Точка Штейнера (треугольник)

В геометрии треугольника — точка Штейнера это особая точка, связанная с треугольником . Это центр треугольника и он обозначен как центр X(99) в Кларка Кимберлинга Энциклопедии центров треугольников . Якоб Штайнер (1796–1863), швейцарский математик, описал эту точку в 1826 году. Имя Штайнера этой точке дал Йозеф Нойберг в 1886 году.

Определение

Построение точки Штейнера.

  Треугольник АВС

  Треугольник A'B'C' ( треугольник Брокара из ABC )

  Описанная окружность треугольника ABC с центром О.

  Окружность Брокара треугольника ABC

Линии, совпадающие в точке Штейнера:

  L _A : линия, проходящая через A параллельно B'C'

  L _B : линия, проходящая через B, параллельна C'A'.

  L _C : линия, проходящая через C, параллельна A'B'.

Точка Штейнера определяется следующим образом. (Штайнер определил это не так. )

Пусть ABC — произвольный треугольник. Пусть O — центр описанной окружности , а K — точка симедианы треугольника ABC . Окружность с треугольника ОК диаметром Брокара — это окружность ABC . Прямая, проходящая через О, перпендикулярно прямой BC, пересекает окружность Брокара в другой точке А' . Прямая, проходящая через О, перпендикулярно прямой CA, пересекает окружность Брокара в другой точке B' . Прямая, проходящая через точку О, перпендикулярная прямой АВ, пересекает окружность Брокара в другой точке С' . (Треугольник A’B’C’ — это треугольник Брокара треугольника ABC .) Пусть L _A – линия, проходящая через A, параллельная прямой B’C’ , L _B – линия, проходящая через B, параллельная прямой C’A’ и L _C — линия, проходящая через C, параллельная линии A'B' . три линии L _A , L _B и L _C совпадают Тогда . Точкой совпадения является точка Штейнера треугольника ABC .

В Энциклопедии центров треугольников точка Штейнера определяется следующим образом;

Альтернативная конструкция точки Штейнера

Пусть ABC — произвольный треугольник. Пусть O — центр описанной окружности , а K — точка симедианы треугольника ABC . Пусть l _A будет отражением линии OK в линии BC , l _B будет отражением линии OK в линии CA и l _C будет отражением линии OK в линии AB . Пусть прямые l _B и l _C пересекаются в точке A″ , прямые l _C и l _A пересекаются в точке B″ , а прямые l _A и l _B пересекаются в точке C″ . Тогда линии AA″ , BB″ и CC″ совпадают. Точкой совпадения является точка Штейнера треугольника ABC .

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты точки Штейнера приведены ниже.

⁠ $bc/(b^{2}-c^{2}):ca/(c^{2}-a^{2}):ab/(a^{2}-b^{2})$⁠

⁠ $=b^{2}c^{2}\csc(b-C):c^{2}a^{2}\csc(c-a):a^{2}b^{2}\csc(a-b)$⁠

Характеристики

1. Эллипс описанный Штейнером треугольника ABC , также называемый эллипсом Штейнера, представляет собой эллипс наименьшей площади, проходящий через вершины A , B и C. , Точка Штейнера треугольника ABC лежит на эллипсе, описанном Штейнером треугольника ABC .
2. Канадский математик Росс Хонсбергер установил следующее как свойство точки Штейнера: Точка Штейнера треугольника — это центр масс системы, полученный путем подвешивания в каждой вершине массы, равной величине внешнего угла в этой вершине. Центром масс такой системы фактически является не точка Штейнера, а центр тяжести кривизны Штейнера , имеющий трилинейные координаты $\left({\frac {\pi -A}{a}}:{\frac {\pi -B}{b}}:{\frac {\pi -C}{c}}\right)$. Это центр треугольника, обозначенный в Энциклопедии центров треугольников как X(1115) .
3. Линия Симсона точки Штейнера треугольника ABC параллельна линии OK , где O — центр описанной окружности, а K — точка симмедианы треугольника ABC .

Тарри-Пойнт

Линия, проходящая через A , перпендикулярная B'C' , линия, проходящая через B, перпендикулярная C'A' , и линия, проходящая через C, перпендикулярная A'B', совпадают в точке Тарри.

Точка Тарри треугольника тесно связана с точкой Штейнера треугольника. Пусть ABC — произвольный треугольник. Точка на описанной окружности треугольника ABC, диаметрально противоположная точке Штейнера треугольника ABC, называется точкой Тарри треугольника ABC . обозначена как центр X(98) Точка Тарри представляет собой центр треугольника и в Энциклопедии центров треугольников . Трилинейные координаты точки Тарри приведены ниже:

⁠ $\sec(A+\omega ):\sec(B+\omega ):\sec(C+\omega )=f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)$⁠

где ω — угол Брокара треугольника ABC.

и ⁠ $f(a,b,c)={\frac {bc}{b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-a^{2}c^{2}}}$⁠

Подобно определению точки Штейнера, точку Тарри можно определить следующим образом:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Пусть A'B'C' — треугольник Брокара треугольника ABC . Пусть L _A будет линией, проходящей через A , перпендикулярной линии B'C' , L _B будет линией, проходящей через B , перпендикулярной линии C'A' , а LC _C будет линией, проходящей через , перпендикулярной линии A'B' . три линии L _A , L _B и L _C совпадают Тогда . Точкой совпадения является точка Тарри треугольника ABC .