Функция спроса Хикса

В микроэкономике потребителя функция спроса Хикса или функция компенсированного спроса на товар — это его количество, требуемое как часть решения по минимизации его расходов на все товары при обеспечении фиксированного уровня полезности . По сути, функция спроса Хикса показывает, как экономический агент отреагировал бы на изменение цены товара, если бы доход агента был компенсирован, чтобы гарантировать агенту ту же полезность, которая была до изменения цены товара - агент будет оставаться на одной и той же кривой безразличия до и после изменения цены товара. Функция названа в честь Джона Хикса .

Математически, ^[1]

h(p,{\bar {u}})=\arg \min _{x}\sum _{i}p_{i}x_{i}

{\rm {subject~to}}\ \ u(x)\geq {\bar {u}}

.

где h ( p , u ) — функция спроса Хикса или требуемый набор товаров при векторе цен p и уровне полезности. ${\bar {u}}$ . Здесь p — вектор цен, а x — вектор требуемых количеств, поэтому сумма всех pi _x i _{представляет} собой общие расходы на все товары. (Обратите внимание, что если существует более одного вектора величин, который минимизирует затраты на данную полезность, мы имеем соответствие спроса Хикса, а не функцию .)

Функции спроса Хикса полезны для изоляции влияния относительных цен на требуемое количество товаров, в отличие от функций спроса Маршалла , которые сочетают это с эффектом снижения реального дохода потребителя из-за повышения цен, как объяснено ниже.

Связь с другими функциями

Функции спроса Хикса часто удобны для математических манипуляций, поскольку они не требуют представления дохода или богатства. Кроме того, функция, которую необходимо минимизировать, линейна по $x_{i}$ , что дает более простую задачу оптимизации. Однако маршалловы функции спроса вида $x(p,w)$ которые описывают спрос при данных ценах p и доходе $w$ их легче наблюдать непосредственно. Эти два связаны

h(p,u)=x(p,e(p,u)),\

где $e(p,u)$ — функция расходов (функция, которая дает минимальное богатство, необходимое для достижения заданного уровня полезности), а

h(p,v(p,w))=x(p,w),\

где $v(p,w)$ — это косвенная функция полезности (которая определяет уровень полезности обладания данным богатством при режиме фиксированных цен). Их производные более фундаментально связаны уравнением Слуцкого .

В то время как спрос по Маршаллу возникает из задачи максимизации полезности, спрос по Хиксису возникает из задачи минимизации расходов. Эти две задачи являются математически двойственными, и, следовательно, теорема двойственности обеспечивает метод доказательства описанных выше соотношений.

Функция спроса Хикса тесно связана с функцией расходов . Если функция полезности потребителя $u(x)$ и локально ненасыщена строго выпукла , топо лемме Шепарда верно, что $h(p,u)=\nabla _{p}e(p,u).$

Спрос по Хиксину и компенсированные изменения цен

Кривые спроса Маршалла показывают влияние изменения цен на объем спроса. По мере роста цены товара обычно спрос на этот товар падает, но не во всех случаях. Рост цен имеет как эффект замещения , так и эффект дохода . Эффект замещения — это изменение объема спроса вследствие изменения цены, которое изменяет наклон бюджетного ограничения, но оставляет потребителя на той же кривой безразличия (т. е. на том же уровне полезности). Эффект замещения всегда заключается в покупке меньшего количества этого товара. Эффект дохода – это изменение величины спроса вследствие воздействия изменения цены на общую покупательную способность потребителя. Поскольку для функции спроса Маршалла номинальный доход потребителя остается постоянным, при повышении цен его реальный доход падает, и он становится беднее. Если рассматриваемый товар является нормальным товаром и его цена растет, эффект дохода от падения покупательной способности усиливает эффект замещения. Если товар является товаром низшего качества , эффект дохода в некоторой степени компенсирует эффект замещения. Если благо – это По Гиффену эффект дохода настолько силен, что объем спроса по Маршаллу возрастает с ростом цены.

Функция спроса Хикса изолирует эффект замещения, предполагая, что потребитель получает в качестве компенсации ровно столько дополнительного дохода после повышения цен, чтобы купить некоторый набор товаров на той же кривой безразличия. ^[2] Если функция спроса по Хикси более крутая, чем спрос по Маршаллу, товар является нормальным товаром; в противном случае добро будет хуже. Спрос по Хикси всегда снижается.

Математические свойства

Если функция полезности потребителя $u(x)$ является непрерывным и представляет собой локально ненасыщенное отношение предпочтения, то соответствие спроса Хикса $h(p,u)$ удовлетворяет следующим свойствам:

я. Однородность нулевой степени по p : для всех $a>0$ , $h(ap,u)=h(p,u)$ . Это потому, что тот же самый x , который минимизирует $\sum _{i}p_{i}x_{i}$ также сводит к минимуму $\sum _{i}ap_{i}x_{i}$ подчиняется тому же ограничению. ^[3]

ii. Отсутствие избыточного спроса: ограничение $u(hx)\geq {\bar {u}}$ выполняется при строгом равенстве, $u(x)={\bar {u}}$ . Это следует из непрерывности функции полезности. Неофициально они могли бы просто тратить меньше, пока полезность не станет точно такой же. ${\bar {u}}$ .

См. также

Ссылки

^ Джонатан Левин; Пол Милгром. «Теория потребителя» (PDF) . п. 12.
^ Вариан, Хэл Р. «Глава 8: Уравнение Слуцкого». Эссе. В промежуточной микроэкономике с исчислением, 1-е изд., 155–56. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: WW Norton, 2014.
^ Зильберберг Э. (2008) Требования Хикса и Маршалла. В: Пэлгрейв Макмиллан (ред.) Новый экономический словарь Пэлгрейва. Пэлгрейв Макмиллан, Лондон. https://doi.org/10.1057/978-1-349-95121-5_2702-1

Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл и Грин, Джерри (1995). Микроэкономическая теория . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-507340-1 .

[1] Джонатан Левин; Пол Милгром. «Теория потребителя» (PDF) . п. 12.

[2] Вариан, Хэл Р. «Глава 8: Уравнение Слуцкого». Эссе. В промежуточной микроэкономике с исчислением, 1-е изд., 155–56. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: WW Norton, 2014.

[3] Зильберберг Э. (2008) Требования Хикса и Маршалла. В: Пэлгрейв Макмиллан (ред.) Новый экономический словарь Пэлгрейва. Пэлгрейв Макмиллан, Лондон. https://doi.org/10.1057/978-1-349-95121-5_2702-1

[1]

[2]

[3]