десятичный формат с плавающей запятой128

decimal128 — это с плавающей запятой десятичный формат компьютерных чисел , который занимает 128 бит в памяти компьютера . Официально представлено в IEEE 754-2008 . ^[1] он предназначен для приложений, где необходимо точно имитировать десятичное округление, например, для финансовых и налоговых вычислений. ^[2]

decimal128 поддерживает 34 десятичные цифры мантиссы от и диапазон показателей +6144, т.е. ±0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 -6143 до × 10 ^ ⁻⁶¹⁴³ до ±9,999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 × 10 ^ ⁶¹⁴⁴. Поскольку мантисса не нормализована, большинство значений с числом значащих цифр менее 34 имеют несколько возможных представлений; 1 × 10 ²= 0.1 × 10 ³= 0.01 × 10 ⁴и т. д. Ноль имеет 12288 возможных представлений (24576, включая отрицательный ноль ).

Представление десятичных значений128

Знак	Комбинация	Значимое и продолжение
1 бит	17 бит	110 бит
с	мммммммммммммм	cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

IEEE 754 допускает два альтернативных метода представления десятичных значений128. Стандарт не определяет, как указать, какое представление используется, например, в ситуации, когда десятичные значения128 передаются между системами.

В одном методе представления, основанном на двоичном целочисленном десятичном формате (BID), мантисса представляется как положительное целое число в двоичном коде.

Другой, альтернативный метод представления основан на плотно упакованной десятичной дроби (DPD) для большей части мантиссы (кроме самой старшей цифры).

Обе альтернативы предоставляют одинаковый диапазон представимых чисел: 34 цифры мантиссы и $3 \times 2. 12 = 12288$ возможных значений показателя степени.

В обоих случаях старшие 4 бита мантиссы (которые на самом деле имеют только 10 возможных значений) объединяются со старшими 2 битами экспоненты (3 возможных значения), чтобы использовать 30 из 32 возможных значений по 5 бит в комбинированное поле. Остальные комбинации кодируют бесконечности и NaN .

Комбинированное поле	Экспонента	Значимое число Мбитов	Другой
00мммммммммммммм	00xxxxxxxxxxxxxxx	0cc	—
01мммммммммммммм	01xxxxxxxxxxxxxxx	0cc	—
10 мммммммммммммм	10xxxxxxxxxxxx	0cc	—
1100 мммммммммммм	00xxxxxxxxxxxxxxx	100с	—
1101мммммммммммм	01xxxxxxxxxxxxxxx	100с	—
1110мммммммммммммм	10xxxxxxxxxxxx	100с	—
11110мммммммммммм	—	—	±Infinity
11111мммммммммммм	—	—	НаН . Знаковый бит игнорируется. Шестой бит поля комбинации определяет, передает ли NaN сигнал.

В случае Infinity и NaN все остальные биты кодировки игнорируются. Таким образом, можно инициализировать массив значениями Infinities или NaN, заполнив его однобайтовым значением.

Поле двоичного целочисленного значения

В этом формате используется двоичное значение от 0 до $10. 34 - 1$ = 9 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 = 1ED09BEAD87C0378D8E63FFFFFFFF ₁₆ = 0111 1011010000 1001101111 1010101101 1000011111 0000000011 0111100011 0110001110 0110001111 1111111111 1111111111 111 ₂ . Кодировка может представлять двоичные значения до $10 \times 2. 110 - 1$ = 12 980 742 146 337 069 071 326 240 823 050 239 , но значения больше $1034 - 1$ недопустимы (и стандарт требует, чтобы реализации обрабатывали их как 0, если они встречаются на входе).

Как описано выше, кодирование варьируется в зависимости от того, находятся ли старшие 4 бита мантиссы в диапазоне от 0 до 7 (от 0000 ₂ до 0111 ₂ ) или выше (1000 ₂ или 1001 ₂ ).

Если два бита после знакового бита равны «00», «01» или «10», то Поле экспоненты состоит из 14 бит, следующих за знаковым битом, и Мантисса — это оставшиеся 113 битов с неявным ведущим нулевым битом:

 s 00eeeeeeeeeeee   (0)ttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt
 s 01eeeeeeeeeeee   (0)ttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt
 s 10eeeeeeeeeeee   (0)ttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt

Сюда входят субнормальные числа , у которых старшая значащая цифра равна 0.

