Стреле строительство

Конструкция Стреле представляет собой геометрический метод определения длины ряда вибрирующих струн с одинаковым диаметром и натяжением для получения высоты звука в определенной рациональной темперированной музыкальной настройке . Впервые он был опубликован в « Записках Шведской королевской академии наук» за 1743 год шведским мастером- Даниэлем органистом Строле (1700–1746). Секретарь Академии Якоб Фагот приложил к статье неверно рассчитанный набор тонов, и эти цифры были воспроизведены Фридрихом Вильгельмом Марпургом в книге «Veruch über die musikalische Temperatur » в 1776 году. В нескольких немецких учебниках, опубликованных около 1800 года, сообщается, что ошибка была впервые обнаружена Кристлибом Бенедиктом Функтом. в 1779 году, но на само строительство, похоже, не обращали особого внимания до середины двадцатого века, когда Теоретик настройки Дж. Мюррей Барбур представил его как хороший метод аппроксимации равного темперамента и аналогичных экспонент малых корней и обобщил лежащие в его основе математические принципы.

Он стал известен как устройство для создания резных музыкальных инструментов благодаря статьям математиков Яна Стюарта и Исаака Джейкоба Шёнберга и хвалится ими как уникальное и удивительно элегантное решение, разработанное необразованным мастером.

Название «Strähle», использованное в недавних англоязычных работах, по-видимому, возникло из-за ошибки транскрипции в тексте Марпурга, где выпуклое кольцо было заменено старомодным диакритическим знаком «е». ^{[ 1 ]}

Фон

Даниэль П. Строле занимался изготовлением органов в центральной Швеции во второй четверти восемнадцатого века. Он работал подмастерьем у известного стокгольмского производителя органов Йохана Никласа Кахмана, и в 1741 году, через четыре года после смерти Кахмана, Строле получил привилегию на изготовление органов. Согласно системе, действовавшей в то время в Швеции, привилегия, предоставленная монополия, которой владели лишь несколько наиболее авторитетных производителей каждого типа музыкальных инструментов, давала ему законное право изготавливать и ремонтировать органы, а также для обучения и проверки рабочих, а также служило гарантией качества работы и образования мастера. ^{[ 2 ]} Его орган 1743 года хранится в первоначальном состоянии в часовне дворца Стрёмсхольм ; ^{[ 3 ]} он также известен как мастер клавикордов , а известный образец с необычной струнной гаммой и конструкцией, подписанный им и датированный 1738 годом, принадлежит Стокгольмскому музыкальному музею . ^{[ 4 ]} Среди его учеников были его племянник Петтер Строле и Йонас Грен, партнеры знаменитой стокгольмской компании по производству органов Gren & Stråhle. ^{[ 5 ]} и, согласно Аврааму Абрахамссону Хюльферсу в его книге «История музыки и инструментов», опубликованной в 1773 году, Страле сам изучал механику (которая, как предполагалось, включала математику). ^{[ 6 ]}) с членом-основателем Шведской академии наук Кристофером Полхемом . ^{[ 7 ]} Он умер в 1746 году в Лёвстабруке на севере Уппландии.

Строле опубликовал свою конструкцию как «новое изобретение для определения темперамента при настройке звуков клавикордов и подобных инструментов» в статье, опубликованной в четвертом томе трудов недавно созданной Шведской королевской академии наук. включены статьи выдающихся ученых и членов Академии Полхема, Карла Линнея , Карла Фредрика Меннандера , Августина Эренсварда и Самуэля Клингеншерна . По словам органолога Евы Хелениус, музыкальная настройка была предметом интенсивных дебатов в Академии в 1740-х годах. ^{[ 8 ]} и хотя сам Штроле не был ее членом, это была третья статья на практические музыкальные темы, опубликованная Академией - первые две были написаны любительским мастером музыкальных инструментов, министром и членом Академии Нильсом Брелином. ^{[ 9 ]} какие изобретения касались клавесинов и клавикордов. ^{[ 10 ]}

Строле писал в своей статье, что он разработал этот метод «некоторыми размышлениями и большим количеством попыток» с целью создания меры длины струн в темпераменте, который он описал как то, что делает темперирование («sväfningar «) самый мягкий для уха, а также наиболее полезный и равномерный порядок звуков. Его инструкции производят нерегулярную настройку с диапазоном темперированных интервалов, аналогичную более известным настройкам, опубликованным в тот же период, но он не предоставил никаких дополнительных комментариев или описаний самой настройки; сегодня это обычно считается проявлением равного темперамента . ^{[ 11 ]} Он также не уточнил никаких преимуществ своей конструкции, которая позволяет давать точные и повторяемые результаты без вычислений и измерений, используя только линейку и делители; он описал конструкцию всего за пять шагов, и она менее итеративна, чем арифметические методы, описанные методом Дома Бедоса де Селлеса для определения длины органной трубы только по интонации или Винченцо Галилея для определения положения ладов струны в приблизительно равной темперации, а также геометрические методы, такие как те, которые описаны Джозеффо Зарлино и Марином Мерсенном, — все они гораздо более известны, чем Штроле. В заключение Строле заявил, что он применил эту систему к клавикорду, хотя настройку, а также метод определения набора длин звучания можно использовать для многих других музыкальных инструментов, но мало свидетельств того, что она была применена в более широком смысле. широко распространенная практика, кроме двух примеров, описанных в статье, местонахождение которых сегодня неизвестно.

