Теорема Прайда – Чезаро

В математике теорема Штольца-Чезаро является критерием доказательства сходимости последовательности . Оно названо в честь математиков Отто Штольца и Эрнесто Чезаро , которые впервые сформулировали и доказали его.

Теорему Штольца-Чезаро можно рассматривать как обобщение среднего значения Чезаро , а также как правило Лопиталя для последовательностей.

Формулировка теоремы для */∞ случая

Позволять $(a_{n})_{n\geq 1}$ и $(b_{n})_{n\geq 1}$ быть двумя последовательностями действительных чисел . Предположим, что $(b_{n})_{n\geq 1}$ является строго монотонной и расходящейся последовательностью (т.е. строго возрастающей и приближающейся $+\infty$, или строго уменьшаясь и приближаясь $-\infty$) и существует следующий предел :

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\$

Тогда предел

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\$

Формулировка теоремы для 0/0 случая

Позволять $(a_{n})_{n\geq 1}$ и $(b_{n})_{n\geq 1}$ быть двумя последовательностями действительных чисел . Предположим теперь, что $(a_{n})\to 0$ и $(b_{n})\to 0$ пока $(b_{n})_{n\geq 1}$ уменьшается строго . Если

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l,\$

затем

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\$

Доказательства

Доказательство теоремы для */∞ случая

Случай 1: предположим $(b_{n})$ строго возрастающая и расходящаяся $+\infty$, и $-\infty <l<\infty$. По гипотезе мы имеем это для всех $\epsilon /2>0$ существует $\nu >0$ такой, что $\forall n>\nu$

$\left|\,{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-l\,\right|<{\frac {\epsilon }{2}},$

то есть

$l-\epsilon /2<{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<l+\epsilon /2,\quad \forall n>\nu .$

С $(b_{n})$ строго возрастает, $b_{n+1}-b_{n}>0$, и справедливо следующее

$(l-\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n})<a_{n+1}-a_{n}<(l+\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n}),\quad \forall n>\nu$.

Далее мы замечаем, что

$a_{n}=[(a_{n}-a_{n-1})+\dots +(a_{\nu +2}-a_{\nu +1})]+a_{\nu +1}$

таким образом, применяя приведенное выше неравенство к каждому из слагаемых в квадратных скобках, получаем

${\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}.\end{aligned}}$

Теперь, поскольку $b_{n}\to +\infty$ как $n\to \infty$, есть $n_{0}>0$ такой, что $b_{n}>0$ для всех $n>n_{0}$, и мы можем разделить два неравенства на $b_{n}$ для всех $n>\max\{\nu ,n_{0}\}$

$(l-\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l-\epsilon /2)}{b_{n}}}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l+\epsilon /2)}{b_{n}}}.$

Две последовательности (которые определены только для $n>n_{0}$ как может быть $N\leq n_{0}$ такой, что $b_{N}=0$)

$c_{n}^{\pm }:={\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}$

бесконечно малы, поскольку $b_{n}\to +\infty$ а числитель — постоянное число, следовательно, для всех $\epsilon /2>0$ существует $n_{\pm }>n_{0}>0$, такой, что

${\begin{aligned}&|c_{n}^{+}|<\epsilon /2,\quad \forall n>n_{+},\\&|c_{n}^{-}|<\epsilon /2,\quad \forall n>n_{-},\end{aligned}}$

поэтому

$l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{n}^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{n}^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>\max \lbrace \nu ,n_{\pm }\rbrace =:N>0,$

что завершает доказательство. Случай с $(b_{n})$ строго убывающая и расходящаяся $-\infty$, и $l<\infty$ похож.

Случай 2: мы предполагаем $(b_{n})$ строго возрастающая и расходящаяся $+\infty$, и $l=+\infty$. Продолжаем, как и прежде, для всех $2M>0$ существует $\nu >0$ такой, что для всех $n>\nu$

${\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M.$

Опять же, применяя приведенное выше неравенство к каждому из членов в квадратных скобках, мы получаем

$a_{n}>2M(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1},\quad \forall n>\nu ,$

и

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}},\quad \forall n>\max\{\nu ,n_{0}\}.$

Последовательность $(c_{n})_{n>n_{0}}$ определяется

$c_{n}:={\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}}$

бесконечно мало, поэтому

$\forall M>0\,\exists {\bar {n}}>n_{0}>0{\text{ such that }}-M<c_{n}<M,\,\forall n>{\bar {n}},$

объединяя это неравенство с предыдущим, заключаем

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{n}>M,\quad \forall n>\max\{\nu ,{\bar {n}}\}=:N.$

Доказательства остальных случаев с $(b_{n})$ строго возрастающая или убывающая и приближающаяся $+\infty$ или $-\infty$ соответственно и $l=\pm \infty$ все происходит таким же образом.