Если 2 бита после знакового бита равны «11», то 14-битное поле показателя степени сдвигается на 2 бита вправо (как после знакового бита, так и после бита «11»), а представленная мантисса находится в оставшейся части. 111 бит. В этом случае имеется неявная (то есть не сохраненная) ведущая 3-битная последовательность «100» в истинной мантиссе.

 s 1100eeeeeeeeeeee (100)t tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt
 s 1101eeeeeeeeeeee (100)t tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt
 s 1110eeeeeeeeeeee (100)t tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt

имеется неявный 2-битная последовательность «11» после знакового бита указывает на то, что к мантиссе 3-битный префикс «100». Сравните наличие неявной 1 в мантиссе нормальных значений для двоичных форматов. Биты «00», «01» или «10» являются частью поля показателя степени.

Для формата decimal128 все эти мантиссы выходят за пределы допустимого диапазона (они начинаются с $2) . 113 > 1,038 \times 10 34$ ), и поэтому декодируются как ноль, но шаблон такой же, как decimal32 и decimal64 .

В приведенных выше случаях представленное значение равно

(−1) ^знак × 10 ^{показатель степени-6176} × мантисса

Если четыре бита после знакового бита равны «1111», то значение равно бесконечности или NaN, как описано выше:

s 11110 xx...x    ±infinity
s 11111 0x...x    a quiet NaN
s 11111 1x...x    a signalling NaN

Плотно упакованное десятичное поле значащего значения

В этой версии мантисса хранится в виде последовательности десятичных цифр. Старшая цифра находится в диапазоне от 0 до 9 (3 или 4 двоичных бита), а остальная часть мантиссы использует плотно упакованную десятичную кодировку (DPD).

Два ведущих бита экспоненты и первая цифра (3 или 4 бита) мантиссы объединяются в пять битов, следующих за знаковым битом.

Следующие двенадцать битов являются полем продолжения экспоненты, предоставляющим менее значащие биты экспоненты.

Последние 110 бит представляют собой поле продолжения мантиссы, состоящее из одиннадцати 10-битных деклетов . ^[3] Каждый деклет кодирует три десятичные цифры. ^[3] с использованием кодировки DPD.

Если первые два бита после знакового бита равны «00», «01» или «10», то это старшие биты экспоненты, а три бита после них интерпретируются как старшая десятичная цифра (от 0 до 7). ):

   s 00 TTT (00)eeeeeeeeeeee (0TTT)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt] 
   s 01 TTT (01)eeeeeeeeeeee (0TTT)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt] 
   s 10 TTT (10)eeeeeeeeeeee (0TTT)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt]

Если первые два бита после знакового бита равны «11», то вторые два бита являются старшими битами показателя степени, а последний бит имеет префикс «100», образующий старшую десятичную цифру (8 или 9):

   s 1100 T (00)eeeeeeeeeeee (100T)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt] 
   s 1101 T (01)eeeeeeeeeeee (100T)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt] 
   s 1110 T (10)eeeeeeeeeeee (100T)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt]

Остальные две комбинации (11110 и 11111) 5-битного поля используются для представления ± бесконечности и NaN соответственно.

Транскодирование DPD/3BCD для деклетов представлено в следующей таблице. b9...b0 — биты DPD, а d2…d0 — три цифры BCD.

Плотно упакованные правила десятичной кодировки ^[4]
Кодовое пространство (1024 штата)	б9	б8	b7	б6	б5	б4	б3	б2	б1	б0	d2	d1	д0	Закодированные значения	Описание	События (1000 штатов)
Закодированное значение DPD											Десятичные цифры
50.0% (512 штатов)	а	б	с	д	и	ж	0	г	час	я	0 абв	0 защита	0 гхи	(0–7) (0–7) (0–7)	3 маленькие цифры	51.2% (512 штатов)
37.5% (384 штата)	а	б	с	д	и	ж	1	0	0	я	0 абв	0 защита	100 я	(0–7) (0–7) (8–9)	2 маленькие цифры, 1 большая цифра	38.4% (384 штата)
	а	б	с	г	час	ж	1	0	1	я	0 абв	100 ф	0 гхи	(0–7) (8–9) (0–7)
	г	час	с	д	и	ж	1	1	0	я	100 с	0 защита	0 гхи	(8–9) (0–7) (0–7)
9.375% (96 штатов)	г	час	с	0	0	ж	1	1	1	я	100 с	100 ф	0 гхи	(8–9) (8–9) (0–7)	1 маленькая цифра, 2 большие цифры	9.6% (96 штатов)
	д	и	с	0	1	ж	1	1	1	я	100 с	0 защита	100 я	(8–9) (0–7) (8–9)
	а	б	с	1	0	ж	1	1	1	я	0 абв	100 ф	100 я	(0–7) (8–9) (8–9)
3.125% (32 штата, 8 использовано)	х	х	с	1	1	ж	1	1	1	я	100 с	100 ф	100 я	(8–9) (8–9) (8–9)	3 большие цифры, b9, b8: плевать	0.8% (8 штатов)

