✖


Jump to content

Бикластеризация

Бикластеризация , кластеризация блоков , [1] [2] Совместная кластеризация или двухрежимная кластеризация [3] [4] [5] — это метод интеллектуального анализа данных , который позволяет одновременно кластеризовать строки и столбцы матрицы .Впервые термин был введен Борисом Миркиным. [6] назвать технику, внедренную много лет назад, [6] в 1972 году Джон А. Хартиган . [7]

Учитывая набор образцы, представленные -мерный вектор признаков, весь набор данных можно представить как строки в столбцы (т. е. матрица). Алгоритм бикластеризации генерирует бикластеры. Бикластер — это подмножество строк, которые демонстрируют одинаковое поведение в подмножестве столбцов или наоборот.

Разработка

[ редактировать ]

Бикластеризация была первоначально предложена Джоном А. Хартиганом в 1972 году. [7] Термин «бикластеризация» позже был использован и уточнен Борисом Миркиным. Этот алгоритм не получил широкого распространения до 2000 года, когда Ю. Ченг и Джордж М. Черч предложили алгоритм бикластеризации, основанный на среднеквадратичном показателе остатков (MSR), и применили его к данным биологической экспрессии генов. [8]

В 2001 и 2003 годах И.С. Диллон опубликовал два алгоритма, применяющих бикластеризацию к файлам и словам. Одна версия была основана на двудольном разбиении спектрального графа. [9] Другой был основан на теории информации. Диллон предположил, что потеря взаимной информации во время бикластеризации равна расстоянию Кульбака-Лейблера (KL-расстоянию) между P и Q. P представляет собой распределение файлов и характерных слов до бикластеризации, а Q - распределение после бикластеризации. KL-расстояние предназначено для измерения разницы между двумя случайными распределениями. KL = 0, когда два распределения одинаковы, и KL увеличивается по мере увеличения разницы. [10] Таким образом, целью алгоритма было найти минимальное KL-расстояние между P и Q. В 2004 году Ариндам Банерджи использовал взвешенное расстояние Брегмана вместо KL-расстояния для разработки алгоритма бикластеризации, подходящего для любого типа матрицы. в отличие от алгоритма KL-расстояния. [11]

Чтобы сгруппировать более двух типов объектов, в 2005 году Беккерман расширил взаимную информацию в теореме Диллона с одной пары на несколько пар. [12]

Сложность

[ редактировать ]

Сложность проблемы бикластеризации зависит от точной формулировки проблемы и, в частности, от функции качества, используемой для оценки качества данного бикластера. Однако наиболее интересные варианты этой задачи — NP-полные . NP-полный имеет два условия. В простом случае, когда в двоичной матрице A имеется единственный элемент a ( i , j ) , равный 0 или 1, бикластер равен биклике в соответствующем двудольном графе . Максимальный размер Bicluster эквивалентен максимальной реберной биклике в двудольном графе. В сложном случае элемент матрицы A используется для вычисления качества данного бикластера и решения более ограниченной версии проблемы. [13] Это требует либо больших вычислительных усилий, либо использования эвристики с потерями для сокращения вычислений. [14]

Типы бикластеров

[ редактировать ]

Бикластер с постоянными значениями (а)

Когда алгоритм бикластеризации пытается найти бикластер с постоянным значением, он меняет порядок строк и столбцов матрицы, чтобы сгруппировать похожие строки и столбцы, в конечном итоге группируя бикластеры со схожими значениями. Этот метод достаточен, когда данные нормализованы. Совершенный постоянный бикластер — это матрица (I, J), в которой все значения a (i, j) равны данной константе μ. В материальных данных эти записи a(i,j) могут быть представлены в форме n(i,j) + µ, где n(i,j) обозначает шум . Согласно алгоритму Хартигана , путем разделения исходной матрицы данных на набор бикластеров дисперсия используется для вычисления постоянных бикластеров. Следовательно, идеальный бикластер можно эквивалентным образом определить как матрицу с нулевой дисперсией. Чтобы предотвратить разделение матрицы данных на бикластеры только с одной строкой и одним столбцом; имеется, например, K Хартиган предполагает, что в матрице данных бикластеров. Когда матрица данных разбивается на K бикластеров, алгоритм завершается.

