Золотое правило Ферми

В квантовой физике золотое правило Ферми — это формула, которая описывает скорость перехода (вероятность перехода в единицу времени) от одного собственного состояния энергии квантовой системы к группе собственных состояний энергии в континууме в результате слабого возмущения . . Эта скорость перехода фактически не зависит от времени (пока сила возмущения не зависит от времени) и пропорциональна силе связи между начальным и конечным состояниями системы (описываемой квадратом элемента матричного возмущение), а также плотность состояний . Оно также применимо, когда конечное состояние дискретно, т. е. оно не является частью континуума, если в процессе имеет место некоторая декогеренция , например релаксация или столкновение атомов, или шум в возмущении, и в этом случае плотность состояний заменяется обратной величиной полосы декогеренции.

Историческая справка

Хотя правило названо в честь Энрико Ферми , большая часть работы, приведшей к нему, принадлежит Полю Дираку , который двадцатью годами ранее сформулировал практически идентичное уравнение, включающее три компонента константы, матричный элемент возмущения и энергию разница. Это название ему было дано потому, что из-за его важности Ферми назвал его «золотым правилом № 2».

В большинстве случаев термин «золотое правило Ферми» относится к «золотому правилу № 2», но «золотое правило № 1» Ферми имеет аналогичную форму и учитывает вероятность непрямых переходов в единицу времени.

Ставка и ее вывод

Золотое правило Ферми описывает систему, которая начинается в собственном состоянии. $|i\rangle$ невозмущенного гамильтониана H ₀ и рассматривает влияние возмущающего гамильтониана H', примененного к системе. Если H' не зависит от времени, система переходит только в те состояния континуума, которые имеют ту же энергию, что и начальное состояние. Если H' колеблется синусоидально в зависимости от времени (т.е. является гармоническим возмущением) с угловой частотой ω , то происходит переход в состояния с энергиями, отличающимися на ħω от энергии исходного состояния.

В обоих случаях вероятность перехода в единицу времени из исходного состояния $|i\rangle$ к набору конечных состояний $|f\rangle$ по существу является постоянным. В первом приближении оно определяется выражением $$\Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\rho (E_{f}),$$ где $\langle f|H'|i\rangle$ – матричный элемент (в обозначениях бра–кет ) возмущения H' между конечным и начальным состояниями, и $\rho (E_{f})$ плотность состояний (число состояний континуума, деленное на $dE$ в бесконечно малом интервале энергий $E$ к $E+dE$) при энергии $E_{f}$ из конечных состояний. Эту вероятность перехода также называют «вероятностью распада» и она связана с обратной величиной среднего времени жизни . Таким образом, вероятность нахождения системы в состоянии $|i\rangle$ пропорционально $e^{-\Gamma _{i\to f}t}$.

Стандартный способ вывода уравнения — начать с теории возмущений, зависящей от времени, и принять предел поглощения в предположении, что время измерения намного больше, чем время, необходимое для перехода.

showВывод в нестационарной теории возмущений

Main article: Perturbation theory (quantum mechanics) § Time-dependent perturbation theory Statement of the problem The golden rule is a straightforward consequence of the Schrödinger equation, solved to lowest order in the perturbation H' of the Hamiltonian. The total Hamiltonian is the sum of an “original” Hamiltonian H0 and a perturbation: $H=H_{0}+H'(t)$. In the interaction picture, we can expand an arbitrary quantum state’s time evolution in terms of energy eigenstates of the unperturbed system $|n\rangle$, with $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$. Discrete spectrum of final states We first consider the case where the final states are discrete. The expansion of a state in the perturbed system at a time t is ${\textstyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle }$. The coefficients an(t) are yet unknown functions of time yielding the probability amplitudes in the Dirac picture. This state obeys the time-dependent Schrödinger equation: $$H|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle .$$ Expanding the Hamiltonian and the state, we see that, to first order, $$\left(H_{0}+H'-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle e^{-\mathrm {i} tE_{n}/\hbar }=0,$$ where En and |n⟩ are the stationary eigenvalues and eigenfunctions of H0. This equation can be rewritten as a system of differential equations specifying the time evolution of the coefficients $a_{n}(t)$: $$\mathrm {i} \hbar {\frac {da_{k}(t)}{dt}}=\sum _{n}\langle k|H'|n\rangle a_{n}(t)e^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{n})/\hbar }.$$ This equation is exact, but normally cannot be solved in practice. For a weak constant perturbation H' that turns on at t = 0, we can use perturbation theory. Namely, if $H'=0$, it is evident that $a_{n}(t)=\delta _{n,i}$, which simply says that the system stays in the initial state $i$. For states $k\neq i$, $a_{k}(t)$ becomes non-zero due to $H'\neq 0$, and these are assumed to be small due to the weak perturbation. The coefficient $a_{i}(t)$ which is unity in the unperturbed state, will have a weak contribution from $H'$. Hence, one can plug in the zeroth-order form $a_{n}(t)=\delta _{n,i}$ into the above equation to get the first correction for the amplitudes $a_{k}(t)$: $$\mathrm {i} \hbar {\frac {da_{k}(t)}{dt}}=\langle k|H'|i\rangle e^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{i})/\hbar },$$ whose integral can be expressed as $$\mathrm {i} \hbar a_{k}(t)=\int _{0}^{t}\langle k|H'(t')|i\rangle e^{\mathrm {i} \omega _{ki}t'}dt'$$ with $\omega _{ki}\equiv (E_{k}-E_{i})/\hbar$, for a state with ai(0) = 1, ak(0) = 0, transitioning to a state with ak(t). The probability of transition from the initial state (ith) to the final state (fth) is given by $$w_{fi}=|a_{f}(t)|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left|\int _{0}^{t}\langle f|H'(t')|i\rangle e^{\mathrm {i} \omega _{fi}t'}dt'\right|^{2}$$ It is important to study a periodic perturbation with a given frequency $\omega$ since arbitrary perturbations can be constructed from periodic perturbations of different frequencies. Since $H'(t)$ must be Hermitian, we must assume $H'(t)=Fe^{-\mathrm {i} \omega t}+F^{\dagger }e^{\mathrm {i} \omega t}$, where $F$ is a time independent operator. The solution for this case is $$a_{f}(t)=-\langle f|F|i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}-\omega )t}}{\hbar (\omega _{fi}-\omega )}}-\langle f|F^{\dagger }|i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}+\omega )t}}{\hbar (\omega _{fi}+\omega )}}.$$ This expression is valid only when the denominators in the above expression is non-zero, i.e., for a given initial state with energy $E_{i}$, the final state energy must be such that $E_{f}-E_{i}\neq \pm \hbar \omega .$ Not only the denominators must be non-zero, but also must not be small since $a_{f}$ is supposed to be small. Consider now the case where the perturbation frequency is such that $E_{k}-E_{n}=\hbar (\omega +\varepsilon )$ where $\varepsilon$ is a small quantity. Unlike the previous case, not all terms in the sum over $n$ in the above exact equation for $a_{k}(t)$ matters, but depends only on $a_{n}(t)$ and vice versa. Thus, omitting all other terms, we can write $$i\hbar {\frac {da_{k}}{dt}}=\langle k|F|n\rangle e^{i\varepsilon t}a_{n},\quad i\hbar {\frac {da_{n}}{dt}}=\langle n|F^{\dagger }|k\rangle e^{-i\varepsilon t}a_{k}.$$ The two independent solutions are $$a_{n}=Ae^{i\alpha _{1}t},\,a_{k}=-A\hbar \alpha _{1}e^{i\alpha _{1}t}/\langle n|F^{\dagger }|k\rangle$$ $$a_{n}=Be^{-i\alpha _{2}t},\,a_{k}=B\hbar \alpha _{2}e^{-i\alpha _{2}t}/\langle n|F^{\dagger }|k\rangle$$ where $$\alpha _{1}=-{\frac {1}{2}}\varepsilon +\Omega ,\quad \alpha _{2}={\frac {1}{2}}\varepsilon +\Omega ,\quad \Omega ={\sqrt {{\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2}+|\eta |^{2}}},\quad \eta ={\frac {1}{\hbar }}\langle k|F|n\rangle$$ and the constants $A$ and $B$ are fixed by the normalization condition. If the system at $t=0$ is in the $|\psi _{k}\rangle$ state, then the probability of finding the system in the $|\psi _{n}\rangle$ state is given by $$w_{kn}={\frac {|\eta |^{2}}{2\Omega ^{2}}}(1-\cos 2\Omega t)$$ which is a periodic function with frequency $2\Omega$; this function varies between $0$ and $|\eta |^{2}/\Omega ^{2}$. At the exact resonance, i.e., $\varepsilon =0$, the above formula reduces to $$w_{kn}={\frac {1}{2}}(1-\cos 2|\eta |t)$$ which varies periodically between $0$ and $1$, that is to say, the system periodically switches from one state to the other. The situation is different if the final states are in the continuous spectrum. Continuous spectrum of final states Since the continuous spectrum lies above the discrete spectrum, $E_{f}-E_{i}>0$ and it is clear from the previous section, major role is played by the energies $E_{f}$ lying near the resonance energy $E_{i}+\hbar \omega$, i.e., when $\omega _{fi}\approx \omega$. In this case, it is sufficient to keep only the first term for $a_{f}(t)$. Assuming that perturbations are turned on from time $t=0$, we have then $$a_{f}(t)=-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\int _{0}^{t}\langle f|H'(t')|i\rangle e^{\mathrm {i} \omega _{fi}t'}dt'=-\langle f|F|i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}-\omega )t}-1}{\hbar (\omega _{fi}-\omega )}}$$ The squared modulus of $a_{f}$ is $$|a_{f}|^{2}=4|\langle f|F|i\rangle |^{2}{\frac {\sin ^{2}((\omega _{fi}-\omega )t/2)}{\hbar ^{2}(\omega _{fi}-\omega )^{2}}}$$ Therefore, the transition probability per unit time, for large t, is given by $${\frac {dw_{fi}}{dt}}={\frac {d}{dt}}|a_{f}|^{2}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle f|F|i\rangle |^{2}\delta (E_{f}-E_{i}-\hbar \omega )$$ Note that the delta function in the expression above arises due to the following argument. Defining $\Delta =\omega _{fi}-\omega$ the time derivative of $\sin ^{2}(\Delta t/2)/\Delta ^{2}$ is $\sin(\Delta t)/(2\Delta )$, which behaves like a delta function at large t (for more information, please see Sinc function#Relationship to the Dirac delta distribution). The constant decay rate of the golden rule follows. As a constant, it underlies the exponential particle decay laws of radioactivity. (For excessively long times, however, the secular growth of the ak(t) terms invalidates lowest-order perturbation theory, which requires ak ≪ ai.)

Только величина матричного элемента $\langle f|H'|i\rangle$ входит в золотое правило Ферми. Однако фаза этого матричного элемента содержит отдельную информацию о переходном процессе. Он появляется в выражениях, которые дополняют золотое правило в подходе к переносу электронов, основанном на квазиклассическом уравнении Больцмана .

Хотя золотое правило обычно формулируется и выводится в терминах, приведенных выше, волновая функция конечного состояния (континуума) часто описывается довольно расплывчато и не нормируется правильно (и нормализация используется при выводе). Проблема в том, что для создания континуума не может быть пространственного ограничения (что обязательно приведет к дискретизации спектра), и поэтому волновые функции континуума должны иметь бесконечную протяженность, а это, в свою очередь, означает, что нормализация ${\textstyle \langle f|f\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \left|f(\mathbf {r} )\right|^{2}}$ бесконечно, а не единица. Если взаимодействия зависят от энергии состояния континуума, а не от каких-либо других квантовых чисел, волновые функции континуума обычно нормируют с энергией $\varepsilon$ помеченный $|\varepsilon \rangle$, написав $\langle \varepsilon |\varepsilon '\rangle =\delta (\varepsilon -\varepsilon ')$ где $\delta$ является дельта-функцией Дирака , и фактически коэффициент квадратного корня из плотности состояний включается в $|\varepsilon _{i}\rangle$. В этом случае волновая функция континуума имеет размерности ${\textstyle 1/{\sqrt {\text{[energy]}}}}$, и Золотое Правило теперь $$\Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle \varepsilon _{i}|H'|i\rangle |^{2}.$$ где $\varepsilon _{i}$ относится к состоянию континуума с той же энергией, что и дискретное состояние $i$. Например, правильно нормированные волновые функции континуума для случая свободного электрона вблизи атома водорода имеются у Бете и Солпитера.

Нормализованный вывод в нестационарной теории возмущений

Основная статья: Теория возмущений (квантовая механика) § Теория возмущений, зависящая от времени

Ниже перефразируется трактовка Коэна-Таннуджи. Как и ранее, полный гамильтониан представляет собой сумму «исходного» гамильтониана H ₀ и возмущения: $H=H_{0}+H'$. Мы все еще можем расширить временную эволюцию произвольного квантового состояния с точки зрения собственных энергетических состояний невозмущенной системы, но теперь они состоят из дискретных состояний и состояний континуума. Мы предполагаем, что взаимодействия зависят от энергии состояния континуума, а не от каких-либо других квантовых чисел. Расширение в соответствующих состояниях в картине Дирака равно $$|\psi (t)\rangle =a_{i}e^{-\mathrm {i} \omega _{i}t}|i\rangle +\int _{C}d\varepsilon a_{\varepsilon }e^{-\mathrm {i} \omega t}|\varepsilon \rangle ,$$ где $\omega _{i}=\varepsilon _{i}/\hbar$, $\omega =\varepsilon /\hbar$ и $\varepsilon _{i},\varepsilon$ энергии состояний $|i\rangle ,|\varepsilon \rangle$, соответственно. Интеграл находится по континууму $\varepsilon \in C$, то есть $|\varepsilon \rangle$ находится в континууме.

Подставляя в зависящее от времени уравнение Шредингера $$H|\psi (t)\rangle =\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle$$ и предварительно умножив на $\langle i|$ производит $${\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\mathrm {i} \int _{C}d\varepsilon \Omega _{i\varepsilon }e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})t}a_{\varepsilon }(t),$$ где $\Omega _{i\varepsilon }=\langle i|H'|\varepsilon \rangle /\hbar$и предварительно умножив на $\langle \varepsilon '|$ производит $${\frac {da_{\varepsilon }(t)}{dt}}=-\mathrm {i} \Omega _{\varepsilon i}e^{\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})t}a_{i}(t).$$ Мы использовали нормализацию $\langle \varepsilon '|\varepsilon \rangle =\delta (\varepsilon '-\varepsilon )$. Интегрируя последнее и подставляя в первое, $${\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\int _{C}d\varepsilon \Omega _{i\varepsilon }\Omega _{\varepsilon i}\int _{0}^{t}dt'e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})(t-t')}a_{i}(t').$$ Здесь можно увидеть, что $da_{i}/dt$ во время $t$ зависит от $a_{i}$ во все более ранние времена $t'$, т.е. оно немарковское . Мы делаем марковское приближение, т. е. что оно зависит только от $a_{i}$ во время $t$ (что является менее ограничительным, чем приближение, согласно которому $a_{i}\approx 1$ использованный выше, и позволяет возмущению быть сильным) $${\frac {da_{i}(t)}{dt}}=\int _{C}d\varepsilon |\Omega _{i\varepsilon }|^{2}a_{i}(t)\int _{0}^{t}dTe^{-\mathrm {i} \Delta T},$$ где $T=t-t'$ и $\Delta =\omega -\omega _{i}$. Интеграция более $T$, $${\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-2\pi \hbar \int _{C}d\varepsilon |\Omega _{i\varepsilon }|^{2}a_{i}(t){\frac {e^{-\mathrm {i} \Delta t/2}\sin(\Delta t/2)}{\pi \hbar \Delta }},$$ Дробь справа — это зарождающаяся дельта-функция Дирака , то есть она имеет тенденцию к $\delta (\varepsilon -\varepsilon _{i})$ как $t\to \infty$ (игнорируя ее мнимую часть, которая приводит к несущественному сдвигу энергии, в то время как действительная часть вызывает распад ). Окончательно $${\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-2\pi \hbar |\Omega _{i\varepsilon _{i}}|^{2}a_{i}(t),$$ которые могут иметь решения: $a_{i}(t)=\exp(-\Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}t/2)$, т. е. распад популяции в исходном дискретном состоянии есть $P_{i}(t)=|a_{i}(t)|^{2}=\exp(-\Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}t)$ где $$\Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}=2\pi \hbar |\Omega _{i\varepsilon _{i}}|^{2}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle i|H'|\varepsilon \rangle |^{2}.$$

Приложения

Полупроводники

Золотое правило Ферми можно использовать для расчета скорости перехода электрона, возбужденного фотоном, из валентной зоны в зону проводимости в полупроводнике с прямой запрещенной зоной, а также для случаев, когда электрон рекомбинирует с дыркой и излучает фотон. Рассмотрим фотон частоты $\omega$ и волновой вектор ${\textbf {q}}$, где закон дисперсии света $\omega =(c/n)\left|{\textbf {q}}\right|$ и $n$ является показателем преломления.

