Коническая рефракция

Поверхность волновых векторов, когда три главных показателя преломления равны $1,0.5,1.5$.

Поверхность волновых векторов. Он состоит из двух листов, пересекающихся в 4 коноидальных точках.

Коническая рефракция — оптическое явление, при котором луч света, проходя через двухосный кристалл в определенных направлениях, превращается в полый световой конус. Возможны две конические рефракции: внутренняя и внешняя. Для внутренней рефракции существует 4 направления, а для внешней рефракции — еще 4 направления.

При внутреннем коническом преломлении плоская волна света попадает в апертуру пластины двухосного кристалла, грань которой параллельна плоскости света. Внутри плиты свет распадается на полый конус световых лучей. На выходе из плиты полый конус превращается в полый цилиндр.

При внешнем коническом преломлении свет фокусируется в одной точке апертуры пластины двухосного кристалла и выходит из пластины с другой стороны через апертуру точки выхода. При выходе свет распадается на полый конус.

Этот эффект был предсказан в 1832 году Уильямом Роуэном Гамильтоном. и впоследствии наблюдался Хамфри Ллойдом в следующем году. Возможно, это был первый пример явления, предсказанного математическими рассуждениями и позже подтвержденного экспериментом.

История

Явление двойного лучепреломления было обнаружено в исландском шпате ( кальците ) Эразмом Бартолином в 1669 году. Первоначально оно было объяснено Христианом Гюйгенсом с использованием волновой теории света. Объяснение было центральным элементом его «Трактата о свете» (1690 г.). Однако его теория ограничивалась одноосными кристаллами и не могла объяснить поведение двухосных кристаллов. внутри сферы.

В 1813 году Дэвид Брюстер обнаружил, что топаз имеет две оси без двойного лучепреломления, а впоследствии другие, такие как арагонит , бура и слюда , были идентифицированы как двуосные. Объяснение этого выходило за рамки теории Гюйгенса.

В тот же период Огюстен-Жан Френель разработал более полную теорию, которая могла описать двойное лучепреломление как в одноосных, так и в двухосных кристаллах. Френель уже вывел уравнение поверхности волнового вектора в 1823 году, а Андре-Мари Ампер повторно вывел его в 1828 году. Многие другие исследовали поверхность волнового вектора двухосного кристалла, но все они упустили из виду его физический смысл. В частности, Френель ошибочно полагал, что два листа поверхности волнового вектора касаются в особых точках (по ошибочной аналогии со случаем одноосных кристаллов), а не коноидальны.

Уильям Роуэн Гамильтон в своей работе по гамильтоновой оптике обнаружил, что поверхность волнового вектора имеет четыре коноидальные точки и четыре касательные коники. Эти коноидальные точки и касательные коники означают, что при определенных условиях луч света может преломляться в световой конус внутри кристалла. Он назвал это явление «конической рефракцией» и предсказал два различных типа: внутреннюю и внешнюю коническую рефракцию, соответствующую соответственно коноидальным точкам и касательным коникам.

Гамильтон объявил о своем открытии в Королевской ирландской академии 22 октября 1832 года. Затем он попросил Хамфри Ллойда доказать это экспериментально. Ллойд наблюдал внешнюю коническую рефракцию 14 декабря на образце арагонита из Доллонда , который он опубликовал в феврале. Затем он наблюдал внутреннюю коническую рефракцию и опубликовал результаты в марте. Затем Ллойд объединил оба отчета и добавил подробности в одну статью.

Ллойд экспериментально обнаружил, что преломленные лучи поляризованы, причем угол поляризации вдвое меньше угла поворота (см. ниже ), рассказал об этом Гамильтону, который затем объяснил это теоретически.

В то же время Гамильтон также обменивался письмами с Джорджем Бидделлом Эйри . Эйри независимо обнаружил, что два листа соприкасаются в коноидальных точках (а не в точках касания), но он скептически относился к тому, что это будет иметь экспериментальные последствия. Он убедился в этом только после доклада Ллойда.