Строительство

Строле поручил сначала нарисовать отрезок QR удобной длины, разделенный на двенадцать равных частей, с точками, обозначенными от I до XIII. Затем QR используется в качестве основания равнобедренного треугольника со сторонами OQ и OR в два раза длиннее QR и лучами, проведенными из вершины O через каждую из пронумерованных точек основания. проводится линия Наконец, из вершины R под углом через точку P на противоположной стороне треугольника в семи единицах от Q к точке M , расположенной на расстоянии в два раза большем от R чем P. , Длина МР дает длину самого низкого тона звучания, а длина МП — наибольшую из длин струн, образуемых конструкцией, а длины звучания между ними определяются расстояниями от М до пересечений МР с линиями ОИ. до O XII , в точках с номерами от 1 до 12.

Строле писал, что он назвал линию PR «Linea Musica», и Хелениус отметил, что это был термин, который Полхем использовал в недатированной, но более ранней рукописи, которая сейчас находится в Linköping Stifts-och Landsbibliotek и которая сопровождается примечаниями композитора и геометра Харальда Валлериуса. (1646–1716) и бывший работодатель Строле И. Н. Кахман. ^{[ 8 ]}

Строле также показал сегменты линий, параллельные MR, через точки NHS , LYT и KZV, чтобы проиллюстрировать, как однажды созданную конструкцию можно масштабировать для соответствия различным стартовым шагам.

В конце статьи Строле заявил, что он реализовал струнную гамму в трех верхних октавах клавикорда, хотя неясно, была ли бы эта часть натянута на проволоку одного и того же калибра при одинаковом натяжении, как в монохорде, который он написал. напоминал, и конструкцию которого он описал более подробно. Однако он описал лишь косвенный метод настройки его настройки, требуя, чтобы он сначала установил эталонную высоту звука путем передачи соответствующих длин струн на подвижные мосты на тринадцатиструнном монохорде с ключами, открытые струны которого были ранее настроены в унисон. ^а

Числовое представление Фаггота

Статья, последовавшая за статьей Строле, представляла собой ее математическую обработку Якоба Фагота (1699–1777), тогдашнего секретаря Академии наук и будущего директора Геодезического управления, который в том же томе также опубликовал статьи о весовой мере для щелочи и методах. для расчета объема бочек. Фагот был одним из первых членов Академии, а также входил в состав специальной комиссии по мерам и весам. ^{[ 12 ]} Он, по-видимому, не был музыкантом, хотя Хелениус описал, что интересовался музыкальными темами с математической точки зрения, и задокументировал, что периодически контактировал с производителями музыкальных инструментов через Академию. ^{[ 13 ]} Хелениус также представила теорию о том, что Фагот оказал более активное, хотя и косвенное и посмертное влияние на конструкцию музыкальных инструментов в Швеции, утверждая, что он, возможно, предложил использовать длинные теноровые струны, используемые в двух экспериментальных инструментах, построенных Йоханом Броманом в 1756 году, которые она предложила. повлиял на тип клавикордов, построенных в Швеции в конце восемнадцатого и начале девятнадцатого веков. ^{[ 14 ]}

Длины струн Фаггота и Строле и их относительная высота звука.
примечание	Фагот № 3		Страле ^{[ 15 ]}
примечание	длина	центы	длина	центы	соотношение
С	10000	0	10000	0	1/1
с ♯	9379	111	9432	101	211/199
д	8811	219	8899	202	109/97
д ♯	8290	325	8400	302	25/21
и	7809	428	7930	401	29/23
ж	7365	529	7490	500	239/179
ж ♯	6953	629	7073	600	41/29
г	6570	727	6676	699	253/169
г ♯	6213	824	6308	798	65/41
а	5881	919	5955	897	89/53
а ♯	5568	1014	5621	997	137/77
б	5274	1108	5303	1098	281/149
с	5000	1200	5000	1200	2/1

В своем анализе статьи Строле Фагот обрисовал тригонометрические шаги, которые он использовал для расчета длины звучания отдельных тонов с целью сравнения новой настройки, полученной по методу Строле, с настройкой с чистыми терциями, четвертями и квинтами (обозначенными как « N. 1» в таблице), и равный темперамент, который он назвал лишь «более старым темпераментом и [который] представлен в г-на Маттесона Critica Musica ». («N. 2»), он намеревался получить полученный набор рисунков, чтобы показать, «удовлетворяет ли слух настройка высоты звука в соответствии с ранее описанным изобретением приятными звуками и большей равномерностью в музыкальных высотах клавишного инструмента». и поэтому учит разумению лучше судить, чем старый и ранее известный способ настройки, когда глаз может видеть то, что слышит ухо». ^б

