Вектор Герца

Векторы Герца , или векторные потенциалы Герца , представляют собой альтернативную формулировку электромагнитных потенциалов. Чаще всего они представлены в учебниках по теории электромагнетизма как практические задачи, которые предстоит решить студентам. Есть множество случаев, когда они имеют практическое применение, включая антенны. и волноводы. Хотя они иногда используются в таких практических задачах, они по-прежнему редко упоминаются в большинстве курсов теории электромагнетизма, а когда и используются, то часто не практикуются таким образом, чтобы продемонстрировать, когда они могут быть полезны или предоставляют более простой метод решения проблемы, чем более распространенные методы.

Обзор

Векторы Герца могут быть полезны при расчете электрических и магнитных полей в определенных сценариях, поскольку они обеспечивают альтернативный способ определения скалярного потенциала. $\phi$ и векторный потенциал $\mathbf {A}$ которые используются для поиска полей, как это обычно делается.

$$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$$ ( 1 )

$$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$$ ( 2 )

Если для простоты рассматривать отдельно случаи электрической и магнитной поляризации, каждый из них можно определить через скалярный и векторный потенциалы, что затем позволяет найти электрическое и магнитное поля. Для случаев именно электрической поляризации используются следующие соотношения.

$$\phi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi } _{e}$$ ( 3 )

$$\mathbf {A} =\mu \epsilon {\frac {\partial \mathbf {\Pi } _{e}}{\partial t}}$$ ( 4 )

А для случаев исключительно магнитной поляризации они определяются как:

$$\phi =0$$ ( 5 )

$$\mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {\Pi } _{m}$$ ( 6 )

Чтобы их применить, необходимо определить поляризации так, чтобы можно было получить форму векторов Герца. Рассмотрение случая простой электрической поляризации открывает путь к нахождению этой формы с помощью волнового уравнения. Предполагая, что пространство однородное и непроводящее, а распределения заряда и тока определяются выражением $\rho (\mathbf {r} ,t),\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)$, определим вектор $\mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)$ такой, что $\rho =-\nabla \cdot \mathbf {P}$ и $\mathbf {J} ={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}$. Используя их для решения $\mathbf {\Pi }$ векторов аналогично тому, как вспомогательные поля $\mathbf {D}$ и $\mathbf {H}$ можно найти, однако здесь векторы Герца рассматривают электрическую и магнитную поляризации как источники. Векторные потенциалы Герца от этих источников $\mathbf {\Pi } _{e}$ для электрического потенциала Герца и $\mathbf {\Pi } _{m}$ для магнитного потенциала Герца можно получить, используя волновое уравнение для каждого из них.

$$\nabla ^{2}\mathbf {\Pi } _{e}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {\Pi } _{e}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon }}$$ ( 7 )

$$\nabla ^{2}\mathbf {\Pi } _{m}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {\Pi } _{m}}{\partial t^{2}}}=-\mu \mathbf {M}$$ ( 8 )

Это просто делается применением оператора Даламбера $\Box =\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)$ обоим векторам, учитывая, что $c^{2}=\left(\mu \epsilon \right)^{-1}$, и результат ненулевой из-за присутствующих поляризаций. Это обеспечивает прямой путь между легко определяемыми свойствами, такими как плотность тока. $\mathbf {J}$ полям через векторы Герца и их связь со скалярным и векторным потенциалами. Эти волновые уравнения дают следующие решения для векторов Герца:

$$\mathbf {\Pi } _{e}={\frac {1}{4\pi \epsilon }}\int \limits _{V}{\frac {\left[\mathbf {P} \left(\mathbf {r} '\right)\right]}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '$$ ( 9 )

$$\mathbf {\Pi } _{m}={\frac {\mu }{4\pi }}\int \limits _{V}{\frac {\left[\mathbf {M} \left(\mathbf {r} '\right)\right]}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '$$ ( 10 )

где $\left[\mathbf {P} \left(\mathbf {r} '\right)\right]$ и $\left[\mathbf {M} \left(\mathbf {r} '\right)\right]$ следует оценивать в отсроченное время $|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |/v$. Затем электрические и магнитные поля можно найти с помощью векторов Герца. Для простоты наблюдения за связью между поляризацией, векторами Герца и полями будем рассматривать одновременно только один источник поляризации (электрический или магнитный). В отсутствие какой-либо магнитной поляризации $\mathbf {\Pi } _{e}$ вектор используется для поиска полей следующим образом:

$$\mathbf {E} =\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {\Pi } _{e}\right)-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {\Pi } _{e}}{\partial t^{2}}}$$ ( 11 )

$$\mathbf {B} =\mu \epsilon {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {\Pi } _{e}\right)$$ ( 12 )

