формат чисел с плавающей запятой decimal64

В вычислительной технике decimal64 — это с плавающей запятой десятичный компьютерный формат , который занимает 8 байтов (64 бита) в памяти компьютера. Он предназначен для приложений, в которых необходимо точно имитировать десятичное округление, например, для финансовых и налоговых вычислений.

Decimal64 поддерживает 16 десятичных цифр и мантиссы диапазон показателей от -383 до +384, т.е. ±0,000 000 000 000 000 × 10 ^ ⁻³⁸³ до ±9,999 999 999 999 999 × 10 ^ ³⁸⁴. (Эквивалентно, ±0 000 000 000 000 000 × 10 ^ ⁻³⁹⁸ до ±9 999 999 999 999 999 × 10 ^ ³⁶⁹.) Напротив, соответствующий двоичный формат, который является наиболее часто используемым типом, имеет приблизительный диапазон ±0,000 000 000 000 001 × 10 ^ ⁻³⁰⁸ до ±1,797 693 134 862 315 × 10 ^ ³⁰⁸. Поскольку мантисса не нормализована, большинство значений с числом значащих цифр менее 16 имеют несколько возможных представлений; 1 × 10 ²= 0.1 × 10 ³= 0.01 × 10 ⁴и т. д. Ноль имеет 768 возможных представлений (1536, если оба знаковых нуля включены ).

Decimal64 с плавающей запятой — относительно новый формат десятичных чисел с плавающей запятой, официально представленный в версии 2008 года. ^{[ 1 ]} IEEE 754 , а также ISO/IEC/IEEE 60559:2011 . ^{[ 2 ]}

Представление десятичных значений64

Знак	Комбинация	Значимое и продолжение
1 бит	13 бит	50 бит
с	мммммммммммм	cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

IEEE 754 допускает два альтернативных метода представления десятичных значений64. Стандарт не определяет, как указать, какое представление используется, например, в ситуации, когда значения decimal64 передаются между системами:

В методе двоичного представления 16-значная мантисса представляется как положительное целое число в двоичном коде, основанное на десятичном двоичном целом (BID).
В методе десятичного представления 16-значная мантисса представляется как положительное целое число с десятичной кодировкой, основанное на плотно упакованной десятичной дроби (DPD) с 5 группами по 3 цифры (кроме самой старшей цифры, закодированной специально), каждая из которых представлена в десятичных числах (10 -битовые последовательности). Это довольно эффективно, потому что 2 ¹⁰ = 1024, это лишь немногим больше, чем необходимо, чтобы содержать все числа от 0 до 999.

Обе альтернативы предоставляют одинаковый диапазон представимых чисел: 16 цифр мантиссы и $3 \times 2. 8 = 768$ возможных значений десятичной степени. (Все возможные значения десятичных показателей, хранящиеся в двоичном числе 64 , могут быть представлены в десятичном формате 64, и большинство битов мантиссы двоичного числа 64 сохраняются с примерно одинаковым количеством десятичных цифр в мантиссе.)

В обоих случаях старшие 4 бита мантиссы (которые на самом деле имеют только 10 возможных значений) объединяются со старшими 2 битами экспоненты (3 возможных значения), чтобы использовать 30 из 32 возможных значений 5-битного числа. поле. Остальные комбинации кодируют бесконечности и NaN .

Комбинированное поле	Экспонента	Значимое число Мбитов	Другой
00мммммммммм	00xxxxxxxxx	0cc	—
01мммммммммм	01хххххххх	0cc	—
10мммммммммммм	10хххххххх	0cc	—
1100мммммммммм	00xxxxxxxxx	100с	—
1101мммммммммм	01хххххххх	100с	—
1110мммммммммм	10хххххххх	100с	—
11110мммммммм	—	—	±Infinity
11111мммммммм	—	—	НаН . Знаковый бит игнорируется. Шестой бит поля комбинации определяет, передает ли сигнал NaN.

В случаях Infinity и NaN все остальные биты кодировки игнорируются. Таким образом, можно инициализировать массив значениями Infinities или NaN, заполнив его однобайтовым значением.

Поле двоичного целочисленного значения

В этом формате используется двоичное значение от 0 до $10. 16 - 1 = 9999999999999999 = 2386F26FC0FFFF 16 = 1000111000011011110010011011111100000011111111111111112 .$

Кодировка, полностью хранящаяся в 64 битах, может представлять двоичные значения до $10 \times 2. 50 - 1 = 11258999068426239 = 27FFFFFFFFFFFF 16,$ но значения больше $1016 - 1$ недопустимы (и стандарт требует, чтобы реализации обрабатывали их как 0, если они встречаются на входе).

Как описано выше, кодирование варьируется в зависимости от того, находятся ли старшие 4 бита мантиссы в диапазоне от 0 до 7 (от 0000 ₂ до 0111 ₂ ) или выше (1000 ₂ или 1001 ₂ ).