Обе статьи были воспроизведены в немецком издании трудов Академии, опубликованном в 1751 году. ^{[ 16 ]} а таблица расчетных длин струн Фаггота была впоследствии включена Марпургом в его Versuch über über die musikalische Temperatur 1776 года , ^{[ 1 ]} который написал, что принял их точность, но вместо того, чтобы достичь заявленной цели «Штреле», настройка представляла собой неравный темперамент «даже не терпимого типа». ^с

Длины звучания, рассчитанные Фаготом, существенно отличаются от тех, которые были бы получены в соответствии с инструкциями Строле, факт, который, по-видимому, был впервые опубликован Кристлибом Бенедиктом Функом в Dissertatio de Sono et Tono в 1779 году. ^{[ 17 ]} и созданная им настройка включает интервалы, настроенные за пределами диапазона, традиционно используемого в западной художественной музыке. Функ приписывает наблюдение этого несоответствия в в Гелера «Physikalisches Wörterbuch» 1791 году: ^{[ 18 ]} Фишера и Физический словарь в 1804 году, ^{[ 19 ]} и на ошибку указал Эрнст Хладни в «Die Akustik» в 1830 году. ^{[ 20 ]} Похоже, что за тот же период в Швеции не было опубликовано подобных комментариев.

В этих работах сообщается об ошибке Фаггота, возникшей в результате использования значения тангенса вместо столбца синуса из логарифмических таблиц. Сама ошибка заключалась в том, что угол РП был завышен примерно на семь градусов, из-за чего эффективная длина QP увеличилась до 8,605. Это сильно преувеличило ошибки темперамента по сравнению с настройками, которые он представил вместе с ним, хотя неясно, заметил ли Фагот эти очевидные дефекты, поскольку он не сделал дальнейших комментариев о конструкции или темпераменте Строле в статье.

Тюнинг

Настройка, выполненная по инструкциям Строле, представляет собой рациональный темперамент с диапазоном квинт от 696 до 704 центов, что примерно на один цент ниже, чем средняя квинта, до остроты на два цента всего 3:2; диапазон основных терций составляет от 396 центов до 404 центов, или с точностью до десяти центов, всего от 5/4 до трех центов, ровно от пифагорейских 81/64. Эти интервалы находятся в пределах того, что считается приемлемым, но нет распределения лучших третей к более часто используемым тональностям, которые характеризуют то, что сегодня является самым популярным из строев, опубликованных в семнадцатом и восемнадцатом веках и известных как темпераменты . Лучшая квинта - чистая в тональности F ♯ - или высоте, заданной MB - с терцией 398 центов, а лучшая треть - в тональности E с квинтой 697 центов; лучшая комбинация двух интервалов - в тональности F, а худшая - в тональности B♭.

Алгебраическое представление и геометрическая конструкция Барбура

Дж. Мюррей Барбур привлек новое внимание к конструкции Строле вместе с тем, как Фаггот трактовал ее в 20 веке. Представленный в контексте Марпурга, он включил его обзор наряду с более известными методами определения длины струн в свою книгу 1951 года «Настройка и темперамент» , где охарактеризовал настройку как «приближение для равного темперамента». Он также продемонстрировал, насколько близка конструкция Строле к наилучшему приближению, которое мог обеспечить этот метод, который уменьшает максимальные ошибки в основных терциях и квинтах примерно на полцента и достигается путем замены длины QP на 7,028 .

Барбур представил более полный анализ конструкции в «Геометрическом приближении корней чисел», опубликованном шесть лет спустя в American Mathematical Monthly . ^{[ 21 ]} Он рассмотрел ошибку Фаггота и ее последствия, а затем вывел конструкцию Строле алгебраически, используя подобные треугольники . Это принимает обобщенный вид

N^{m}\doteq {\frac {OA+BA+(OA-3BA)\times {m}}{OA+BA-2BA\times {m}}}

Используя значения из инструкций Строле, это становится

{\frac {24+10m}{24-7m}}

Сдача в аренду $\scriptstyle OA-BA=1$ так что $\scriptstyle OA+BA={\sqrt {N}}$ приводит к форме первой формулы, более удобной для расчета

N^{m}\doteq {\frac {Nm+{\sqrt {N}}(1-m)}{m+{\sqrt {N}}(1-m)}}

Метод Барбура

Методы Барбура (красный) и Шёнберга (синий).

Затем Барбур описал обобщенную конструкцию, используя легко полученное среднее значение, пропорциональное длине MB , которое позволяет избежать большинства конкретных углов и длин, требуемых в оригинале. Для музыкальных приложений он проще, и его результаты немного более однородны, чем у Строле, и его преимущество состоит в том, что он позволяет получить струны желаемой длины без дополнительного масштабирования.