Аналогично, в случае наличия только магнитной поляризации поля определяются ранее установленными соотношениями со скалярным и векторным потенциалами.

$$\mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {\Pi } _{m}\right)$$ ( 13 )

$$\mathbf {B} =\nabla \times \nabla \times \mathbf {\Pi } _{m}$$ ( 14 )

В случае наличия как электрической, так и магнитной поляризации поля становятся

$$\mathbf {E} =\nabla \times \nabla \times \mathbf {\Pi } _{e}-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } _{m}}{\partial t}}$$ ( 15 )

$$\mathbf {B} =\nabla \times \nabla \times \mathbf {\Pi } _{m}+\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } _{e}}{\partial t}}$$ ( 16 )

Примеры

Осциллирующий диполь

Рассмотрим одномерный равномерно колеблющийся ток. Ток ориентирован вдоль оси z на некоторой длине проводящего материала ℓ с частотой колебаний $\omega$. Определим вектор поляризации

$$\mathbf {P} =(-I\ell /\omega )\cos \left[\omega t\right]_{t'}\mathbf {\hat {z}}$$ ( 17 )

где t оценивается в запаздывающее время $t'=t-|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/v$. Подставляя это в электрическое векторное уравнение Герца, зная, что длина ℓ мала и поляризация одномерна, его можно аппроксимировать в сферических координатах следующим образом:

$$\mathbf {\Pi } _{e}={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {\left(-I\ell /\omega \right)\cos \left[\omega t\right]_{t'}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\left[\cos \left(\theta \right)\mathbf {\hat {r}} -\sin \left(\theta \right)\mathbf {\hat {\theta }} \right]$$ ( 18 )

Продолжение непосредственного определения дивергенции быстро становится затруднительным из-за $|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |$ знаменатель. Эту проблему легко решить, используя полиномы Лежандра для расширения $1/r$ потенциал:

$${\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r'^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }\left(\cos \gamma \right)$$ ( 19 )

Важно отметить, что в приведенном выше уравнении $\mathbf {x}$ и $\mathbf {x} '$ являются векторами, а $r$ и $r'$ длины этих векторов. $\gamma$ угол между векторами $\mathbf {x}$ и $\mathbf {x} '$. Вектор Герца теперь записывается следующим образом.

$$\mathbf {\Pi } _{e}={\frac {\left(-I\ell /\omega \right)\cos \left[\omega t\right]_{t'}}{4\pi \epsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r'^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }\left(\cos \gamma \right)\left[\cos \left(\theta \right)\mathbf {\hat {r}} -\sin \left(\theta \right){\boldsymbol {\hat {\theta }}}\right]$$ ( 20 )

Принимая во внимание расхождение

$$\nabla \cdot \mathbf {\Pi } _{e}={\frac {\left(I\ell /\omega \right)\cos \left[\omega t\right]_{t'}\cos \left(\theta \right)}{4\pi \epsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r'^{\ell }\left(\ell +1\right)}{r^{\ell +2}}}P_{\ell }\left(\cos \gamma \right)$$ ( 21 )

Тогда градиент результата

$$\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {\Pi } _{e}\right)={\frac {\left(-I\ell /\omega \right)\cos \left[\omega t\right]_{t'}}{4\pi \epsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r'^{\ell }\left(\ell +1\right)P_{\ell }\left(\cos \gamma \right)}{r^{\ell +3}}}\left[\left(\ell +2\right)\cos \left(\theta \right)\mathbf {\hat {r}} +\sin \left(\theta \right)\mathbf {\hat {\theta }} \right]$$ ( 22 )

Наконец находим вторую частичную по времени

$$\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {\Pi } _{e}}{\partial t^{2}}}={\frac {\mu I\ell \omega \cos \left[\omega t\right]_{t'}}{4\pi }}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r'^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }\left(\cos \gamma \right)\left[\cos \left(\theta \right)\mathbf {\hat {r}} -\sin \left(\theta \right)\mathbf {\hat {\theta }} \right]$$ ( 23 )

Позволяет найти электрическое поле.

$$\mathbf {E} =\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {\Pi } _{e}\right)-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {\Pi } _{e}}{\partial t^{2}}}={\frac {I\ell \cos \left[\omega t\right]_{t'}}{4\pi }}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r'^{\ell }P_{\ell }\left(\cos \left(\gamma \right)\right)}{r^{\ell +1}}}\left[\left({\frac {-\left(\ell +1\right)\left(\ell +2\right)}{r^{2}\epsilon \omega }}-\mu \omega \right)\cos \left(\theta \right)\mathbf {\hat {r}} +\left({\frac {-\left(\ell +1\right)}{r^{2}\epsilon \omega }}+\mu \omega \right)\sin \left(\theta \right)\mathbf {\hat {\theta }} \right]$$ ( 24 )

Моделирование

Используя соответствующие преобразования в декартовы координаты, это поле можно смоделировать в трехмерной сетке. Если посмотреть на плоскость XY в начале координат, видно двухлепестковое поле в одной плоскости, которое мы ожидаем от диполя, и оно колеблется во времени. На изображении ниже показана форма этого поля и то, как полярность меняется во времени из-за косинусоидного члена, однако в настоящее время оно не показывает изменение амплитуды из-за изменяющейся во времени силы тока. Тем не менее, одна только его форма показывает эффективность использования электрического вектора Герца в этом сценарии. Этот подход значительно более прямолинеен, чем определение электрического поля через заряды внутри бесконечно тонкой проволоки, особенно потому, что они меняются со временем. Это лишь один из нескольких примеров того, когда использование векторов Герца имеет преимущество по сравнению с более распространенными методами.

Электрическое поле, создаваемое диполем, индуцируемым колеблющимся током вдоль $\left(\mathbf {\hat {z}} \right)$ ось (неправильно обозначена y). Поле меняется во времени по мере переключения полярности из-за косинуса, вызывая переключение темного цвета на половине периода колебаний.

Токовый контур

Рассмотрим небольшую петлю площади $A$ протекает ток, изменяющийся во времени $I\sin \left(\omega t\right)$. При протекании тока будет присутствовать магнитное поле, перпендикулярное направлению потока, как результат правила правой руки. Поскольку это поле генерируется в петле, ожидается, что оно будет похоже на поле электрического диполя. Это можно быстро доказать, используя векторы Герца. Сначала магнитная поляризация определяется ее отношением к магнитному моменту. $\mathbf {M} ={\frac {d\mathbf {m} }{dV}}$. Магнитный момент токовой петли определяется как $\mathbf {m} =IA\mathbf {\hat {n}}$, поэтому, если петля лежит в плоскости xy и имеет ранее определенный изменяющийся во времени ток, магнитный момент равен $\mathbf {m} =IA\sin \left(\omega t\right)\mathbf {\hat {z}}$. Вставляя это в $\mathbf {M}$, а затем в уравнении ( 10 ) находится магнитный вектор Герца в простой форме.

$$\mathbf {\Pi } _{m}={\frac {\mu IA\sin \left(\omega t\right)}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathbf {\hat {z}}$$ ( 25 )

Как и в примере с электрическим диполем, полиномы Лежандра можно использовать для упрощения производных, необходимых для получения $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$. Электрическое поле тогда находится через

$$\mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times {\frac {\mu IA\sin \left(\omega t\right)}{4\pi }}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r'^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }\left(\cos \gamma \right)\right)\mathbf {\hat {z}}$$ ( 26 )

В связи с зависимостью от $r$, то вектор Герца существенно проще выразить в сферических координатах, преобразовав от подошвы $\mathbf {\hat {z}}$ вектор компонента к $\mathbf {\hat {r}}$ и $\mathbf {\hat {\theta }}$ компоненты.

$$\mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times {\frac {\mu IA\sin \left(\omega t\right)}{4\pi }}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r'^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }\left(\cos \gamma \right)\left[\cos \left(\theta \right)\mathbf {\hat {r}} -\sin \left(\theta \right)\mathbf {\hat {\theta }} \right]\right)$$ ( 27 )

$$\mathbf {E} ={\frac {-\mu AI\omega \cos \left(\omega t\right)}{4\pi }}\cos \left(\theta \right)\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r'^{\ell }}{r^{\ell +2}}}P_{\ell }\left(\cos \gamma \right)\left(1-\ell \right)\mathbf {\hat {\phi }}$$ ( 28 )

Моделирование

Это поле было смоделировано с помощью Python путем преобразования сферического компонента в компоненты x и y. Результат соответствует ожиданиям. Из-за изменения тока возникает зависящее от времени магнитное поле, которое индуцирует электрическое поле. Из-за формы поле выглядит как диполь.

Электрическое поле вокруг токовой петли. Он показывает форму диполя, и разницу полярностей можно увидеть выше и ниже контура, поскольку направление тока меняется со временем.

См. также

• Дипольная антенна