Если 2 после знакового бита равны «00», «01» или «10», то поле показателя степени состоит из 10 бит , следующих за знаковым битом, а мантисса — это оставшиеся 53 бита с неявным ведущим битом 0. :

s 00eeeeeeee   (0)ttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt
s 01eeeeeeee   (0)ttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt
s 10eeeeeeee   (0)ttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt

Сюда входят субнормальные числа , у которых старшая значащая цифра равна 0.

Если 2 бита после знакового бита равны «11», то 10-битное поле показателя степени сдвигается на 2 бита вправо (как после знакового бита, так и после бита «11»), а представленная мантисса находится в оставшейся части. 51 бит . В этом случае существует неявная (то есть не сохраненная) ведущая 3-битная последовательность «100» для большинства бит истинной мантиссы (в остальных младших битах ttt...ttt мантиссы не все возможные значения являются использовал).

s 1100eeeeeeee (100)t tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt
s 1101eeeeeeee (100)t tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt
s 1110eeeeeeee (100)t tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt

имеется неявный 2-битная последовательность «11» после знакового бита указывает на то, что к мантиссе 3-битный префикс «100». Сравните наличие неявного 1-битного префикса «1» в мантиссе нормальных значений для двоичных форматов. Двухбитовые последовательности «00», «01» или «10» после знакового бита являются частью поля показателя степени.

Старшие биты поля мантиссы не кодируют старшую десятичную цифру; они просто являются частью большего чисто двоичного числа. Например, мантисса 8 000 000 000 000 000 кодируется как двоичная 0111 0001101011 1111010100 1001100011 0100000000 0000000000 ₂ с ведущими 4 битами , кодирующими 7; первая мантисса, для которой требуется 54-й бит, равна $253 = 9007199254740992 .$ Самый высокий действительный значащий номер — 9 999 999 999 999 999 , двоичная кодировка которого равна (100)0 1110000110 1111001001 1011111100 0000111111 1111111111 ₂ (при этом 3 старших бита (100) не сохраняются, но неявно, как показано выше; а следующий бит всегда равен нулю в допустимых кодировках).

В приведенных выше случаях представленное значение равно

(-1) знак \times 10 показатель степени -398 \times мантисса

Если четыре бита после знакового бита равны «1111», то значение равно бесконечности или NaN, как описано выше:

0 11110 xx...x    +infinity
1 11110 xx...x    -infinity
x 11111 0x...x    a quiet NaN
x 11111 1x...x    a signalling NaN

Плотно упакованное десятичное поле значащего значения

В этой версии мантисса хранится в виде последовательности десятичных цифр. Старшая цифра находится в диапазоне от 0 до 9 (3 или 4 двоичных бита), а остальная часть мантиссы использует плотно упакованную десятичную кодировку (DPD).

Два ведущих бита экспоненты и первая цифра (3 или 4 бита ) мантиссы объединяются в пять битов, следующих за знаковым битом.

Следующие восемь битов являются полем продолжения экспоненты, предоставляющим менее значащие биты экспоненты.

Последние 50 бит представляют собой поле продолжения мантиссы, состоящее из пяти 10-битных деклетов . ^{[ 3 ]} Каждый деклет кодирует три десятичные цифры. ^{[ 3 ]} с использованием кодировки DPD.

Если первые два бита после знакового бита равны «00», «01» или «10», то это старшие биты экспоненты, а три бита «TTT» после этого интерпретируются как первая десятичная цифра ( от 0 до 7):

s 00 TTT (00)eeeeeeee (0TTT)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt]
s 01 TTT (01)eeeeeeee (0TTT)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt]
s 10 TTT (10)eeeeeeee (0TTT)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt]

Если первые два бита после знакового бита равны «11», то вторые 2 бита являются старшими битами показателя степени, а к следующему биту «T» добавляются неявные биты «100», образующие старшую десятичную цифру ( 8 или 9):

s 1100 T (00)eeeeeeee (100T)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt]
s 1101 T (01)eeeeeeee (100T)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt]
s 1110 T (10)eeeeeeee (100T)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt]

Остальные две комбинации (11 110 и 11 111) 5-битного поля после знакового бита используются для представления ±бесконечности и NaN соответственно.

Транскодирование DPD/3BCD для деклетов представлено в следующей таблице. b9...b0 — биты DPD, а d2…d0 — три цифры BCD.

Плотно упакованные правила десятичной кодировки ^{[ 4 ]}
Кодовое пространство (1024 штата)	б9	б8	b7	б6	б5	б4	б3	б2	б1	б0	d2	d1	д0	Закодированные значения	Описание	События (1000 штатов)
Закодированное значение DPD											Десятичные цифры
50.0% (512 штатов)	а	б	с	д	и	ж	0	г	час	я	0 абв	0 защита	0 гхи	(0–7) (0–7) (0–7)	3 маленькие цифры	51.2% (512 штатов)
37.5% (384 штата)	а	б	с	д	и	ж	1	0	0	я	0 абв	0 защита	100 я	(0–7) (0–7) (8–9)	2 маленькие цифры, 1 большая цифра	38.4% (384 штата)
	а	б	с	г	час	ж	1	0	1	я	0 абв	100 ф	0 гхи	(0–7) (8–9) (0–7)
	г	час	с	д	и	ж	1	1	0	я	100 с	0 защита	0 гхи	(8–9) (0–7) (0–7)
9.375% (96 штатов)	г	час	с	0	0	ж	1	1	1	я	100 с	100 ф	0 гхи	(8–9) (8–9) (0–7)	1 маленькая цифра, 2 большие цифры	9.6% (96 штатов)
	д	и	с	0	1	ж	1	1	1	я	100 с	0 защита	100 я	(8–9) (0–7) (8–9)
	а	б	с	1	0	ж	1	1	1	я	0 абв	100 ф	100 я	(0–7) (8–9) (8–9)
3.125% (32 штата, 8 использовано)	х	х	с	1	1	ж	1	1	1	я	100 с	100 ф	100 я	(8–9) (8–9) (8–9)	3 большие цифры, b9, b8: плевать	0.8% (8 штатов)

Восемь десятичных значений, все цифры которых равны 8 или 9, имеют по четыре кодировки каждое. Биты, отмеченные x в таблице выше, игнорируются при вводе, но в результатах вычислений всегда будут равны 0. ( $8 \times 3 = 24$ нестандартных кодировки заполняют пробел между $103 = 1000 и 2 10 = 1024.$ )

В приведенных выше случаях, когда истинная мантисса представляет собой декодированную последовательность десятичных цифр, представленное значение равно

(-1)^{\text{signbit}}\times 10^{{\text{exponentbits}}_{2}-398_{10}}\times {\text{truesignificand}}_{10}

См. также

ISO/IEC 10967 , Независимая от языка арифметика
Примитивный тип данных
Обозначение D (научное обозначение)

Ссылки

^ Компьютерное общество IEEE (29 августа 2008 г.). Стандарт IEEE для арифметики с плавающей запятой . ИИЭЭ . дои : 10.1109/IEESTD.2008.4610935 . ISBN 978-0-7381-5753-5 . Стандарт IEEE 754-2008 . Проверено 8 февраля 2016 г.
^ «ИСО/МЭК/ИИЭР 60559:2011» . 2011 . Проверено 8 февраля 2016 г. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
^ Jump up to: ^а ^б Мюллер, Жан-Мишель; Бризебар, Николя; из Динешена, Флоран; Жаннерод, Клод-Пьер; Лефевр, Винсент; Мелькионд, Гийом; Револь, Натали ; Штеле, Дэмиен; Торрес, Серж (2010). Справочник по арифметике с плавающей запятой (1-е изд.). Биркхойзер . дои : 10.1007/978-0-8176-4705-6 . ISBN 978-0-8176-4704-9 . LCCN 2009939668 .
^ Коулишоу, Майкл Фредерик (13 февраля 2007 г.) [03 октября 2000 г.]. «Краткое описание плотно упакованного десятичного кодирования» . ИБМ . Архивировано из оригинала 24 сентября 2015 г. Проверено 7 февраля 2016 г.

[IEEE-754_2008-1] Компьютерное общество IEEE (29 августа 2008 г.). Стандарт IEEE для арифметики с плавающей запятой . ИИЭЭ . дои : 10.1109/IEESTD.2008.4610935 . ISBN 978-0-7381-5753-5 . Стандарт IEEE 754-2008 . Проверено 8 февраля 2016 г.

[ISO-60559_2011-2] «ИСО/МЭК/ИИЭР 60559:2011» . 2011 . Проверено 8 февраля 2016 г. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )

[Muller_2010-3] Jump up to: ^а ^б Мюллер, Жан-Мишель; Бризебар, Николя; из Динешена, Флоран; Жаннерод, Клод-Пьер; Лефевр, Винсент; Мелькионд, Гийом; Револь, Натали ; Штеле, Дэмиен; Торрес, Серж (2010). Справочник по арифметике с плавающей запятой (1-е изд.). Биркхойзер . дои : 10.1007/978-0-8176-4705-6 . ISBN 978-0-8176-4704-9 . LCCN 2009939668 .

[Cowlishaw_2000-4] Коулишоу, Майкл Фредерик (13 февраля 2007 г.) [03 октября 2000 г.]. «Краткое описание плотно упакованного десятичного кодирования» . ИБМ . Архивировано из оригинала 24 сентября 2015 г. Проверено 7 февраля 2016 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]