Он поручил сначала провести линию MR, соответствующую большему из двух чисел, при этом MP меньшему, и построить их среднее, пропорциональное MB . Линия, которая будет нести деления, проводится от R под любым острым углом к MR , а перпендикулярно ей проводится линия через B , которая пересекает линию, которую нужно разделить в точке A , и RA продолжается до Q так, что RA = AQ. . Линия проводится от Q через P , пересекая линию, проходящую через в точке O , и линию, проведенную от O до R. BA Построение завершается делением QR и проведением лучей от О через каждое из делений.

В заключение Барбур обсудил характер и величину ошибок, возникающих в результате использования обобщенной конструкции для аппроксимации экспонент с различными корнями, заявив, что его метод «прост и очень хорошо работает для небольших чисел». Для корней от 1 до 2 ошибка составляет менее 0,13% — около 2 центов при N = 2 — с максимумами около m = 0,21 и m = 0,79. Кривая ошибок выглядит примерно синусоидальной, и для этого диапазона N можно аппроксимировать примерно на 99% путем аппроксимации кривой, полученной для N =1, $f(m)=m(1-m)(1-2m)$ . Ошибка быстро возрастает для более крупных корней, для которых Барбур считал этот метод неприемлемым; кривая ошибки имеет вид $\scriptstyle f(x)=x(1-x^{2a})$ с максимумами, приближающимися к m = 0 и m = 1 по мере N. увеличения

Уточнения Шенбергом методов Барбура

Статья была опубликована с двумя примечаниями, добавленными ее рецензентом Исааком Якобом Шенбергом . Он заметил, что формула, выведенная Барбуром, представляет собой дробное линейное преобразование и так называемую перспективу, и что, поскольку три пары соответствующих точек на двух линиях однозначно определяют проективное соответствие, условие Барбура о том, что OA перпендикулярно QR, не имеет значения. Отсутствие этого шага позволяет более удобно выбирать длину QR и уменьшает количество операций.

Шенберг также отметил, что уравнение Барбура можно рассматривать как интерполяцию экспоненциальной кривой через три точки m = 0, m = 1/2 и m = 1, которые он подробно рассмотрел в короткой статье под названием «О расположении Лады на гитаре», опубликованной в журнале American Mathematical Monthly в 1976 году. ^{[ 22 ]} Эта статья завершилась кратким обсуждением случайного использования Строле $\scriptstyle {\frac {41}{29}}$ для полуоктавы, которая является одной из подходящих разложений цепной дроби $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ , и наилучшее его рациональное приближение по размеру знаменателя.

Стюарт и непрерывные дроби

Использование дробных аппроксимаций $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ Конструкция Строле была расширена Яном Стюартом, который написал о конструкции в «Хорошо закаленном калькуляторе» в своей книге 1992 года « Другая прекрасная математика, в которую вы меня втянули…» ^{[ 23 ]} а также «Недовольное фиаско Фаггота», включенное в журнал «Музыка и математика», опубликованное в 2006 году. Стюарт рассматривал конструкцию с точки зрения проективной геометрии и вывел те же формулы, что и Барбур, рассматривая ее с самого начала как дробную линейную функцию вида $\scriptstyle y={\frac {(ax+b)}{(cx+d)}}$ , и он указал, что приближение для $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ подразумеваемым в конструкции является $\scriptstyle {\frac {17}{12}}$ , что является следующей нижней границей полуоктавы, которую он производит. Это следствие упрощения функции до $\scriptstyle {\frac {p+2q}{p+q}}$ для m =0,5 где $\scriptstyle {\frac {p}{q}}$ является порождающим приближением.

Подобные методы применяются к музыкальным инструментам.

Конструкция Кютцинга (черным цветом) и часть конструкции Вольфендена (51,5 ° красным и 35:13 синим)

Схема, опубликованная Broadwood & Sons, 1862 г.

Геометрические и арифметические методы разделения монохордов, а также грифов музыкальных инструментов, составленные Барбуром, предназначались для заявленной цели - иллюстрации различных строев, каждый из которых представляет или подразумевает, а работы Шенберга и Стюарта сохранили схожую направленность и ссылки. В трех учебниках по изготовлению фортепиано, которые не включены в их состав, показаны конструкции, аналогичные конструкциям Строле, для проектирования новых инструментов, но настройка их высоты рассматривается независимо; обе конструкции используют неперпендикулярную форму, как было предложено наблюдением Шенберга в книге Барбура «Геометрическое приближение корней чисел», и одна достигает оптимальных результатов, в то время как другая демонстрирует применение с корнем, отличным от 2.

Кютцинг

Карл Кютцинг, мастер по изготовлению органов и фортепиано из Берна в середине XIX века, в своей первой книге по конструкции фортепиано «Theoretisch-praktisches Handbuch der Fortepiano-Baukunst» 1833 года писал, что он разработал простой метод определения длины звучания в октава после прочтения различных геометрических конструкций, описанных в выпуске журнала Марпурга Historisch-kritischen Beitragen zur. Aufnahme der Musik ; он заявил, что деление будет очень точным и что эту конструкцию можно будет использовать для гравировки гитар.

Кютцинг представил строительство после описания большого сектора, который будет построен для той же цели. Он не включил ни один из методов в книгу Das Wissenschaftliche der Fortepiano-Baukunst , опубликованную одиннадцать лет спустя, где он рассчитал длины, используя соотношение между длинами октав примерно 18:35, и предложил новый метод с прерывистой кривой, скорректированной с учетом реальных диаметров проволоки, чтобы уменьшить тональные различия от скачков напряжения. ^{[ 24 ]}

Кютцинг приказал продлить отрезок линии bc , представляющий известную длину зондирования, под углом 45 градусов к линии ba и от его октавы в точке d , расположенной посередине между b и c , продлить линию, перпендикулярную ba , пересекающую ее в точке e , затем разделить де на 12 равных частей. Точка a на ab находится путем переноса длин de , db из e от b и лучей, проходящих от a через точки, разделяющие de и пересекающие bc, чтобы найти различные конечные точки длин строк из c . ^{[ 25 ]}

Такое расположение эквивалентно использованию среднего пропорционального значения для определения местоположения .

Переработанная схема с инструкциями была включена в брошюру, напечатанную крупнейшими английскими производителями фортепиано John Broadwood & Sons в сопровождении их выставки на Международной выставке 1862 года в Лондоне, где они описали ее как «практический метод определения длины струн». для каждой ноты октавы одинаковой темперации, чтобы при одинаковом размере проволоки натяжение каждой ноты было одинаковым». ^{[ 26 ]}

Он также был воспроизведен вместе с сектором Джакомо Сиверсом, фортепианным мастером русского происхождения, работавшим в Неаполе, в его книге 1868 года « Il Pianoforte» , где он утверждал, что это лучший практический метод для определения длины звучания струн в фортепиано. Как и Бродвуд, Сиверс не описал его источник или степень его использования и не объяснил никакой теории, лежащей в его основе. Он также не предполагал, что это может иметь какое-либо применение, кроме проектирования фортепиано. ^{[ 27 ]}

Вулфенден

Английский производитель фортепиано Сэмюэл Вулфенден представил конструкцию для определения длины всех простых струн фортепиано, кроме самой низкой по звучанию, в « Трактате об искусстве изготовления фортепиано», опубликованном в 1916 году; Как и Сиверс, он не объяснил, была ли это оригинальная процедура или широко используемая, отметив лишь, что это «очень практичный метод определения длины строк, и в прошлые годы я вообще использовал его». Он добавил, что на момент написания статьи он обнаружил, что вычисление длин напрямую «несколько проще», и предварил описание таблицей вычисленных длин для пяти верхних октав фортепиано. ^{[ 28 ]} Он включил частоты в равной темперации, но опубликовал инструкции по настройке звука только в своем приложении 1927 года.

Вулфенден открыто выступал за выравнивание натяжения простых струн, чего он предлагал добиться в верхнем диапазоне, сочетая соотношение длин октав 9:17 с равномерным изменением диаметров струн (достигая немного более последовательных результатов по сравнению с аналогичной системой, опубликованной Зигфридом). Хансинг в 1888 году ^{[ 29 ]}), в отличие от шкалы Сиверса, график натягивания струн которой приводит к более высокому натяжению для более толстых и низких по звучанию звуков.

Как и Сиверс, Вулфенден построил все длины зондирования на одном отрезке под углом 45 градусов от базовых линий лучей, начиная с точек, расположенных для каждого C в диапазоне, рассчитанном на 54, 102, 192,5, 364 и 688 мм от верхней точки. точка. Четыре вершины лучей затем располагаются путем пересечения горизонтальных базовых линий, продолжающихся от нижнего C в каждой октаве, со второй линией, расположенной под углом от верхней начальной точки струнной линии, однако обе они, как он указал, должны находиться на отметке 51,5. градусов к базовым линиям и что базовые линии имеют соотношение 35:13 с разницей между длинами двух октав.

Метод Вольфендена приближает $\scriptstyle {\sqrt {17/9}}$ примерно с 1,3775 и эквивалентно $\scriptstyle OA/OB=8.27$ в форме Барбура. Компенсируя меньшие октавы, это дает полуоктавы в 596 центов, что составляет ошибку около 1 мм в ноте F4 (f ') по сравнению с рассчитанными им цифрами.

Примечания

^а Строле (1743) с. 285-286:

«Согласно этому изобретению я построил монохордий до такой степени, что он имеет всего 13 струн, и его скорее следует называть тредекакордиумом , но так как все струны имеют одно число , длину и тон; поэтому я сохраняю старое имя.
«Для этих тринадцати струн подойдет обыкновенный мануал на октаву ; но под каждую струну, после того как они тщательно настроены в унисон листовые конюшни, , я помещаю в этих точках также на длину крепонов , как сейчас у меня описанная Linea Musica, она воет: тогда каждая струна ускользает от своего законного звука.
« Клавер , который я до сих пор закончил, имеет одинаковое количество трех высших октаверн , тщательно исправленных в соответствии с моей Linea Musica с учетом длины и разделения струн: также на этом уровне можно будет без труда выполнить настройку; поэтому мой монохордий устроен так, что его можно установить выше на клавере , когда октава на клавере настраивается шаг за шагом против связанных с ним тонов на монохордии , а затем все остальные тоны, å Claveret , настроены на октавы , что заикание также легче для слуха, потому что оно должно быть свободным от колебаний».