Доказательство теоремы для 0/0. случая

Случай 1: сначала рассмотрим случай с $l<\infty$ и $(b_{n})$ строго убывающая. На этот раз для каждого $\nu >0$, мы можем написать

$a_{n}=(a_{n}-a_{n+1})+\dots +(a_{n+\nu -1}-a_{n+\nu })+a_{n+\nu },$

и для любого $\epsilon /2>0,$ $\exists n_{0}$ такой, что для всех $n>n_{0}$ у нас есть

${\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }.\end{aligned}}$

Две последовательности

$c_{\nu }^{\pm }:={\frac {a_{n+\nu }-b_{n+\nu }(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}$

бесконечно малы, поскольку по условию $a_{n+\nu },b_{n+\nu }\to 0$ как $\nu \to \infty$, таким образом, для всех $\epsilon /2>0$ есть $\nu _{\pm }>0$ такой, что

${\begin{aligned}&|c_{\nu }^{+}|<\epsilon /2,\quad \forall \nu >\nu _{+},\\&|c_{\nu }^{-}|<\epsilon /2,\quad \forall \nu >\nu _{-},\end{aligned}}$

таким образом, выбирая $\nu$ соответствующим образом (то есть, принимая предел по отношению к $\nu$) получаем

$l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{\nu }^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{\nu }^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>n_{0}$

что завершает доказательство.

Случай 2: мы предполагаем $l=+\infty$ и $(b_{n})$ строго убывающая. Для всех $2M>0$ существует $n_{0}>0$ такой, что для всех $n>n_{0},$

${\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M\implies a_{n}-a_{n+1}>2M(b_{n}-b_{n+1}).$

Следовательно, для каждого $\nu >0,$

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}},\quad \forall n>n_{0}.$

Последовательность

$c_{\nu }:={\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}}$

сходится к $0$ (сохраняя $n$ зафиксированный). Следовательно

$\forall M>0\,~\exists {\bar {\nu }}>0$ такой, что $-M<c_{\nu }<M,\,\forall \nu >{\bar {\nu }},$

и, выбрав $\nu$ удобно, завершаем доказательство

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{\nu }>M,\quad \forall n>n_{0}.$

Приложения и примеры

Теорема, касающаяся случая ∞/∞, имеет несколько примечательных следствий, полезных при вычислении пределов.

Среднее арифметическое

Позволять $(x_{n})$ — последовательность действительных чисел, сходящаяся к $l$, определять

$a_{n}:=\sum _{m=1}^{n}x_{m}=x_{1}+\dots +x_{n},\quad b_{n}:=n$

затем $(b_{n})$ строго возрастает и расходится к $+\infty$. Мы вычисляем

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=l$

поэтому

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Учитывая любую последовательность $(x_{n})_{n\geq 1}$ действительных чисел, предположим, что

$\lim _{n\to \infty }x_{n}$

существует (конечное или бесконечное), то

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Среднее геометрическое

Позволять $(x_{n})$ быть последовательностью положительных действительных чисел, сходящейся к $l$ и определить

$a_{n}:=\log(x_{1}\cdots x_{n}),\quad b_{n}:=n,$

снова мы вычисляем

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}{\frac {x_{1}\cdots x_{n+1}}{x_{1}\cdots x_{n}}}{\Big )}=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n+1})=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n})=\log(l),$

где мы использовали тот факт, что логарифм непрерывен. Таким образом

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\log(x_{1}\cdots x_{n})}{n}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}{\Big )}=\log(l),$

поскольку логарифм непрерывен и инъективен, мы можем заключить, что

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}$.

Учитывая любую последовательность $(x_{n})_{n\geq 1}$ (строго) положительных действительных чисел, предположим, что

$\lim _{n\to \infty }x_{n}$

существует (конечное или бесконечное), то

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Предположим, нам дана последовательность $(y_{n})_{n\geq 1}$ и нас просят вычислить

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}},$

определение $y_{0}=1$ и $x_{n}=y_{n}/y_{n-1}$ мы получаем

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {y_{1}\dots y_{n}}{y_{0}\cdot y_{1}\dots y_{n-1}}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}},$

если мы применим свойство выше

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n}}{y_{n-1}}}.$

Эта последняя форма обычно наиболее полезна для вычисления пределов.

Учитывая любую последовательность $(y_{n})_{n\geq 1}$ (строго) положительных действительных чисел, предположим, что

$\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}$

существует (конечное или бесконечное), то

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}.$

Примеры

Пример 1

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}=1.$

Пример 2

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)!(n^{n})}{n!(n+1)^{n+1}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{(1+{\frac {1}{n}})^{n}}}={\frac {1}{e}}\end{aligned}}$

где мы использовали представление $e$ как предел последовательности .

История

Случай ∞/∞ изложен и доказан на страницах 173–175 книги Штольца 1885 года, а также на странице 54 статьи Чезаро 1888 года.