Восемь десятичных значений, все цифры которых равны 8 или 9, имеют по четыре кодировки каждое. Биты, отмеченные x в таблице выше, игнорируются при вводе, но в результатах вычислений всегда будут равны 0. ( $8 \times 3 = 24$ нестандартных кодировки заполняют пробел между $103 = 1000$ и $210 = 1024$ .)

В приведенных выше случаях, когда истинная мантисса представляет собой декодированную последовательность десятичных цифр, представленное значение равно

(-1)^{\text{signbit}}\times 10^{{\text{exponentbits}}_{2}-6176_{10}}\times {\text{truesignificand}}_{10}

См. также

ISO/IEC 10967 , Независимая от языка арифметика
Примитивный тип данных
Обозначение Q (научное обозначение)

Ссылки

^ Компьютерное общество IEEE (29 августа 2008 г.). Стандарт IEEE для арифметики с плавающей запятой . ИИЭЭ . doi : 10.1109/IEESTD.2008.4610935 . ISBN 978-0-7381-5753-5 . Стандарт IEEE 754-2008.
^ Коулишоу, Майк (2007). «Часто задаваемые вопросы по десятичной арифметике – Часть 1 – Общие вопросы» . speleotrove.com . Корпорация IBM . Проверено 29 июля 2022 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мюллер, Жан-Мишель; Бризебар, Николя; из Динешена, Флоран; Жаннерод, Клод-Пьер; Лефевр, Винсент; Мелькионд, Гийом; Револь, Натали ; Стеле, Дэмиен; Торрес, Серж (2010). Справочник по арифметике с плавающей запятой (1-е изд.). Биркхойзер . дои : 10.1007/978-0-8176-4705-6 . ISBN 978-0-8176-4704-9 . LCCN 2009939668 .
^ Коулишоу, Майкл Фредерик (13 февраля 2007 г.) [03 октября 2000 г.]. «Краткое описание плотно упакованного десятичного кодирования» . ИБМ . Архивировано из оригинала 24 сентября 2015 г. Проверено 7 февраля 2016 г.

[IEEE-754_2008-1] Компьютерное общество IEEE (29 августа 2008 г.). Стандарт IEEE для арифметики с плавающей запятой . ИИЭЭ . doi : 10.1109/IEESTD.2008.4610935 . ISBN 978-0-7381-5753-5 . Стандарт IEEE 754-2008.

[2] Коулишоу, Майк (2007). «Часто задаваемые вопросы по десятичной арифметике – Часть 1 – Общие вопросы» . speleotrove.com . Корпорация IBM . Проверено 29 июля 2022 г.

[Muller_2010-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мюллер, Жан-Мишель; Бризебар, Николя; из Динешена, Флоран; Жаннерод, Клод-Пьер; Лефевр, Винсент; Мелькионд, Гийом; Револь, Натали ; Стеле, Дэмиен; Торрес, Серж (2010). Справочник по арифметике с плавающей запятой (1-е изд.). Биркхойзер . дои : 10.1007/978-0-8176-4705-6 . ISBN 978-0-8176-4704-9 . LCCN 2009939668 .

[Cowlishaw_2000-4] Коулишоу, Майкл Фредерик (13 февраля 2007 г.) [03 октября 2000 г.]. «Краткое описание плотно упакованного десятичного кодирования» . ИБМ . Архивировано из оригинала 24 сентября 2015 г. Проверено 7 февраля 2016 г.

[1]

[2]

[3]

[4]