Бикластер с постоянными значениями в строках (б) или столбцах (в)

В отличие от бикластеров с постоянным значением, эти типы бикластеров не могут быть оценены исключительно на основе дисперсии их значений. Чтобы завершить идентификацию, сначала следует нормализовать столбцы и строки. Однако существуют другие алгоритмы без этапа нормализации, которые могут находить бикластеры, имеющие строки и столбцы, с помощью разных подходов.

Бикластер с согласованными значениями (г, д)

Для бикластеров с согласованными значениями в строках и столбцах следует рассмотреть общее улучшение по сравнению с алгоритмами для бикластеров с постоянными значениями в строках или столбцах. Этот алгоритм может содержать анализ дисперсии между группами, используя ковариацию между строками и столбцами. В теореме Ченга и Чёрча бикластер определяется как подмножество строк и столбцов с почти одинаковым рейтингом. Оценка сходства используется для измерения согласованности строк и столбцов.


а) Бикластер с постоянными значениями
2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
б) Бикластер с постоянными значениями в строках
1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
3.0 3.0 3.0 3.0 3.0
4.0 4.0 4.0 4.0 4.0
5.0 5.0 5.0 5.0 5.0
в) Бикластер с постоянными значениями в столбцах
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
г) Бикластер с согласованными значениями (аддитивный)
1.0 4.0 5.0 0.0 1.5
4.0 7.0 8.0 3.0 4.5
3.0 6.0 7.0 2.0 3.5
5.0 8.0 9.0 4.0 5.5
2.0 5.0 6.0 1.0 2.5
д) Бикластер с согласованными значениями (мультипликативный)
1.0 0.5 2.0 0.2 0.8
2.0 1.0 4.0 0.4 1.6
3.0 1.5 6.0 0.6 2.4
4.0 2.0 8.0 0.8 3.2
5.0 2.5 10.0 1.0 4.0


Связь между этими кластерными моделями и другими типами кластеризации, такими как корреляционная кластеризация, обсуждается в статье . [15]

Алгоритмы

[ редактировать ]

разработано множество алгоритмов Для биоинформатики бикластеризации , в том числе: блочная кластеризация, CTWC (связанная двусторонняя кластеризация), ITWC (взаимосвязанная двусторонняя кластеризация), δ-бикластер, δ-pCluster, δ-шаблон, FLOC, OPC, плейд-модель. , OPSM (подматрицы, сохраняющие порядок), Гиббс, SAMBA (статистико-алгоритмический метод бикластерного анализа), [16] Робастный алгоритм бикластеризации (RoBA), минимизация пересечений, [17] cMonkey, [18] PRM, DCC, LEB (локализация и извлечение бикластеров), QUBIC (качественная BIClustering), BCCA (алгоритм бикорреляционной кластеризации), BIMAX, ISA и FABIA ( факторный анализ для получения бикластеров), [19] рунибический, [20] и недавно предложенный гибридный метод EBIC (эволюционная бикластеризация), [21] который, как было показано, обнаруживает несколько шаблонов с очень высокой точностью. Совсем недавно IMMD-CC [22] предлагается, разработанный на основе концепции итеративного снижения сложности. IMMD-CC способен идентифицировать центроиды совместного кластера на основе очень разреженного преобразования, полученного путем итеративной многорежимной дискретизации.

Алгоритмы бикластеризации также были предложены и использованы в других областях применения под названиями совместная кластеризация, двумерная кластеризация и кластеризация подпространства. [14]

Учитывая известную важность обнаружения локальных закономерностей в данных временных рядов . Недавние предложения решили проблему бикластеризации в конкретном случае данных временных рядов экспрессии генов . В этом случае интересные бикластеры могут быть ограничены теми, у которых есть смежные столбцы. Это ограничение приводит к решаемой проблеме и позволяет разрабатывать эффективные алгоритмы исчерпывающего перебора , такие как CCC-бикластеризация. [23] и e -CCC-бикластеризация. [24] Приблизительные шаблоны в алгоритмах CCC-бикластеринга допускают заданное количество ошибок на один ген относительно профиля экспрессии, представляющего шаблон экспрессии в бикластере. Алгоритм e-CCC-бикластеринга использует приближенные выражения для поиска и сообщения обо всех максимальных CCC-бикластерах с помощью дискретизированной матрицы A и эффективных методов обработки строк.