Она появляется как задача 70 у Полиа и Сегё (1925).

Общая форма

Заявление

Общая форма теоремы Штольца – Чезаро следующая: Если $(a_{n})_{n\geq 1}$ и $(b_{n})_{n\geq 1}$ две последовательности такие, что $(b_{n})_{n\geq 1}$ монотонно и неограниченно, то:

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.$

Доказательство

Вместо доказательства предыдущего утверждения мы докажем несколько другое; сначала введем обозначения: пусть $(a_{n})_{n\geq 1}$ — любая последовательность, ее частичная сумма будет обозначаться через $A_{n}:=\sum _{m\geq 1}^{n}a_{m}$. Эквивалентное утверждение, которое мы докажем, таково:

Позволять $(a_{n})_{n\geq 1},(b_{n})_{\geq 1}$ любые две последовательности действительных чисел такие, что

• $b_{n}>0,\quad \forall n\in {\mathbb {Z} }_{>0}$,
• $\lim _{n\to \infty }B_{n}=+\infty$,

затем

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}.$

Доказательство эквивалентного утверждения

Сначала мы замечаем, что:

• $\liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}$ сохраняется по определению предела верхнего и нижнего предела ;
• $\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}$ имеет место тогда и только тогда, когда $\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ потому что $\liminf _{n\to \infty }x_{n}=-\limsup _{n\to \infty }(-x_{n})$ для любой последовательности $(x_{n})_{n\geq 1}$.

Поэтому нам нужно только показать, что $\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$. Если $L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty$ доказывать нечего, поэтому можно предположить $L<+\infty$ (оно может быть либо конечным, либо $-\infty$). По определению $\limsup$, для всех $l>L$ есть натуральное число $\nu >0$ такой, что

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l,\quad \forall n>\nu .$

Мы можем использовать это неравенство, чтобы написать

$A_{n}=A_{\nu }+a_{\nu +1}+\dots +a_{n}<A_{\nu }+l(B_{n}-B_{\nu }),\quad \forall n>\nu ,$

Потому что $b_{n}>0$, у нас также есть $B_{n}>0$ и мы можем разделить на $B_{n}$ получить

${\frac {A_{n}}{B_{n}}}<{\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}+l,\quad \forall n>\nu .$

С $B_{n}\to +\infty$ как $n\to +\infty$, последовательность

${\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}\to 0{\text{ as }}n\to +\infty {\text{ (keeping }}\nu {\text{ fixed)}},$

и мы получаем

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq l,\quad \forall l>L,$

По определению наименьшей верхней границы это в точности означает, что

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}},$

и мы закончили.

Доказательство исходного утверждения

Теперь возьми $(a_{n}),(b_{n})$ как в формулировке общего вида теоремы Штольца-Чезаро и определим

$\alpha _{1}=a_{1},\alpha _{k}=a_{k}-a_{k-1},\,\forall k>1\quad \beta _{1}=b_{1},\beta _{k}=b_{k}-b_{k-1}\,\forall k>1$

с $(b_{n})$ строго монотонно (можно, например, считать строго возрастающим), $\beta _{n}>0$ для всех $n$ и поскольку $b_{n}\to +\infty$ также $\mathrm {B} _{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+\dots +(b_{n}-b_{n-1})=b_{n}\to +\infty$, таким образом, мы можем применить только что доказанную теорему к $(\alpha _{n}),(\beta _{n})$ (и их частичные суммы $(\mathrm {A} _{n}),(\mathrm {B} _{n})$)

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\mathrm {A} _{n}}{\mathrm {B} _{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}},$

именно это мы и хотели доказать.

Ссылки

• Мурешан, Мариан (2008), Конкретный подход к классическому анализу , Берлин: Springer, стр. 85–88, ISBN  978-0-387-78932-3 .
• Штольц, Отто (1885), Лекции по общей арифметике: согласно новейшим взглядам , Лейпциг: Тойбнерс, стр. 173–175 .
• Чезаро, Эрнесто (1888), «О сходимости рядов», Новые анналы математики , Серия 3, 7 : 49–59 .
• Полиа, Джордж ; Сегё, Габор (1925), Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis , vol. Я, Берлин: Шпрингер .
• АДР Чоудари, Константин Никулеску: Реальный анализ на интервалах . Спрингер, 2014 г., ISBN   9788132221487 , стр. 59–62.
• Дж. Маршалл Эш, Аллан Береле, Стефан Катойу: Правдоподобные и подлинные расширения правила Лопиталя . Математический журнал, Vol. 85, № 1 (февраль 2012 г.), стр. 52–60 ( JSTOR )

Внешние ссылки

• Правило Лопиталя и теорема Штольца-Чезаро на imomath.com
• Доказательство теоремы Штольца – Чезаро на PlanetMath .

Примечания

Эта статья включает в себя материал из теоремы Штольца-Чезаро по PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .