна распространяется внутри диэлектрика со скоростью $c/n,$$$n=ck'/\omega ={\sqrt {1+i{\frac {\sigma }{\epsilon _{0}\omega }}}}$$

Мы можем упростить вышеизложенное $n$ к привычному виду показателя преломления линейного изотропного диэлектрика. Для этого вспомним, что в линейном диэлектрике приложенное электрическое поле $\mathbf {E}$ вызывает поляризацию $\mathbf {P}$ пропорциональна электрическому полю $\mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E}$. Когда электрическое поле изменяется, индуцированные заряды движутся и создают плотность тока, определяемую выражением $\partial \mathbf {P} /\partial t$. Поскольку зависимость электрического поля от времени $\exp(-i\omega t)$, мы получаем $$\mathbf {J} =-i\epsilon _{0}\omega \chi _{e}\mathbf {E} ,$$откуда следует, что проводимость $$\sigma =-i\epsilon _{0}\omega \chi _{e}.$$

Тогда подставив проводимость в уравнение $n$, дает $$n={\sqrt {1+\chi _{e}}}$$это более знакомая форма. Для региона $z<0$, накладывается условие волны, бегущей влево. Задав проводимость в этой области $\sigma =0$, получим отраженную волну $$\mathrm {E} (z)=\mathrm {E} _{R}\exp \left(-ikz\right),$$путешествуя со скоростью света.

Обратите внимание, что номенклатура коэффициентов $\mathbf {E} _{T}$ и $\mathbf {E} _{R}$, принимаются только для соответствия тому, что мы уже ожидаем.

Векторный подход Герца

Ниже приводится вывод, основанный на работе Вангнесса. и аналогичный вывод можно найти в главе 20 текста Зангвилла «Современная электродинамика». Схема следующая: пусть бесконечное полупространство $z<0$ быть вакуумом и бесконечным полупространством $z>0$ быть однородным изотропным диэлектрическим материалом с электрической восприимчивостью , $\chi .$

Уравнение неоднородной электромагнитной волны для электрического поля можно записать через электрический потенциал Герца : ${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }$, в калибровке Лоренца как $$\nabla ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}.$$

Электрическое поле через векторы Герца задается как $$\mathbf {E} =\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {m} }\right),$$но магнитный вектор Герца ${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {m} }$ равен 0, поскольку предполагается, что материал не намагничивается и внешнее магнитное поле отсутствует. Поэтому электрическое поле упрощается до $$\mathbf {E} =\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}.$$

Для расчета электрического поля необходимо сначала решить неоднородное волновое уравнение для ${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }$. Для этого разделите ${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }$ в однородных и частных решениях $${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }(\mathbf {r} ,t)={\boldsymbol {\pi }}_{e,h}(\mathbf {r} ,t)+{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t).$$

Тогда линейность позволяет нам писать $$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{h}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {E} _{\mathrm {p} }(\mathbf {r} ,t).$$

Гомогенный раствор , $\mathbf {E} _{h}(\mathbf {r} ,t)$, — исходная плоская волна, распространяющаяся с волновым вектором $k_{0}=\omega /c$ в позитиве $z$ направление $$\mathbf {E} _{h}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}.$$

Нам не нужно явно находить ${\boldsymbol {\pi }}_{e,h}(\mathbf {r} ,t)$поскольку нас интересует только нахождение поля.

Частное решение, ${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t)$ и, следовательно, $\mathbf {E} _{\mathrm {p} }(\mathbf {r} ,t)$, находится с использованием нестационарного метода функции Грина для неоднородного волнового уравнения для ${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }$ который дает запаздывающий интеграл $${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d^{3}r'{\frac {\mathbf {P} \left(\mathbf {r} ',t-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|/c\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.$$

Поскольку исходное электрическое поле поляризует материал, вектор поляризации должен иметь одинаковую пространственно-временную зависимость $\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {P} _{0}e^{i(kz-\omega t)}.$ Более подробно это предположение обсуждается Вангснессом. Подставляя это в интеграл и выражая через декартовы координаты, получаем $${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {P} _{0}e^{i(kz-\omega t)}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{0}^{\infty }dz'e^{ik\left(z'-z\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dx'\int _{-\infty }^{\infty }dy'{\frac {e^{ik_{0}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.$$

Сначала рассмотрим интегрирование только по $x'$ и $y'$ и преобразовать это в цилиндрические координаты $(x,y,z)\rightarrow (\rho ,\varphi ,z)$ и позвони $\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|=R$$$I:=\int _{-\infty }^{\infty }dx^{\prime }\int _{-\infty }^{\infty }dy^{\prime }{\frac {e^{ik_{0}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}=\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\infty }d\rho '{\frac {e^{ik_{0}R}}{R}}=2\pi \int _{0}^{\infty }d\rho '{\frac {e^{ik_{0}R}}{R}}.$$

Затем, используя замену $$R^{2}=\rho ^{2}+\left|z'-z\right|^{2}\Rightarrow \rho ^{2}=R^{2}-\left|z'-z\right|^{2}\Rightarrow \rho \,d\rho =R\,dR$$и $$\rho ={\sqrt {R^{2}-\left|z'-z\right|^{2}}}$$поэтому пределы становятся $$\rho =0={\sqrt {R^{2}-\left|z'-z\right|^{2}}}\Rightarrow R=\left|z'-z\right|$$и $$\rho =\infty ={\sqrt {R^{2}-\left|z'-z\right|^{2}}}\Rightarrow R=\infty .$$

Затем введем коэффициент сходимости $e^{-\epsilon R}$ с $\epsilon \in \mathbb {R}$ в подынтегральную функцию, поскольку это не меняет значения интеграла,

$${\begin{aligned}I&=2\pi \int _{\left|z'-z\right|}^{\infty }dRe^{ik_{0}R}\\&=2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\int _{\left|z'-z\right|}^{\infty }dRe^{(ik_{0}-\epsilon )R}\\&=\left.2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon )R}}{ik_{0}-\epsilon }}\right]\right|_{\left|z'-z\right|}^{\infty }\\&=2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon )\infty }}{ik_{0}-\epsilon }}-{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon ){\left|z'-z\right|}}}{ik_{0}-\epsilon }}\right].\end{aligned}}$$

Затем $\epsilon \in \mathbb {R}$ подразумевает $\lim _{\epsilon \to 0}e^{-\epsilon \infty }=0$, следовательно $\lim _{\epsilon \to 0}e^{(ik_{0}-\epsilon )\infty }=\lim _{\epsilon \to 0}e^{ik_{0}\infty }e^{-\epsilon \infty }=0$. Поэтому, $${\begin{aligned}I&=2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\left[0-{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon ){\left|z^{\prime }-z\right|}}}{ik_{0}-\epsilon }}\right]\\&=-2\pi {\frac {e^{ik_{0}{\left|z'-z\right|}}}{ik_{0}}}\\&=2\pi i{\frac {e^{ik_{0}{\left|z'-z\right|}}}{k_{0}}}.\end{aligned}}$$

Теперь, подставив этот результат обратно в z-интеграл, получим $${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(z,t)={\frac {i\mathbf {P} _{0}e^{i(kz-\omega t)}}{2k_{0}\epsilon _{0}}}\int _{0}^{\infty }dz'e^{ik\left(z'-z\right)}e^{ik_{0}\left|z-z'\right|}$$

Обратите внимание, что ${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }$ теперь является лишь функцией $z$ и не $\mathbf {r}$, что и ожидалось для данной симметрии.

Это интегрирование должно быть разделено на две из-за абсолютного значения $\left|z-z'\right|$ внутри подынтегральной функции. Регионы $z<0$ и $z>0$. Опять же, для оценки обоих интегралов необходимо ввести коэффициент сходимости, и результат будет $${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(z,t)=-{\frac {\mathbf {P} e^{-i\omega t}}{2\epsilon _{0}k_{0}}}{\begin{cases}{{\frac {1}{k+k_{0}}}e^{-ik_{0}z}}&{z<0}\\{{\frac {2k_{0}}{k_{0}^{2}-k^{2}}}e^{ikz}+{\frac {1}{k-k_{0}}}e^{ik_{0}z}}&{z>0.}\end{cases}}$$

Вместо подключения ${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }$ непосредственно в выражение для электрического поля можно сделать несколько упрощений. Начните с завитка вектора завитка , $$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }} )-\nabla ^{2}\mathbf {{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }} ,$$поэтому, $${\begin{aligned}\mathbf {E} _{\mathrm {p} }&=\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}\\&=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} })-\nabla ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}.\end{aligned}}$$

Обратите внимание, что $\nabla \cdot {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }=0$ потому что $\mathbf {P}$ не имеет ${\mathbf {z} }$ зависимость и всегда перпендикулярна ${\hat {\mathbf {z} }}$. Также обратите внимание, что второй и третий члены эквивалентны неоднородному волновому уравнению, поэтому: $${\begin{aligned}\mathbf {E} _{\mathrm {p} }&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }}{\partial t^{2}}}\\&=-{\frac {1}{c^{2}}}(-i\omega )^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }\\&=k_{0}^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }\end{aligned}}$$

Следовательно, общее поле равно $$\mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}+k_{0}^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(z,t)$$который становится, $$\mathbf {E} (z,t)=\left\{{\begin{array}{l}{\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-{\frac {\mathbf {P} }{2\epsilon _{0}}}{\frac {k_{0}}{k+k_{0}}}e^{-i\left(k_{0}z+\omega t\right)}}&{z<0}\\{\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-{\frac {\mathbf {P} }{2\epsilon _{0}}}{\frac {k_{0}}{k-k_{0}}}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}{\frac {k_{0}^{2}}{k_{0}^{2}-k^{2}}}e^{i(kz-\omega t)}}&{z>0.}\end{array}}\right.$$

Теперь сосредоточьтесь на поле внутри диэлектрика. Используя тот факт, что $\mathbf {E} (z,t)$ сложно, мы можем сразу написать $$\mathbf {E} (z>0,t)=\mathbf {E} e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}$$напомним также, что внутри диэлектрика мы имеем $\mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi \mathbf {E}$.

Затем путем сопоставления коэффициентов находим: $$e^{i\left(kz-\omega t\right)}\Rightarrow 1=-\chi {\frac {k_{0}^{2}}{k_{0}^{2}-k^{2}}}$$и $$e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}\Rightarrow 0=\mathbf {E} _{0}-{\frac {\chi }{2}}{\frac {k_{0}}{k-k_{0}}}\mathbf {E} .$$

Первое соотношение быстро дает волновой вектор в диэлектрике через падающую волну как $${\begin{aligned}k&={\sqrt {1+\chi }}k_{0}\\&=nk_{0}.\end{aligned}}$$

Используя этот результат и определение $\mathbf {P}$ во втором выражении дает вектор поляризации через падающее электрическое поле как $$\mathbf {P} =2\epsilon _{0}(n-1)\mathbf {E} _{0}.$$

Оба этих результата можно подставить в выражение для электрического поля и получить окончательное выражение $$\mathbf {E} (z,t)=\left\{{\begin{array}{l}{\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-\left({\frac {n-1}{n+1}}\right)\mathbf {E} _{0}e^{-i\left(k_{0}z+\omega t\right)}}&{z<0}\\{\left({\frac {2}{n+1}}\right)\mathbf {E} _{0}e^{i\left(nk_{0}z-\omega t\right)}}&{z>0.}\end{array}}\right.$$

Это именно тот результат, который и ожидался. Внутри среды находится только одна волна, и ее скорость волны уменьшена на n. Также восстанавливаются ожидаемые коэффициенты отражения и прохождения.

Длины угасания и тесты специальной теории относительности

Характерная «длина затухания» среды — это расстояние, после которого можно сказать, что исходная волна полностью заменилась. Для видимого света, распространяющегося в воздухе на уровне моря, это расстояние составляет примерно 1 мм. В межзвездном пространстве длина угасания света составляет 2 световых года. На очень высоких частотах электроны в среде не могут «следовать» за исходной волной в колебание, что позволяет этой волне распространяться гораздо дальше: для гамма-лучей с энергией 0,5 МэВ длина составляет 19 см воздуха и 0,3 мм люцита, а для 4,4 ГэВ, 1,7 м в воздухе и 1,4 мм в углероде.

Специальная теория относительности предсказывает, что скорость света в вакууме не зависит от скорости испускающего его источника. Это широко распространенное предсказание время от времени проверялось с помощью астрономических наблюдений. Например, в двойной звездной системе две звезды движутся в противоположных направлениях, и можно проверить предсказание, проанализировав их свет. (См., например, эксперимент Де Ситтера с двойной звездой .) К сожалению, длина затухания света в космосе сводит на нет результаты любых подобных экспериментов с использованием видимого света, особенно если принять во внимание густое облако неподвижного газа, окружающее такие звезды. Однако эксперименты с использованием рентгеновских лучей, излучаемых двойными пульсарами с гораздо большей длиной угасания, оказались успешными.