Используя кулоновскую калибровку, где $\nabla \cdot {\textbf {A}}=0$ и $V=0$векторный потенциал света определяется выражением ${\textbf {A}}=A_{0}{\boldsymbol {\varepsilon }}e^{\mathrm {i} ({\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)}+C$ где результирующее электрическое поле $${\textbf {E}}=-{\frac {\partial {\textbf {A}}}{\partial t}}=\mathrm {i} \omega A_{0}{\boldsymbol {\varepsilon }}e^{\mathrm {i} .({\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)}.$$

Для электрона в валентной зоне гамильтониан имеет вид $$H={\frac {({\textbf {p}}+e{\textbf {A}})^{2}}{2m_{0}}}+V({\textbf {r}}),$$ где $V({\textbf {r}})$ – потенциал кристалла, $e$ и $m_{0}$ - заряд и масса электрона, а ${\textbf {p}}$ является оператором импульса. Здесь мы рассматриваем процесс с участием одного фотона и первого порядка по ${\textbf {A}}$. Результирующий гамильтониан $$H=H_{0}+H'=\left[{\frac {{\textbf {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V({\textbf {r}})\right]+\left[{\frac {e}{2m_{0}}}({\textbf {p}}\cdot {\textbf {A}}+{\textbf {A}}\cdot {\textbf {p}})\right],$$ где $H'$ это возмущение света.

С этого момента мы рассматриваем вертикальный оптический дипольный переход и, таким образом, имеем вероятность перехода, основанную на зависящей от времени теории возмущений, которая $$\Gamma _{if}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\delta (E_{f}-E_{i}\pm \hbar \omega ),$$ с $$H'\approx {\frac {eA_{0}}{m_{0}}}{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {p} ,$$ где ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ – вектор поляризации света. $|i\rangle$ и $|f\rangle$ – волновая функция Блоха начального и конечного состояний. Здесь вероятность перехода должна удовлетворять энергии сохранение, данное $\delta (E_{f}-E_{i}\pm \hbar \omega )$. Из возмущения видно, что суть расчета лежит в матричных элементах, показанных в скобках.

Для начального и конечного состояний в валентной зоне и зоне проводимости имеем $|i\rangle =\Psi _{v,{\textbf {k}}_{i},s_{i}}({\textbf {r}})$ и $|f\rangle =\Psi _{c,{\textbf {k}}_{f},s_{f}}({\textbf {r}})$соответственно и если $H'$ оператор не действует на спин, электрон остается в том же спиновом состоянии, и, следовательно, мы можем записать волновую функцию Блоха начального и конечного состояний как $$\Psi _{v,{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {N\Omega _{0}}}}u_{n_{v},{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{i}\cdot {\textbf {r}}},$$ $$\Psi _{c,{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {N\Omega _{0}}}}u_{n_{c},{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{f}\cdot {\textbf {r}}},$$ где $N$ - количество элементарных ячеек с объемом $\Omega _{0}$. Рассчитав с использованием этих волновых функций и сосредоточив внимание на излучении ( фотолюминесценции ), а не на поглощении, мы пришли к скорости перехода $$\Gamma _{cv}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left({\frac {eA_{0}}{m_{0}}}\right)^{2}|{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}({\textbf {k}})|^{2}\delta (E_{c}-E_{v}-\hbar \omega ),$$ где ${\boldsymbol {\mu }}_{cv}$ определенный как дипольный момент оптического перехода, качественно является математическим ожиданием $\langle c|({\text{charge}})\times ({\text{distance}})|v\rangle$ и в этой ситуации принимает вид $${\boldsymbol {\mu }}_{cv}=-{\frac {i\hbar }{\Omega _{0}}}\int _{\Omega _{0}}d{\textbf {r}}'u_{n_{c},{\textbf {k}}}^{*}({\textbf {r}}')\nabla u_{n_{v},{\textbf {k}}}({\textbf {r}}').$$

Наконец, мы хотим знать общую скорость перехода $\Gamma (\omega )$. Следовательно, нам нужно суммировать по всем возможным начальным и конечным состояниям, которые могут удовлетворять закону сохранения энергии (т.е. интегралу зоны Бриллюэна в k -пространстве), и учитывать спиновое вырождение, что после расчета приводит к $$\Gamma (\omega )={\frac {4\pi }{\hbar }}\left({\frac {eA_{0}}{m_{0}}}\right)^{2}|{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}|^{2}\rho _{cv}(\omega )$$ где $\rho _{cv}(\omega )$ - совместная плотность состояний валентной проводимости (т.е. плотность пары состояний: одно занятое валентное состояние, одно пустое состояние проводимости). В 3D это $$\rho _{cv}(\omega )=2\pi \left({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {\hbar \omega -E_{g}}},$$ но совместная DOS различна для 2D, 1D и 0D.