^ b Фагот (1743) с. 286:
«Удовлетворяет ли слушателя настройка тонов, согласно описанному выше изобретению, более приятным звуком и лучшей гармонией в музыкальных тонах å et Claver , чем старый и до сих пор знакомый способ настройки, понимание учится лучше судить, когда глаз видит, а ухо слышит».
^ c Марпург (1776), с. 167-168:
«Должен признаться, что это эссе читать одно удовольствие, и что я полностью убежден в правильности чисел, найденных г-ном Джейкобом Фагготом посредством очень кропотливого тригонометрического расчета линий Стрэли. Мне остается только добавить, что найденные числа не дают того, что они должны давать, и того, что искал г-н Штреле, а именно температуры, которая делает плавание наименее трудным для слуха и правильно передает все звуки. Это потому, что в них нет ничего, кроме неравномерной температуры, и даже не самой терпимой».

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Вильгельм Фридрих Марпург Эксперимент с музыкальной температурой 1776 стр.167-168
^ Ева Хелениус-Эберг «Свенские производители инструментов 1720-1800 - предварительный обзор» Шведский журнал музыкальных исследований , 1977, стр.22
^ История: Дворец Стрёмсхольм, Королевские дворцы - Королевский двор (по состоянию на 14 октября 2009 г.)
^ Эдвард Л. Коттик и Джордж Луктенберг, Ранние клавишные инструменты в европейских музеях Indiana University Press, 1997, стр.196
Даниэль Строле, 1738 г. Клавикорд, инв. номер N145765 - Стокгольмский музыкальный музей (по состоянию на 28 августа 2009 г.)
^ «Йонас Грен» пятый том Nordisk Familjebok , Gernandts boktryckeri-aktiebolag, Стокгольм. 1882 г. р.1554
^ Керала Дж. Снайдер. Орган как зеркало своего времени: размышления Северной Европы, 1600–2000 Oxford University Press, 2002, стр. 8, 15.
^ Тобиас Норлинд История шведской музыки Helsingborgs Typografiska Anstalt, Helsingborg 1901. p. 132
^ Jump up to: ^а ^б Ева Хелениус-Эберг «Клавесин в Швеции и вопрос происхождения шведского клавикорда» Шведский журнал музыкальных исследований, 1979 г., стр.31-42
^ "Нильс Брелин" Nordisk Familjebok, четвертый том Издательство Nordisk Familjeboks, Стокгольм, 1905 г., стр.86
^ Нильс Брелин «Изобретение, значительно повышающее качество клавиров и тарелок », Труды Шведской королевской академии наук , за месяцы Юлий, август и сентябрь 1739 г., том. 1, с.81; Нильс Брелин «Описание нового изобретения вертикального двойного клавезина, настроенного с форте и фортепиано с изменением 8-й степени, как и в 1741 году. Риксдаг для Риксена Хёглофля. Stander blifwit upwist, изобретатель Никол. Брелин Конглига Свенска Ветенсикам Труды Академии , за месяцы Юлий, август и сентябрь т.3 стр.218
^ Барбур (1951) стр.65
^ "Якоб Фаггот" Nordisk Familjebok, Том 7, Nordisk familjeboks förlags aktiebolag, Стокгольм, 1907, стр.1259
^ Ева Хелениус-Эберг "Kyrkoherden Nils Brelin—Mechanicus och Klaverälskare" Svensk Tidskrift for Musikforskning 1987 стр.112
^ Инструменты - клавесин и клавикорд, оба из коллекции Стокгольмского музыкального музея, - отличаются чрезвычайно большим размером и длинными теноровыми струнами, при этом удвоение длины струны распространяется на пять октав, три октавы и четверть соответственно. Оба включают в себя многие идеи, описанные Брелином в статье «Записки Академии 1739 года»; Хелениус (1979)
Йоханнес Броман, клавесин, Стокгольм, 1756 г., музей №. 83118 Стокгольмский музыкальный музей; Йоханнес Броман, клавикорд, Стокгольм, 1756 г., музей №. N57244 Стокгольмский музыкальный музей (по состоянию на 13 сентября 2009 г.)
^ Барбур (1951) стр.68
^ Дэн. П. Строле, Новое изобретение для определения температуры при настройке тона фортепиано и инструментов. Джейкоб Фаггот, Тригонометрический расчет новой температуры для настройки тембров фортепиано. Король Шведская академия наук. Статьи по естественной теории, домашнему хозяйству и механике за 1743 год. Том пятый. перевод со шведского Авраама Готхельфа Кестнера. Георг Кристиан Грунд, Гамбург; Адам Генрих Холле, Лейпциг, 1751 г. р. 226–229, 230–234
^ рассмотрены в «Лейпциге» Геттингене экспозиции научных дисциплин под наблюдением королевской семьи. Общество наук. 32 пьесы (11 марта 1780 г.) Первый том. Иоганн Христиан Дитрих, Геттинген, 1780 г.
В статье сообщалось, что в самой настройке нет ничего нового, поскольку она существенно не отличается от обычного деления октавы.
^ Диссертация Сына и Тона . Лейпциг. 1779. 4; цитируется Иоганном Самуэлем Трауготтом Гелером «Тон» Физический словарь или попытка объяснения наиболее благородных терминов и искусственных слов в естествознании Четвертая часть. Schwickertschen Verlage, Лейпциг, 1791 г., стр.387-388.
^ Физический словарь Иоганна Карла Фишера «Тон» или объяснение самого элегантного в физике, пятая часть. Генрих Дитрих, Геттинген, 1804 г., стр.26.
^ Эрнест Флоренс Фридрих Хладни Акустика Breitkopf & Härtel, Лейпциг 1830 стр.39
^ Дж. Мюррей Барбур «Геометрическое приближение к корням чисел» American Mathematical Monthly vol. 64 (1957) с.1-9
^ Исаак Дж. Шенберг «О расположении ладов на гитаре», American Mathematical Monthly, том. 83, 1976 с.550-2.
^ Ян Стюарт Еще одна прекрасная математика, в которую вы меня втянули ... Courier Dover Publications, 2004, стр. 246-252
^ Карл Кютцинг. Наука о строительстве фортепиано . JFJ Далп. Берн и Кур, 1844 г.
^ Карл Кютцинг. Теоретико-практическое пособие по фортепианному строению. JFJ Далп. Берн и Кур, 1833. стр.20-21.
^ Аластер Лоуренс. Эволюция рояля Broadwood 1785–1998 «рис. 6/6: геометрия масштаба Broadwood, 1862 год», музыкальный факультет Йоркского университета, сентябрь 1998 года, стр. 151.
^ Джакомо Сиверс, Схема разделения струн. Фортепиано; Практическое руководство для строителей, настройщиков, любителей и владельцев типографии Pianos Ghio, Неаполь, 1868 г., стр. 103-104.
^ Сэмюэл Вулфенден, Длины и диаметры струн. Трактат об искусстве построения фортепиано 1916 г., переизданный Unwin Brothers, Лондон, 1975 г., стр. 23-33.
^ Зигфрид Хансинг. Фортепиано и его акустические свойства , второе издание, перевод Эмми Хансинг-Перзина. Зигфрид Хансинг, Шверин i. М., 1904 с.84