Эти алгоритмы находят и сообщают обо всех максимальных бикластерах с когерентными и непрерывными столбцами с идеальными/приблизительными моделями экспрессии за линейное/полиномиальное время, которое получается путем манипулирования дискретизированной версией исходной матрицы экспрессии в размере матрицы экспрессии генов временных рядов с использованием эффективного методы обработки строк , основанные на суффиксных деревьях . Эти алгоритмы также применяются для решения проблем и анализа сложности вычислений.

Некоторые недавние алгоритмы пытались включить дополнительную поддержку прямоугольных матриц бикластеризации в форме других типов данных , включая cMonkey.

Продолжаются споры о том, как оценивать результаты этих методов, поскольку бикластеризация допускает перекрытие между кластерами, а некоторые алгоритмы позволяют исключать трудно согласуемые столбцы/условия. Не все доступные алгоритмы являются детерминированными, и аналитик должен обращать внимание на то, в какой степени результаты представляют собой стабильные минимумы . Поскольку это проблема неконтролируемой классификации , отсутствие золотого стандарта затрудняет обнаружение ошибок в результатах. Один из подходов заключается в использовании нескольких алгоритмов бикластеризации, при этом большинство или супербольшинство голосуют среди них для определения наилучшего результата. Другой способ — проанализировать качество моделей смещения и масштабирования в бикластерах. [25] Бикластеризация использовалась в области интеллектуального анализа текста (или классификации), которая широко известна как совместная кластеризация. [26] Текстовые корпуса представлены в векторной форме в виде матрицы D, строки которой обозначают документы, а столбцы — слова в словаре. Элементы матрицы D ij обозначают появление слова j в документе i. Затем применяются алгоритмы совместной кластеризации для обнаружения блоков в D, которые соответствуют группе документов (строк), характеризующихся группой слов (столбцов).

Кластеризация текста может решить проблему многомерной разреженности, что означает одновременную кластеризацию текста и слов. При кластеризации текста нам нужно учитывать не только информацию о словах, но и информацию о кластерах слов, которые составлены из слов. Затем, в зависимости от сходства характерных слов в тексте, в конечном итоге будут сгруппированы характерные слова. Это называется совместной кластеризацией. Есть два преимущества совместной кластеризации: во-первых, кластеризация теста на основе кластеров слов может значительно уменьшить размерность кластеризации, а также может быть уместна для измерения расстояния между тестами. Во-вторых, это сбор более полезной информации и возможность получить соответствующую информацию в тестовых кластерах и кластерах слов. Эту соответствующую информацию можно использовать для описания типа текстов и слов, в то же время результат кластеризации слов также можно использовать для интеллектуального анализа текста и поиска информации.

На основе информационного содержания полученных блоков было предложено несколько подходов: подходы на основе матриц, такие как SVD и BVD, и подходы на основе графов. теории информации Алгоритмы итеративно присваивают каждую строку кластеру документов и каждый столбец кластеру слов так, чтобы взаимная информация была максимальной. Методы, основанные на матрицах, сосредоточены на разложении матриц на блоки таким образом, чтобы ошибка между исходной матрицей и матрицами, восстановленными в результате разложения, была сведена к минимуму. Методы на основе графов имеют тенденцию минимизировать разрезы между кластерами. Учитывая две группы документов d 1 и d 2 , количество сокращений можно измерить как количество слов, встречающихся в документах групп d 1 и d 2 .

Совсем недавно (Биссон и Хусейн) [26] предложили новый подход, используя сходство между словами и сходство между документами для совместной кластеризации матрицы. Их метод (известный как χ-Sim , для перекрестного сходства) основан на поиске сходства документа и слова, а затем на использовании классических методов кластеризации, таких как иерархическая кластеризация . Вместо явной кластеризации строк и столбцов поочередно они рассматривают вхождения слов более высокого порядка, по сути принимая во внимание документы, в которых они встречаются. Таким образом, сходство между двумя словами рассчитывается на основе документов, в которых они встречаются, а также документов, в которых встречаются «похожие» слова. Идея здесь заключается в том, что в двух документах по одной и той же теме для ее описания не обязательно используется один и тот же набор слов, а подмножество слов и других похожих слов, характерных для этой темы. Этот подход, основанный на сходстве более высокого порядка, учитывает скрытую семантическую структуру всего корпуса, что приводит к лучшей кластеризации документов и слов.

В текстовых базах данных для коллекции документов, определенной матрицей документа по терминам D (размером m на n, m: количество документов, n: количество терминов), используется методология кластеризации на основе коэффициента покрытия. [27] дает одинаковое количество кластеров как для документов, так и для терминов (слов) с использованием двухэтапного вероятностного эксперимента. Согласно концепции коэффициента покрытия, количество кластеров также можно грубо оценить по следующей формуле: где t — количество ненулевых записей в D. Обратите внимание, что в D каждая строка и каждый столбец должны содержать хотя бы один ненулевой элемент.

В отличие от других подходов, FABIA представляет собой мультипликативную модель, которая предполагает реалистичные негауссовы распределения сигналов с тяжелыми хвостами . FABIA использует хорошо изученные методы выбора модели, такие как вариационные подходы, и применяет байесовскую структуру. Генеративная структура позволяет FABIA определять информационное содержание каждого бикластера, чтобы отделить ложные бикластеры от истинных бикластеров.

См. также

[ редактировать ]

Ссылки

[ редактировать ]
  1. ^ Г. Говерт; М. Надиф (2008). «Блочная кластеризация с моделями смеси Бернулли: сравнение различных подходов». Вычислительная статистика и анализ данных . 52 (6): 3233–3245. дои : 10.1016/j.csda.2007.09.007 .
  2. ^ Р. Баламуруган; А. М. Натараджан; К. Премалатха (2015). «Оптимизация черной дыры звездной массы для бикластеризации данных об экспрессии генов на микрочипах» . Прикладной искусственный интеллект . 29 (4): 353–381. дои : 10.1080/08839514.2015.1016391 . S2CID   44624424 .
  3. ^ Г. Говерт; М. Надиф (2013). Совместная кластеризация: модели, алгоритмы и приложения . ИСТЭ, Уайли. ISBN  978-1-84821-473-6 .
  4. ^ Р. Баламуруган; А. М. Натараджан; К. Премалатха (2016). «Модифицированный метод поиска гармонии для бикластеризации данных экспрессии генов на микрочипах». Международный журнал интеллектуального анализа данных и биоинформатики . 16 (4): 269–289. дои : 10.1504/IJDMB.2016.082205 .
  5. ^ Ван Мехелен I, Бок Х.Х., Де Бок П. (2004). «Двухрежимные методы кластеризации: структурированный обзор». Статистические методы в медицинских исследованиях . 13 (5): 363–94. CiteSeerX   10.1.1.706.4201 . дои : 10.1191/0962280204sm373ra . ПМИД   15516031 . S2CID   19058237 .
  6. ^ Перейти обратно: а б Миркин, Борис (1996). Математическая классификация и кластеризация . Академическое издательство Клювер. ISBN  978-0-7923-4159-8 .
  7. ^ Перейти обратно: а б Хартиган Дж. А. (1972). «Прямая кластеризация матрицы данных». Журнал Американской статистической ассоциации . 67 (337): 123–9. дои : 10.2307/2284710 . JSTOR   2284710 .
  8. ^ https://www.cs.princeton.edu/courses/archive/fall03/cs597F/Articles/biclustering_of_expression_data.pdf Ченг Ю, Чёрч Г. М. Бикластеризация данных о выражениях [C]//Ismb. 2000, 8: 93–103.
  9. ^ Диллон, Индерджит С. (2001). «Совместная кластеризация документов и слов с использованием разделения двудольного спектрального графа» . Материалы седьмой международной конференции ACM SIGKDD по обнаружению знаний и интеллектуальному анализу данных . стр. 269–274. дои : 10.1145/502512.502550 . ISBN  158113391X . S2CID   11847258 .
  10. ^ Диллон, Индерджит С.; Маллела, Субраманьям; Модха, Дхармендра С. (2003). «Информационно-теоретическая совместная кластеризация» . Материалы девятой международной конференции ACM SIGKDD по обнаружению знаний и интеллектуальному анализу данных . стр. 89–98. дои : 10.1145/956750.956764 . ISBN  1581137370 . S2CID   12286784 .
  11. ^ Банерджи, Ариндам; Диллон, Индерджит; Гош, Джойдип; Меругу, Сруджана; Модха, Дхармендра С. (2004). «Обобщенный подход максимальной энтропии к сокластеризации Брегмана и матричной аппроксимации» . Материалы десятой международной конференции ACM SIGKDD по обнаружению знаний и интеллектуальному анализу данных . стр. 509–514. дои : 10.1145/1014052.1014111 . ISBN  1581138881 . S2CID   2719002 .
  12. ^ Беккерман, Рон; Эль-Янив, Ран; МакКаллум, Эндрю (2005). «Многосторонняя распределительная кластеризация посредством парных взаимодействий» . Материалы 22-й международной конференции по машинному обучению ICML '05 . стр. 41–48. дои : 10.1145/1102351.1102357 . ISBN  1595931805 . S2CID   858524 .
