Фибонориал

В математике Фибонориал ​ n ! _F , также называемый факториалом Фибоначчи , где n — неотрицательное целое число , определяется как произведение первых n положительных чисел Фибоначчи , т.е.

${n!}_{F}:=\prod _{i=1}^{n}F_{i},\quad n\geq 0,$

где F _i - это i ^й Число Фибоначчи и 0! _F дает пустой продукт (определяемый как мультипликативное тождество , т.е. 1).

Фибонориал n ! _F определяется аналогично факториалу n ! . Фибономиальные числа используются при определении фибономиальных коэффициентов (или биномиальных коэффициентов Фибоначчи) так же, как факториальные числа используются при определении биномиальных коэффициентов .

Асимптотическое поведение

Ряд . фибонориалов асимптотичен функции золотого сечения $\varphi$: $n!_{F}\sim C{\frac {\varphi ^{n(n+1)/2}}{5^{n/2}}}$.

Здесь фибонориальная константа (также называемая константой факториала Фибоначчи) ) $C$ определяется $C=\prod _{k=1}^{\infty }(1-a^{k})$, где $a=-{\frac {1}{\varphi ^{2}}}$ и $\varphi$ это золотое сечение .

Примерное усеченное значение $C$ см. в (последовательность A062073 в OEIS равно 1,226742010720 ( дополнительные цифры )).

Почти фибонориальные числа

Почти фибонориальные числа: n ! _Ф - 1 .

Почти-фибонориальные простые числа: простые числа среди почти-фибонориальных чисел.

Квазифибонориальные числа

Квазифибонориальные числа: n ! _Ф +1 .

Квазифибонориальные простые числа: простые числа среди квазифибонориальных чисел.

Связь с q-факториалом

Фибонориал можно выразить через q-факториал и золотое сечение. $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$:

$n!_{F}=\varphi ^{\binom {n}{2}}\,[n]_{-\varphi ^{-2}}!.$

Последовательности

OEIS : A003266 Произведение первых n ненулевых чисел Фибоначчи F (1), ..., F ( n ) .

OEIS : A059709 и OEIS : A053408 для n таких, что n ! _F - 1 и п ! _F + 1 — простые числа соответственно.

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Фибонориал» . Математический мир .