Большие уклонения гауссовых случайных функций

– Случайная функция либо одной переменной ( случайный процесс ), либо двух или более переменных.( случайное поле ) – называется гауссовским , если каждое конечномерное распределение является многомерным нормальным распределением . Гауссовы случайные поля на сфере полезны (например) при анализе

аномалии космического микроволнового фонового излучения (см. ^[1] стр. 8–9);
изображения головного мозга, полученные методом позитронно-эмиссионной томографии (см., ^[1] стр. 9–10).

Иногда значение гауссовой случайной функции отклоняется от ожидаемого значения на несколько стандартных отклонений . Это большое отклонение . Хотя большие отклонения редки в небольшой области (пространства и/или времени), в большой области они могут быть вполне обычными.

Основное заявление

Позволять $M$ быть максимальным значением гауссовой случайной функции $X$ на(двумерная) сфера. Предположим, что ожидаемое значение $X$ является $0$ (в каждой точке сферы) и стандартное отклонение $X$ является $1$ (в каждой точке сферы). Тогда для больших $a>0$ , $P(M>a)$ близко к $Ca\exp(-a^{2}/2)+2P(\xi >a)$ ,где $\xi$ распространяется $N(0,1)$ ( стандартное нормальное распределение ) и $C$ является константой; это не зависит от $a$ , но зависит от корреляционной функции $X$ (см. ниже). Относительная погрешность аппроксимации экспоненциально убывает при больших $a$ .

Константа $C$ легко определить в важном частном случае, описываемом в терминах производной по направлению $X$ в данной точке (сферы) в заданном направлении ( касательно сферы). Производная является случайной, с нулевым математическим ожиданием и некоторым стандартным отклонением. Последнее может зависеть от точки и направления. Однако если оно не зависит, то оно равно $(\pi /2)^{1/4}C^{1/2}$ (для сферы радиуса $1$ ).

Коэффициент $2$ до $P(\xi >a)$ фактически является эйлеровой характеристикой сферы (для тора она равна нулю).

Предполагается, что $X$ дважды непрерывно дифференцируема ( почти наверняка ) и достигает максимума в одной точке (почти наверняка).

Подсказка: средняя характеристика Эйлера.

Ключом к теории, изложенной выше, является эйлерова характеристика. $\chi _{a}$ из набора $\{X>a\}$ всех точек $t$ (сферы) такой, что $X(t)>a$ . Его ожидаемое значение (другими словами, среднее значение) $E(\chi _{a})$ можно вычислить явно:

E(\chi _{a})=Ca\exp(-a^{2}/2)+2P(\xi >a)

(которая далеко не тривиальна и включает в себя теорему Пуанкаре–Хопфа , теорему Гаусса–Бонне , формулу Райса и т. д.).

Набор $\{X>a\}$ всякий пустое множество раз, когда $M<a$ ; в этом случае $\chi _{a}=0$ . В другом случае, когда $M>a$ , набор $\{X>a\}$ непусто; его эйлерова характеристика может принимать различные значения в зависимости от топологии множества (количества связных компонент и возможных дырок в этих компонентах). Однако, если $a$ большой и $M>a$ тогда набор $\{X>a\}$ обычно представляет собой небольшой, слегка деформированный диск или эллипс (о чем легко догадаться, но довольно сложно доказать). Таким образом, его эйлерова характеристика $\chi _{a}$ обычно равен $1$ (при условии $M>a$ ). Вот почему $E(\chi _{a})$ близко к $P(M>a)$ .

См. также

Дальнейшее чтение

Основное утверждение, приведенное выше, представляет собой простой частный случай гораздо более общей (и сложной) теории, сформулированной Адлером. ^[1]^[2]^[3] Подробное изложение этого частного случая см. в лекциях Цирельсона. ^[4]

^ Jump up to: ^а ^б ^с Роберт Дж. Адлер, «Об экскурсионных множествах, трубчатых формулах и максимумах случайных полей», The Annals of Applied Probability, 2000, Vol. 10, № 1, 1–74 . (Специальный приглашенный документ.)
^ Роберт Дж. Адлер, Джонатан Э. Тейлор, «Случайные поля и геометрия», Springer 2007. ISBN 978-0-387-48112-8
^ Роберт Дж. Адлер, «Некоторые новые инструменты случайных полей для пространственного анализа», arXiv:0805.1031 .
^ Лекции Б. Цирельсона (особенно, разд. 5).

[adler2000-1] Jump up to: ^а ^б ^с Роберт Дж. Адлер, «Об экскурсионных множествах, трубчатых формулах и максимумах случайных полей», The Annals of Applied Probability, 2000, Vol. 10, № 1, 1–74 . (Специальный приглашенный документ.)

[AT2007-2] Роберт Дж. Адлер, Джонатан Э. Тейлор, «Случайные поля и геометрия», Springer 2007. ISBN 978-0-387-48112-8

[adler2008-3] Роберт Дж. Адлер, «Некоторые новые инструменты случайных полей для пространственного анализа», arXiv:0805.1031 .

[4] Лекции Б. Цирельсона (особенно, разд. 5).

[1]

[2]

[3]

[4]