Даниэль П. Строле «Новое открытие, чтобы определить температуру по настроению, для звуков на клавере и подобных инструментах», Труды Шведской королевской академии наук за октябрь, ноябрь и декабрь, том. IV, Лоренц Людвиг Грефинг, Стокгольм, 1743 г., с. 281-285
Якоб Фагот «Тригонометрический расчет новой температуры для настроения жителей Клавере» Труды Шведской королевской академии наук за октябрь, ноябрь и декабрь, том. IV, Лоренц Людвиг Грефинг, Стокгольм, 1743 г., с. 286-291
Ян Стюарт «Недовольное фиаско Фаггота» Джон Фовель, Рэймонд Флуд, Робин Уилсон, изд. Музыка и математика Издательство Оксфордского университета, 2006 г., с. 68-75
Дж. Мюррей Барбур Настройка и темперамент: исторический обзор Издательство Колледжа штата Мичиган, Ист-Лансинг, 1951 с. 65-68

[marpurg-1] Jump up to: ^а ^б Вильгельм Фридрих Марпург Эксперимент с музыкальной температурой 1776 стр.167-168

[2] Ева Хелениус-Эберг «Свенские производители инструментов 1720-1800 - предварительный обзор» Шведский журнал музыкальных исследований , 1977, стр.22

[3] История: Дворец Стрёмсхольм, Королевские дворцы - Королевский двор (по состоянию на 14 октября 2009 г.)

[4] Эдвард Л. Коттик и Джордж Луктенберг, Ранние клавишные инструменты в европейских музеях Indiana University Press, 1997, стр.196
Даниэль Строле, 1738 г. Клавикорд, инв. номер N145765 - Стокгольмский музыкальный музей (по состоянию на 28 августа 2009 г.)

[5] «Йонас Грен» пятый том Nordisk Familjebok , Gernandts boktryckeri-aktiebolag, Стокгольм. 1882 г. р.1554

[kerala-6] Керала Дж. Снайдер. Орган как зеркало своего времени: размышления Северной Европы, 1600–2000 Oxford University Press, 2002, стр. 8, 15.