  13. ^ Питерс Р. (2003). «Задача о максимальной реберной биклике NP-полна» . Дискретная прикладная математика . 131 (3): 651–654. дои : 10.1016/S0166-218X(03)00333-0 . S2CID   3102766 .
  14. ^ Перейти обратно: а б Мадейра СК, Оливейра АЛ (2004). «Алгоритмы бикластеризации для анализа биологических данных: обзор». Транзакции IEEE/ACM по вычислительной биологии и биоинформатике . 1 (1): 24–45. дои : 10.1109/TCBB.2004.2 . ПМИД   17048406 . S2CID   206628783 .
  15. ^ Кригель, Х.-П.; Крегер, П.; Зимек, А. (март 2009 г.). «Кластеризация многомерных данных: обзор подпространственной кластеризации, кластеризации на основе шаблонов и корреляционной кластеризации». Транзакции ACM по извлечению знаний из данных . 3 (1): 1–58. дои : 10.1145/1497577.1497578 . S2CID   17363900 .
  16. ^ Танай А., Шаран Р., Купец М., Шамир Р. (2004). «Выявление модульности и организации молекулярной сети дрожжей путем комплексного анализа весьма гетерогенных данных по всему геному» . Труды Национальной академии наук . 101 (9): 2981–2986. Бибкод : 2004PNAS..101.2981T . дои : 10.1073/pnas.0308661100 . ПМЦ   365731 . ПМИД   14973197 .
  17. ^ Абдулла, Ахсан; Хусейн, Амир (2006). «Новый метод бикластеризации, основанный на минимизации пересечений». Нейрокомпьютинг . 69 (16–18): 1882–1896. doi : 10.1016/j.neucom.2006.02.018 .
  18. ^ Рейсс DJ, Балига Н.С., Бонно Р. (2006). «Интегрированная бикластеризация гетерогенных полногеномных наборов данных для вывода о глобальных регуляторных сетях» . БМК Биоинформатика . 7 : 280–302. дои : 10.1186/1471-2105-7-280 . ПМК   1502140 . ПМИД   16749936 .
  19. ^ Хохрайтер С. , Боденхофер Ю., Хойзель М., Майр А., Миттерекер А., Касим А., Хамиакова Т., Ван Санден С., Лин Д., Таллоен В., Бейненс Л., Гольманн Х.В., Шкеди З., Клеверт Д.А. (2010). «ФАБИЯ: факторный анализ для приобретения бикластеров» . Биоинформатика . 26 (12): 1520–1527. doi : 10.1093/биоинформатика/btq227 . ПМК   2881408 . ПМИД   20418340 .
  20. ^ Ожеховский П., Паньщик А., Хуан Х., Мур Дж.Х. (2018). «runibic: пакет Bioconductor для параллельной бикластеризации данных экспрессии генов на основе строк» . Биоинформатика . 34 (24): 4302–4304. doi : 10.1093/биоинформатика/bty512 . ПМК   6289127 . ПМИД   29939213 .
  21. ^ Ожеховский П., Сиппер М., Хуан Х., Мур Дж.Х. (2018). «EBIC: эволюционный алгоритм параллельной бикластеризации для обнаружения закономерностей» . Биоинформатика . 34 (21): 3719–3726. arXiv : 1801.03039 . doi : 10.1093/биоинформатика/bty401 . ПМК   6198864 . ПМИД   29790909 .
  22. ^ Фанаи-Т, Торесен, М (2020). «Итеративная многорежимная дискретизация: приложения к совместной кластеризации». Наука открытий . Конспекты лекций по информатике. Том. 12323. стр. 94–105. дои : 10.1007/978-3-030-61527-7_7 . hdl : 10852/82994 . ISBN  978-3-030-61526-0 . S2CID   222832035 .
  23. ^ Мадейра СК, Тейшейра МК, Са-Коррейя I, Оливейра АЛ (2010). «Идентификация регуляторных модулей в данных экспрессии генов временных рядов с использованием алгоритма бикластеризации линейного времени». Транзакции IEEE/ACM по вычислительной биологии и биоинформатике . 1 (7): 153–165. дои : 10.1109/TCBB.2008.34 . ПМИД   20150677 . S2CID   7369531 .
  24. ^ Мадейра, Южная Каролина, Оливейра, Ал. (2009). «Алгоритм бикластеризации с полиномиальным временем для поиска приблизительных закономерностей экспрессии во временных рядах экспрессии генов» . Алгоритмы молекулярной биологии . 4 (8): 8. дои : 10.1186/1748-7188-4-8 . ПМК   2709627 . ПМИД   19497096 .
  25. ^ Агилар-Руис Дж.С. (2005). «Сдвиг и масштабирование закономерностей на основе данных об экспрессии генов» . Биоинформатика . 21 (10): 3840–3845. doi : 10.1093/биоинформатика/bti641 . ПМИД   16144809 .
  26. ^ Перейти обратно: а б Биссон Г.; Хусейн Ф. (2008). «Чи-Сим: новая мера сходства для задачи совместной кластеризации». 2008 Седьмая международная конференция по машинному обучению и приложениям . стр. 211–217. дои : 10.1109/ICMLA.2008.103 . ISBN  978-0-7695-3495-4 . S2CID   15506600 .
  27. ^ Джан, Ф.; Озкарахан, Э.А. (1990). «Концепции и эффективность методологии кластеризации на основе коэффициента покрытия для текстовых баз данных» (PDF) . Транзакции ACM в системах баз данных . 15 (4): 483–517. дои : 10.1145/99935.99938 . hdl : 2374.MIA/246 . S2CID   14309214 .