Это открытие стало значительной победой волновой теории света и укрепило теорию двойного лучепреломления Френеля. Экспериментальные данные Ллойда описаны в страницы 350–355.

Лучи внутреннего конуса выходили, как и должно быть, в цилиндре из второй грани кристалла; и размер этого почти круглого цилиндра, хотя и небольшой, был явно заметен, так что при солнечном свете он отбрасывал на серебряную бумагу маленькое светящееся кольцо, которое, казалось, оставалось неизменным на разных расстояниях от бумаги до арагонита.

В 1833 году Джеймс МакКалла заявил, что это частный случай теоремы, которую он опубликовал в 1830 году. что он не пояснил, поскольку это не имело отношения к этой конкретной статье. Коши открыл ту же поверхность в контексте классической механики.

Кто-то заметил: «Я не знаю ни одного человека, который бы не видел коническое преломление и действительно верил в него. Я сам обратил в свою веру множество математиков, показав им конус света». Гамильтон ответил: «Как сильно отличается от меня! Если бы я только увидел это, я бы не поверил. Мои глаза слишком часто меня обманывали. Я верю этому, потому что я это доказал».

Внешняя коническая рефракция

Внутренняя коническая рефракция

Геометрическая теория

Примечание к терминологии: Поверхность волновых векторов еще называют волновой поверхностью, поверхностью нормальной медленности, поверхностью волновой медленности и т. д. Индексный эллипсоид называли поверхностью упругости, так как по Френелю световые волны являются поперечными волнами. в , в точной аналогии с поперечными упругими волнами в материале.

Поверхность волновых векторов

Для чистоты обозначений определите $a=n_{x}^{-2}-n_{y}^{-2},b=n_{y}^{-2}-n_{z}^{-2}$. Эта поверхность также известна как волновая поверхность Френеля .

Дан двухосный кристалл с тремя главными показателями преломления. $n_{x}<n_{y}<n_{z}$. Для каждого возможного направления ${\hat {k}}$ плоских волн, распространяющихся в кристалле, имеет определенную групповую скорость $v_{g}({\hat {k}})$. Показатель преломления в этом направлении определяется как $n({\hat {k}})=c/v_{g}({\hat {k}})$.

Определим теперь поверхность волновых векторов как следующий набор точек $$\{n({\hat {k}}){\hat {k}}:{\hat {k}}\in {\text{sphere of radius 1}}\}$$В общем, существует две групповые скорости вдоль каждого направления волнового вектора. Чтобы их найти, проведите плоскость, перпендикулярную ${\hat {k}}$. Индексы — это большая и малая оси эллипса пересечения плоскости и индексного эллипсоида. Ровно в четырех направлениях пересечение представляет собой круг (это оси, где двойное лучепреломление исчезает, как обнаружил Брюстер, за что они получили название «двуосные»), и два листа поверхности волновых векторов сталкиваются в коноидальной точке. .

Точнее, поверхность волновых векторов удовлетворяет следующему уравнению четвертой степени (, стр. 346): $$(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})(n_{x}^{2}k_{x}^{2}+n_{y}^{2}k_{y}^{2}+n_{z}^{2}k_{z}^{2})-(n_{y}^{2}+n_{z}^{2})n_{x}^{2}k_{x}^{2}-(n_{z}^{2}+n_{x}^{2})n_{y}^{2}k_{y}^{2}-(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})n_{z}^{2}k_{z}^{2}+(n_{x}n_{y}n_{z})^{2}=0$$или эквивалентно, $$\sum _{i}{\frac {n_{i}^{2}k_{i}^{2}}{\|k\|^{2}-n_{i}^{2}}}=0$$

показывать

[Доказательство]

The major and minor axes are the solutions to the constraint optimization problem: $${\begin{cases}k^{T}r&=0\quad &k\perp r\\r^{T}Mr&=1\quad &r{\text{ is on the index ellipsoid}}\\\mathrm {exr} (r^{T}r)&\quad &\|r\|{\text{is max/minimized}}\end{cases}}$$ where $M$ is the matrix with diagonal entries $n_{x}^{-2},n_{y}^{-2},n_{z}^{-2}$.

Since there are 3 variables and 2 constraints, we can use the Karush–Kuhn–Tucker conditions. That is, the three gradients ${\textstyle k,Mr,r}$ are linearly dependent.

Let ${\textstyle Mr=\alpha k+\beta r}$, then we have$$0=\alpha k^{T}r=r^{T}Mr-\beta r^{T}r\implies \beta =(r^{T}r)^{-1}$$Plugging ${\textstyle r_{x}={\frac {\alpha k_{x}}{n_{x}^{-2}-\beta }},\dots }$ back to ${\textstyle k^{T}r=0}$, we obtain $$\sum _{i}{\frac {k_{i}^{2}}{n_{i}^{-2}-\|r\|^{-2}}}=0$$Let ${\textstyle {\vec {k}}}$ be the vector with the direction of ${\textstyle (k_{x},k_{y},k_{z})}$, and the length of ${\textstyle \|r\|}$. We thus find that the equation of ${\textstyle {\vec {k}}}$ is $$\sum _{i}{\frac {k_{i}^{2}}{n_{i}^{-2}-\|{\vec {k}}\|^{-2}}}=0$$Multiply out the denominators, then multiply by ${\textstyle n_{x}^{2}n_{y}^{2}n_{z}^{2}}$, we obtain the result.

В общем, по фиксированному направлению ${\textstyle {\hat {k}}}$, существует два возможных волновых вектора: Медленная волна ${\textstyle n_{+}{\hat {k}}}$ и быстрая волна ${\textstyle n_{-}{\hat {k}}}$, где ${\textstyle n_{+}}$ является большой полуосью, а ${\textstyle n_{-}}$ является несовершеннолетним.

Затыкание ${\textstyle {\vec {k}}=n{\hat {k}}}$ в уравнение ${\textstyle {\vec {k}}}$, получим квадратное уравнение относительно ${\textstyle n^{2}}$: $$\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}n_{z}^{2}}}+\cdots \right)n^{4}-\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}}}+{\frac {k_{x}^{2}}{n_{z}^{2}}}+\cdots \right)n^{2}+1=0$$который имеет два решения $n_{-}^{2},n_{+}^{2}$. Ровно в четырех направлениях два волновых вектора совпадают, поскольку плоскость, перпендикулярная ${\textstyle {\hat {k}}}$ пересекает индексный эллипсоид по окружности. Эти направления ${\textstyle {\hat {k}}=(\pm \cos \theta ,0,\pm \sin \theta )}$ где ${\textstyle \sin ^{2}\theta ={\frac {b}{a+b}}}$, в этот момент ${\textstyle n_{-}=n_{+}=n_{y}}$.

Разлагая уравнение поверхности в окрестности ${\textstyle {\vec {k}}=(n_{y}\cos \theta ,0,n_{y}\sin \theta )}$, мы получаем локальную геометрию поверхности, которая представляет собой конус, опирающийся на окружность.

Далее, существует 4 плоскости, каждая из которых касается поверхности на всей окружности ( тропической конике , как будет определено позже). Эти плоскости имеют уравнение (, страницы 349–350) $$k_{x}{\sqrt {n_{y}^{2}-n_{x}^{2}}}\pm k_{z}{\sqrt {n_{z}^{2}-n_{y}^{2}}}=\pm n_{y}{\sqrt {n_{z}^{2}-n_{x}^{2}}}$$или эквивалентно, ${\textstyle n_{x}k_{x}{\sqrt {a}}\pm n_{z}k_{z}{\sqrt {b}}=\pm n_{x}n_{z}{\sqrt {a+b}}}$.и 4 круга - это пересечение этих плоскостей с эллипсоидом. $$(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})k_{x}^{2}+2n_{y}^{2}k_{y}^{2}+(n_{z}^{2}+n_{y}^{2})k_{z}^{2}-(n_{x}^{2}+n_{z}^{2})n_{y}^{2}=0$$Все 4 круга имеют радиус $n_{y}^{-1}{\sqrt {(n_{y}^{2}-n_{x}^{2})(n_{z}^{2}-n_{y}^{2})}}=n_{x}n_{z}{\sqrt {ab}}$.

показывать

[Доказательство]

By differentiating its equation, we find that the points on the surface of wavevectors, where the tangent plane is parallel to the ${\textstyle k_{y}}$ -axis, satisfies $$k_{y}((n_{x}^{2}+n_{y}^{2})k_{x}^{2}+2n_{y}^{2}k_{y}^{2}+(n_{z}^{2}+n_{y}^{2})k_{z}^{2}-(n_{x}^{2}+n_{z}^{2})n_{y}^{2})=0$$ That is, it is the union of the ${\textstyle k_{x}k_{z}}$ -plane, and an ellipsoid.

Thus, such points on the surface of wavevectors has two parts: Every point with ${\textstyle k_{y}=0}$, and every point that intersects with the auxilliary ellipsoid $$(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})k_{x}^{2}+2n_{y}^{2}k_{y}^{2}+(n_{z}^{2}+n_{y}^{2})k_{z}^{2}-(n_{x}^{2}+n_{z}^{2})n_{y}^{2}=0$$

Using the equation of the auxilliary ellipsoid to eliminate ${\textstyle k_{y}^{2}}$ from the equation of the wavevector surface, we obtain another degree-4 equation, which splits into the product of 4 planes: $$k_{z}\pm k_{x}{\sqrt {\frac {n_{y}^{2}-n_{x}^{2}}{n_{z}^{2}-n_{y}^{2}}}}\pm n_{y}{\sqrt {\frac {n_{z}^{2}-n_{x}^{2}}{n_{z}^{2}-n_{y}^{2}}}}$$

Thus, we obtain 4 ellipses: the 4 planar intersections with the auxilliary ellipsoid. These ellipses all exist on the wavevector surface, and the wavevector surface has tangent plane parallel to the ${\textstyle k_{y}}$ axis at those points. By direct computation, these ellipses are circles.

It remains to verify that the tangent plane is also parallel to the plane of the circle.

Let ${\textstyle P_{0}}$ be one of those 4 planes, and let ${\textstyle {\vec {k}}}$ be one point on the circle in ${\textstyle P_{0}}$. If ${\textstyle k_{y}\neq 0}$, then since the circle is on the surface, the tangent plane ${\textstyle P}$ to the surface at ${\textstyle {\vec {k}}}$ must contain the tangent line ${\textstyle l}$ to the circle at ${\textstyle {\vec {k}}}$. Also, the plane ${\textstyle P}$ must also contain ${\textstyle l_{y}}$, the line pass ${\textstyle {\vec {k}}}$ that is parallel to the ${\textstyle k_{y}}$ -axis. Therefore, the plane ${\textstyle P}$ is spanned by ${\textstyle l_{y}}$ and ${\textstyle l}$, which is precisely the plane ${\textstyle P_{0}}$. This then extends by continuity to the case of ${\textstyle k_{y}=0}$.

Поверхность можно представить как чернослив с четырьмя маленькими ямками или ямочками. Если положить чернослив на плоский стол, он коснется стола в круге, закрывающем ямочку.

Таким образом, поверхность волновых векторов имеет особые точки в точках. ${\textstyle {\hat {k}}=(\pm \cos \theta ,0,\pm \sin \theta )}$ где ${\textstyle \theta =\arctan {\sqrt {b/a}}}$. Специальная касательная плоскость к поверхности касается ее в двух точках, образующих угол $\arctan {\frac {n_{x}}{n_{z}}}{\sqrt {b/a}}$ и $\arctan {\frac {n_{z}}{n_{x}}}{\sqrt {b/a}}$, соответственно.

Угол конуса волны, то есть угол конуса внутреннего конического преломления, равен ${\textstyle A_{internal}=\arctan n_{y}^{2}{\sqrt {ab}}}$. Обратите внимание, что конус является наклонным конусом. Его вершина перпендикулярна основанию в точке круга (а не в центре круга).

Поверхность лучевых векторов

Поверхность лучевых векторов является полярно-двойственной поверхностью поверхности волновых векторов. Его уравнение получается заменой $n_{i}$ с $n_{i}^{-1}$ в уравнении поверхности волновых векторов. То есть, $$(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2})(n_{x}^{-2}r_{x}^{2}+n_{y}^{-2}r_{y}^{2}+n_{z}^{-2}r_{z}^{2})-(n_{y}^{-2}+n_{z}^{-2})n_{x}^{-2}r_{x}^{2}-(n_{z}^{-2}+n_{x}^{-2})n_{y}^{-2}r_{y}^{2}-(n_{x}^{-2}+n_{y}^{-2})n_{z}^{-2}r_{z}^{2}+(n_{x}n_{y}n_{z})^{2}=0$$Все приведенные выше результаты применимы с той же модификацией. Эти две поверхности связаны своей двойственностью:

• Четыре специальные плоскости, касающиеся поверхности волновых векторов на окружности, соответствуют 4 коноидальным точкам на поверхности лучевых векторов.
• Четыре коноидальные точки на поверхности волновых векторов соответствуют четырем плоскостям, касающимся поверхности лучевых векторов на окружности.

Примерно круглый

В типичных кристаллах разница между $n_{x},n_{y},n_{z}$ мал. В этом случае коноидальная точка находится примерно в центре окружности, окружающей ее, и, таким образом, конус света (как в случае внутреннего, так и в случае внешнего преломления) представляет собой примерно круглый конус.

поляризация

Возьмите единичную сферу. Каждая точка на нем представляет собой возможное направление волнового вектора. Для каждого постройте направление большой и малой осей пересечения эллипса. В результате образуются два семейства кривых, ортогонально пересекающихся на единичной сфере, с четырьмя особенностями. График топологически такой же, как график точки пупка эллипсоида общего положения.

Индекс векторного поля равен 1/2, что объясняет, почему направление поляризации меняется на половину. $\phi$.

В случае внешней конической рефракции мы имеем один луч, распадающийся на конус плоских волн, каждая из которых соответствует точке касательной окружности к поверхности волнового вектора. Для каждого из четырех квадрантов имеется одна касательная окружность. Возьми тот, у которого $k_{x},k_{z}>0$, затем зафиксируйте это. Пусть суть будет ${\vec {k}}$.

Найти направление поляризации плоской волны в направлении ${\vec {k}}$, возьмем пересечение индексного эллипсоида и плоскости, перпендикулярной ${\vec {k}}$. Направление поляризации — это направление большой оси эллипса, пересекающего плоскость, перпендикулярную ${\vec {k}}$ и индексный эллипсоид.

Таким образом, ${\vec {k}}$ с самым высоким $k_{z}$ соответствует свету, поляризованному параллельно $k_{y}$ направление, и ${\vec {k}}$ с самым низким $k_{z}$ соответствует свету, поляризованному в перпендикулярном ему направлении. В общем случае, вращаясь по световому кругу на угол $\phi$ повернет направление поляризации примерно на $\phi /2$.

Это означает, что поворот конуса на целый виток изменит угол поляризации только на половину витка. Это ранний пример геометрической фазы . Эта геометрическая фаза $\pi$ наблюдается в разнице углового момента луча до и после конического преломления.

Алгебраическая геометрия

Основная статья: Волновая поверхность

Поверхность волновых векторов определяется алгебраическим уравнением 4-й степени и, таким образом, изучалась сама по себе в классической алгебраической геометрии .

Артур Кэли изучал поверхность в 1849 году. Он описал это как вырожденный случай тетраэдроидных поверхностей четвертой степени . Эти поверхности определяются как те, которые пересекаются четырьмя плоскостями, образующими тетраэдр. Каждая плоскость пересекает поверхность по двум коникам. Для поверхности волнового вектора тетраэдр вырождается в плоский квадрат. Три вершины тетраэдра сопряжены с двумя кониками внутри определяемой ими грани. Две коники пересекаются в 4 точках, образуя 16 особых точек.

В общем, поверхность волновых векторов является поверхностью Куммера , и к ней применимы все ее свойства. Например:

• Она проективно изоморфна своей двойственной поверхности.
• Особых точек не более 16.
• Каждому тропу поверхности соответствует особая точка на двойственной ему точке. Здесь троп определяется как двойная коника на поверхности. Другими словами, это место пересечения поверхности с плоскостью, образующее идеальный квадрат.
• Для каждой поверхности Куммера существует двумерное семейство линий, такое, что каждая точка поверхности касается двух линий этого семейства.

Дополнительные свойства поверхности волновых векторов можно найти в главе 10 классического справочника по куммеровым поверхностям.

Каждый линейный материал имеет дисперсионное уравнение четвертой степени, поэтому его поверхность волнового вектора представляет собой поверхность Куммера, которая может иметь не более 16 особых точек. Возможность существования такого материала была высказана в 1910 г. а в 2016 году учёные создали такой (мета)материал и подтвердили, что он имеет 16 направлений конического преломления.

Теория дифракции

Классическая теория конической рефракции, по сути, была построена в стиле геометрической оптики и игнорирует волновую природу света. Волновая теория необходима для объяснения некоторых наблюдаемых явлений, таких как кольца Поггендорфа, вторичные кольца, центральное пятно и связанные с ним кольца. В этом контексте коническое преломление обычно называют «конической дифракцией », чтобы подчеркнуть волновую природу света.

Наблюдения

Угол конуса зависит от свойств кристалла, в частности от разницы его главных показателей преломления. Эффект обычно невелик, и для его наблюдения требуется тщательная экспериментальная установка. В ранних экспериментах для создания узких лучей света использовался солнечный свет и точечные отверстия, а в современных экспериментах часто используются лазеры и детекторы высокого разрешения.

Поггендорф наблюдал два кольца, разделенные тонкой темной полосой. Это объяснил Фойгт. См «Борн и Вольф» . вывод , раздел 15.3.

Поттер наблюдал в 1841 году. некоторые дифракционные явления, необъяснимые теорией Гамильтона. В частности, если мы проследим за двумя кольцами, созданными внутренним коническим преломлением, то внутреннее кольцо будет сжиматься до тех пор, пока не станет одной точкой, а внешнее кольцо будет расширяться до бесконечности. Удовлетворительное объяснение потребовало более поздних разработок в теории дифракции.

Современные разработки

Изучение конической рефракции продолжается с момента ее открытия, исследователи изучают ее различные аспекты и последствия. Некоторые недавние работы включают в себя:

• Параксиальная теория : эта теория дает упрощенное описание конической дифракции для малых углов падения и использовалась для анализа детальной структуры наблюдаемых световых узоров.
• Хиральные кристаллы : включение оптической активности (хиральности) в кристалл приводит к новым явлениям, таким как превращение конического цилиндра в каустику «закрученной точки возврата».
• Поглощение и дихроизм : наличие поглощения в кристалле значительно меняет поведение света, приводя к разделению дьявольских точек на пары точек ветвления и влияя на возникающие световые узоры.
• Нелинейная оптика . Нелинейные оптические эффекты в двухосных кристаллах могут взаимодействовать с конической рефракцией, приводя к сложным и интригующим явлениям.
• Применение : коническая рефракция нашла применение в оптическом захвате , оптической связи в свободном пространстве , поляризационной метрологии, визуализации со сверхвысоким разрешением , двухфотонной полимеризации и лазерах .

Коническая рефракция наблюдалась также в поперечных звуковых волнах в кварце.

См. также

• Двойное лучепреломление
• Волновая поверхность
• Кристаллическая оптика
• поляризация
• Каустика

Внешние ссылки

• Изображения конических преломлений с кольцами радиусом более одного метра через монокристалл ромбической серы. Ю. П. Михайличенко
• Изображения волновой поверхности Френеля: страницы 470-485.