[norlind-7] Тобиас Норлинд История шведской музыки Helsingborgs Typografiska Anstalt, Helsingborg 1901. p. 132

[helenius1979-8] Jump up to: ^а ^б Ева Хелениус-Эберг «Клавесин в Швеции и вопрос происхождения шведского клавикорда» Шведский журнал музыкальных исследований, 1979 г., стр.31-42

[9] "Нильс Брелин" Nordisk Familjebok, четвертый том Издательство Nordisk Familjeboks, Стокгольм, 1905 г., стр.86

[10] Нильс Брелин «Изобретение, значительно повышающее качество клавиров и тарелок », Труды Шведской королевской академии наук , за месяцы Юлий, август и сентябрь 1739 г., том. 1, с.81; Нильс Брелин «Описание нового изобретения вертикального двойного клавезина, настроенного с форте и фортепиано с изменением 8-й степени, как и в 1741 году. Риксдаг для Риксена Хёглофля. Stander blifwit upwist, изобретатель Никол. Брелин Конглига Свенска Ветенсикам Труды Академии , за месяцы Юлий, август и сентябрь т.3 стр.218

[11] Барбур (1951) стр.65

[12] "Якоб Фаггот" Nordisk Familjebok, Том 7, Nordisk familjeboks förlags aktiebolag, Стокгольм, 1907, стр.1259

[13] Ева Хелениус-Эберг "Kyrkoherden Nils Brelin—Mechanicus och Klaverälskare" Svensk Tidskrift for Musikforskning 1987 стр.112

[14] Инструменты - клавесин и клавикорд, оба из коллекции Стокгольмского музыкального музея, - отличаются чрезвычайно большим размером и длинными теноровыми струнами, при этом удвоение длины струны распространяется на пять октав, три октавы и четверть соответственно. Оба включают в себя многие идеи, описанные Брелином в статье «Записки Академии 1739 года»; Хелениус (1979)
Йоханнес Броман, клавесин, Стокгольм, 1756 г., музей №. 83118 Стокгольмский музыкальный музей; Йоханнес Броман, клавикорд, Стокгольм, 1756 г., музей №. N57244 Стокгольмский музыкальный музей (по состоянию на 13 сентября 2009 г.)

[15] Барбур (1951) стр.68

[16] Дэн. П. Строле, Новое изобретение для определения температуры при настройке тона фортепиано и инструментов. Джейкоб Фаггот, Тригонометрический расчет новой температуры для настройки тембров фортепиано. Король Шведская академия наук. Статьи по естественной теории, домашнему хозяйству и механике за 1743 год. Том пятый. перевод со шведского Авраама Готхельфа Кестнера. Георг Кристиан Грунд, Гамбург; Адам Генрих Холле, Лейпциг, 1751 г. р. 226–229, 230–234

[17] рассмотрены в «Лейпциге» Геттингене экспозиции научных дисциплин под наблюдением королевской семьи. Общество наук. 32 пьесы (11 марта 1780 г.) Первый том. Иоганн Христиан Дитрих, Геттинген, 1780 г.
В статье сообщалось, что в самой настройке нет ничего нового, поскольку она существенно не отличается от обычного деления октавы.

[18] Диссертация Сына и Тона . Лейпциг. 1779. 4; цитируется Иоганном Самуэлем Трауготтом Гелером «Тон» Физический словарь или попытка объяснения наиболее благородных терминов и искусственных слов в естествознании Четвертая часть. Schwickertschen Verlage, Лейпциг, 1791 г., стр.387-388.

[19] Физический словарь Иоганна Карла Фишера «Тон» или объяснение самого элегантного в физике, пятая часть. Генрих Дитрих, Геттинген, 1804 г., стр.26.

[20] Эрнест Флоренс Фридрих Хладни Акустика Breitkopf & Härtel, Лейпциг 1830 стр.39

[21] Дж. Мюррей Барбур «Геометрическое приближение к корням чисел» American Mathematical Monthly vol. 64 (1957) с.1-9

[22] Исаак Дж. Шенберг «О расположении ладов на гитаре», American Mathematical Monthly, том. 83, 1976 с.550-2.

[23] Ян Стюарт Еще одна прекрасная математика, в которую вы меня втянули ... Courier Dover Publications, 2004, стр. 246-252

[24] Карл Кютцинг. Наука о строительстве фортепиано . JFJ Далп. Берн и Кур, 1844 г.

[25] Карл Кютцинг. Теоретико-практическое пособие по фортепианному строению. JFJ Далп. Берн и Кур, 1833. стр.20-21.

[26] Аластер Лоуренс. Эволюция рояля Broadwood 1785–1998 «рис. 6/6: геометрия масштаба Broadwood, 1862 год», музыкальный факультет Йоркского университета, сентябрь 1998 года, стр. 151.

[27] Джакомо Сиверс, Схема разделения струн. Фортепиано; Практическое руководство для строителей, настройщиков, любителей и владельцев типографии Pianos Ghio, Неаполь, 1868 г., стр. 103-104.

[28] Сэмюэл Вулфенден, Длины и диаметры струн. Трактат об искусстве построения фортепиано 1916 г., переизданный Unwin Brothers, Лондон, 1975 г., стр. 23-33.

[29] Зигфрид Хансинг. Фортепиано и его акустические свойства , второе издание, перевод Эмми Хансинг-Перзина. Зигфрид Хансинг, Шверин i. М., 1904 с.84

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]