Другие

[ редактировать ]
  • Н.К. Верма, С. Баджпай, А. Сингх, А. Награре, С. Мина, Ян Цуй, «Сравнение алгоритмов бикластеризации» на Международной конференции по системам в медицине и биологии (ICSMB 2010) в ИИТ Харагпур, Индия, стр. 90 –97, 16–18 декабря.
  • Дж. Гупта, С. Сингх и Н.К. Верма «MTBA: Набор инструментов MATLAB для бикластерного анализа», Семинар IEEE по вычислительному интеллекту: теории, приложения и будущие направления», IIT Kanpur India, стр. 148–152, июль 2013 г.
  • А. Танай. Р. Шаран и Р. Шамир, «Алгоритмы бикластеризации: обзор», в Справочнике по вычислительной молекулярной биологии , под редакцией Шриниваса Алуру , Чепмен (2004).
  • Клюгер Ю., Басри Р., Чанг Дж.Т., Герштейн М.Б. (2003). «Спектральная бикластеризация данных микрочипов: группировка генов и условий» . Геномные исследования . 13 (4): 703–716. дои : 10.1101/гр.648603 . ПМК   430175 . ПМИД   12671006 .
  • Адетайо Касим, Зив Шкеди, Себастьян Кайзер, Зепп Хохрейтер, Виллем Таллоен (2016), Прикладные методы бикластеризации для больших и многомерных данных с использованием R, Chapman & Hall/CRC Press
  • Ожеховский П., Сиппер М., Хуанг Х. и Мур Дж. Х. (2018). EBIC: эволюционный алгоритм параллельной бикластеризации для обнаружения закономерностей. Биоинформатика .
[ редактировать ]
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Biclustering&oldid=1234808100"
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 7d383f629ab23e77fe457cfb557b37b6__1721103600
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/7d/b6/7d383f629ab23e77fe457cfb557b37b6.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Biclustering - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)