можно выразить Заметим, что в общем виде золотое правило Ферми для полупроводников как $$\Gamma _{vc}={\frac {2\pi }{\hbar }}\int _{\text{BZ}}{\frac {d{\textbf {k}}}{4\pi ^{3}}}|H_{vc}'|^{2}\delta (E_{c}({\textbf {k}})-E_{v}({\textbf {k}})-\hbar \omega ).$$

Точно так же стационарный фототок постоянного тока с амплитудой, пропорциональной квадрату светового поля, равен $${\textbf {J}}=-{\frac {2\pi e\tau }{\hbar }}\sum _{i,f}\int _{\text{BZ}}{\frac {d{\textbf {k}}}{(2\pi )^{D}}}|{\textbf {v}}_{i}-{\textbf {v}}_{f}|(f_{i}({\textbf {k}})-f_{f}({\textbf {k}}))|H_{if}'|^{2}\delta (E_{f}({\textbf {k}})-E_{i}({\textbf {k}})-\hbar \omega ),$$ где $\tau$ это время релаксации, ${\textbf {v}}_{i}-{\textbf {v}}_{f}$ и $f_{i}({\textbf {k}})-f_{f}({\textbf {k}})$ являются разность групповой скорости и распределения Ферми-Дирака между возможными исходными и конечные состояния. Здесь $|H_{if}'|^{2}$ определяет диполь оптического перехода. Из-за коммутационного соотношения между положением ${\textbf {r}}$ и гамильтониан, мы также можем переписать переходный диполь и фототок в терминах матрицы оператора положения, используя $\langle i|{\textbf {p}}|f\rangle =-im_{0}\omega \langle i|{\textbf {r}}|f\rangle$. Этот эффект может существовать только в системах с нарушенной инверсионной симметрией, а ненулевые компоненты фототока могут быть получены на основе соображений симметрии.

Сканирующая туннельная микроскопия

Основная статья: Сканирующий туннельный микроскоп § Принцип работы

В сканирующем туннельном микроскопе золотое правило Ферми используется для определения туннельного тока. Он принимает форму $$w={\frac {2\pi }{\hbar }}|M|^{2}\delta (E_{\psi }-E_{\chi }),$$ где $M$ – туннельный матричный элемент.

Квантовая оптика

При рассмотрении переходов уровней энергии между двумя дискретными состояниями золотое правило Ферми записывается как $$\Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}g(\hbar \omega ),$$ где $g(\hbar \omega )$ - плотность состояний фотона при данной энергии, $\hbar \omega$ – энергия фотона , а $\omega$ - угловая частота . Это альтернативное выражение основано на том факте, что существует континуум конечных (фотонных) состояний, т.е. диапазон разрешенных энергий фотонов непрерывен.

Дрексхаге эксперимент

Как диаграмма направленности, так и полная излучаемая мощность (которая пропорциональна скорости затухания) диполя зависят от его расстояния от зеркала.

Золотое правило Ферми предсказывает, что вероятность распада возбужденного состояния зависит от плотности состояний. В этом можно убедиться экспериментально, измерив скорость затухания диполя возле зеркала: поскольку наличие зеркала создает области с более высокой и низкой плотностью состояний, измеренная скорость затухания зависит от расстояния между зеркалом и диполем.

См. также

• Экспоненциальный затух – уменьшение стоимости со скоростью, пропорциональной текущему значению.
• Список вещей, названных в честь Энрико Ферми
• Распад частицы - спонтанный распад нестабильной субатомной частицы на другие частицы.
• Функция Sinc – специальная математическая функция, определяемая как sin(x)/x.
• Теория нестационарных возмущений - Приближенное моделирование квантовой системы. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Правило Сарджента

Внешние ссылки

• Дополнительная информация о золотом правиле Ферми
• Вывод золотого правила Ферми.
• Нестационарная теория возмущений
• Золотое правило Ферми: его вывод и нарушение с помощью идеальной модели